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卡迈克尔数


Carmichael数字是古怪的 复合数 n个这满足了费马小定理

 a^(n-1)-1=0(mod n)
(1)

对于每一个选择一令人满意的(a,n)=1(即。,一n个相对质数)具有1<a<n.因此,卡迈克尔数是伪素数任何底座。因此,无法找到Carmichael数混合成的使用费马小定理然而,如果(a,n)=1,的一致性费马小定理非零从而识别Carmichael编号n个作为混合成的.

Carmichael数有时被称为“绝对伪素数”,也满足科尔塞尔特准则.R.D.(钢筋混凝土)。卡迈克尔1910年首次注意到这种数字的存在,计算了15个例子,并推测出有无限多。1956年,Erdős草拟了一项建造技术大型卡迈克尔数(霍夫曼1998年,第183页),阿尔福德给出了一个证明等人。(1994).

任何解决方案莱默全面问题必须是Carmichael数字。

前几个卡迈克尔数字是5611105、1729、2465、2821、6601、8911、10585、15841、29341。。。(组织环境信息系统A002997号). 数字Carmichael数小于10^2,10^3, ... 是0、1、7、16、43、105。。。(组织环境信息系统A055553号Pinch 1993)。最小的卡迈克尔数有3,4。。。因素是561=3×11×17,41041=7×11×13×41, 825265, 321197185, ... (组织环境信息系统A006931号).

卡迈克尔数字至少有三个首要的 因素对于Carmichael数字,正好有三个首要的 因素,曾经是素数已指定,则只有有限数量的Carmichael数可以建造。事实上,对于Carmichael数k个素因子,只有一个有限的数k-2号机组明确规定。

数字表单的 (6k+1)(12k+1)如果每个因素都是卡迈克尔数首要的(Korselt 1899,Ore 1988,Guy 1994)。这个从此可以看到

 N=(6k+1)(12k+1),(18k+1)=1296k^3+396k^2+36k+1,
(2)

N-1型是的倍数3.6万最小公倍数属于6公里,12公里、和18公里3.6万,所以a^(N-1)=1将每个素数 6公里+1,12公里+1、和18公里+1,因此a^(N-1)=1对其乘积进行模运算。第一批这样的卡迈克尔数字对应于k=1,6,35,45,51,55,56。。。(组织环境信息系统A046025型)还有172929440956052361118901521。。。(组织环境信息系统A033502号).

C(n)表示Carmichael数小于n个然后,对于所有足够大的n个,

 C(n)>n^(2/7)
(3)

(阿尔福德等人。1994年),这证明了有无限多的卡迈克尔数字。上限

 C(n)<nexp(-(lnnlnlnnn)/(lnlnn))
(4)

也得到了证实(R.G.E.Pinch)。

Carmichael数具有以下属性:

1.如果首要的 第页除以卡迈克尔数n个,然后n=1(模型p-1)意味着n=p(mod p(p-1)).

2.每个Carmichael数是无平方的.

3.安古怪的 混合成的 无平方的n个是卡迈克尔号码若(iff) n个划分分母属于这个伯努利数 B_(n-1).

下表总结了具有给定因子数的已知最大Carmichael数(更新自Dubner 1989年和1998年)。

因素数字发现者
60351布罗德赫斯特(2002)
429094布罗德赫斯特2003(布罗德赫斯特2015b)
51015考德威尔和杜布纳
619140布罗德赫斯特2003(布罗德赫斯特2015a)

另请参见

Carmichael条件,莱默的图腾问题,伪素数

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阿尔福德·W·R。;A.格兰维尔。;和波美拉斯,C。“有无限多的卡迈克尔数。”安。数学。 139, 703-722,1994Beyer,W.H。CRC公司《标准数学表格》,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第87页,1987Broadhurst,D.“60351-digit 3-Carmichael编号”,12月2日2002http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0212&L=nmbrthry&P=R2.布罗德赫斯特,D.“回复:14241位5-Carmichael数字。”2015年8月29日a。https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind1508&L=NMBRTHRY&P=R628.布罗德赫斯特,D.“回复:25791位数字4-Carmichael数字。”2015年8月29日b。https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind1508&L=NMBRTHRY&P=6285.卡里尼,A.和Hosoya,A.,《量子计算机上的卡迈克尔数》,1999年8月5日。http://arxiv.org/abs/quant-ph/9908022.卡迈克尔,钢筋混凝土。“关于一个新数论函数的注释。”牛市。阿默尔。数学。Soc公司。 16, 232-238, 1910.Dubner,H.“一种新的产生大卡迈克尔数。"数学。计算。 53, 411-414,1989Dubner,H.“Carmichael数字记录”,1998年9月11日。http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind9809&L=NMBRTHRY&P=795.家伙,R.K.公司。《卡迈克尔数字》§A13未解决数论中的问题,第二版。纽约:Springer-Verlag,第30-32页,1994霍夫曼,P。这个只爱数字的人:保罗·埃尔德的故事与数学探索真相。纽约:Hyperion,第182-183页,1998年。A.科尔塞尔特。“问题是中国人。”《国际数学杂志》。 6,143-143, 1899.矿石,Ø。编号理论及其历史。纽约:多佛,1988年。R·G·品奇。E.公司。“卡迈克尔数字达到10^(15)."数学。计算。 61,381-3911993年a。挤压,R.G.公司。E.公司。“一些基本测试算法。”不是。阿默尔。数学。Soc公司。 40第1203-1210页,1993年b。R·G·品奇。E.公司。ftp://ftp.dpmms.cam.ac.uk/pub/Carmichael/table公司.蓬梅兰斯,C。;塞尔弗里奇,J.L。;和Wagstaff,S.S。Jr.(小)。“伪素数25·10^9."数学。计算。 35, 1003-1026, 1980.里宾博伊姆,P。这个素数记录新书。纽约:施普林格出版社,第118-125页,1996里塞尔,H。Prime(主要)因式分解的数字和计算机方法,第2版。巴塞尔:Birkhäuser,第89-90和94-95页,1994年。Shanks,D。解决了的《数论中未解决的问题》,第四版。纽约:切尔西,第116页,1993新泽西州斯隆。答:。序列A002997号/M5462,A006931号/M5463,A033502号,A046025型、和A055553号在“整数序列在线百科全书”中

引用的关于Wolfram | Alpha

卡迈克尔数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“卡迈克尔号码。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CarmichaelNumber.html

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