模块化数学,卡迈克尔数

卡迈克尔数字

根据定义,卡迈克尔不是素数n-1号模n是每x的1。

如果p2然后除以n单元组包括一个长度为p×(p-1)的循环。 使用这个循环来找到x,一个非平凡的p1的根,因为p除以n,xn=1和xn-1号是x的倒数。 这是一个矛盾,因此所有的卡迈克尔数都是无平方的。 (即使p=2,这种方法也有效;找到3除以4的平方根。)

如果p是n的一个因子,那么mod n的单位群有一个长度为p-1的独立循环。设xb本原mod p,并且每隔一个素数除以n,这可以用中国余数定理来实现1个p-1=1,如果xn-1号也是1,那么p-1除以n-1,这个关系对于p除以n都成立,反之,如果这个关系成立,我们考虑任何元素x, x mod p在提升到n-1时变成1,对于每个p除以n,所以xn-1号也是1模n,我们把p-1变成n-1的简单判据是必要的和充分的。

如果n是偶数,那么对于某些奇数素数,p-1将不能除n-1。 Carmichael数是奇数。

如果n=pq,其中q较大,则q-1除pq-p,不能除pq-1。 Carmichael数至少有三个素数因子。

回想前面的例子3×11×17=561,注意2、10和16都除以560。只要代数就可以证明6k+1、12k+1和18k+1的乘积是carmichale,前提是这三个因子都是素数。 60k+43、180k+127和300k+211也是如此。

carmichael数是无穷多的。这个重要的结果在1994年被阿尔福德、格兰维尔和波美伦斯证明了。事实上,有无穷多的卡迈克尔多项式以a的形式存在1k+b公司1×一个2k+b组2×一个k+b公司另一个例子是30k+13×90k+37×150k+61。 我听说只有6k+1×12k+1×18k+1有1作为常数。

扩展标准

设n,一个carmichael数,是p乘以q的乘积1通过qj这里p可以是n的任何一个素数,为了方便起见,设t为q的乘积1通过qj.

p-1除以n-1

p-1除以pt-1

对于某些c,pt-1=cp-c

cp-tp-c=-1

cp-tp+t-c=t-1

(c-t)×(p-1)=t-1

p-1除以t-1

对561进行验证:2次除以186,10次除以50,16次除以32。

由于代数是可逆的,这个条件既是必要的也是充分的。