模块数学，卡迈克尔数
卡迈克尔数
设n是一个Carmichael数。根据定义，n不是质数，然而xn-1个对于与n互素的每一个x，modn是1。
如果p2除以n，然后机组组包括长度为p×（p-1）的循环。使用这个循环来找到x，一个重要的p第个1的根。因为p除以n，xn个=1和xn-1个是x的倒数。这是一个矛盾，因此，所有的卡迈克尔数都是平方自由的。（即使p=2，这也有效；求一个3模4的平方根。）
如果p是n的因子，则mod n的单元组具有长度为p-1的独立循环。设xb本原mod p，1 mod每隔一个素数除以n。这可以用中国剩余定理来实现。现在x第1页=1，如果xn-1个也是1，则p-1除以n-1。这个关系适用于p除以n。相反，如果这种关系成立，我们考虑任何元素x，x mod p升高到n-1时变为1，对于每个p除以n，所以xn-1个也是1个mod n。我们将p-1转化为n-1的简单判据是必要的和充分的。
如果n是偶数，那么对于其他一些奇数素数，p-1将不除以n-1。卡迈克尔数是奇数。
如果n=pq，其中q较大，然后q-1除以pq-p，而不能除以pq-1。卡迈克尔数至少有三个素因子。
回忆一下前面的例子3×11×17=561，并且注意，2、10和16都除以560。只需要代数就可以证明6k+1、12k+1和18k+1的乘积是carmichael，只要这三个因素都是首要的。同样适用于60k+43、180k+127和300k+211。
卡迈克尔数是无限的。1994年，这一重要结果被阿尔福德、格兰维尔和波梅兰斯。事实上，有无穷多个carmichael多项式形式a1钾+硼1×a2钾+硼2×a3钾+硼3.另一个例子是30k+13×90k+37×150k+61。我听说只有6k+1×12k+1×18k+1有一个常数。
扩展标准
设n，一个卡迈克尔数，是p乘以q的乘积1到qj个.这里p可以是n的任何一个主因子。为了方便起见，让t是q的乘积1到qj个.p-1除以n-1
p-1除以pt-1
对于某些c，pt-1=cp-c
cp-tp-c=-1
cp-tp+t-c=t-1
（c-t）×（p-1）=t-1
p-1除以t-1
验证561:2除以186，10除以50，16除以32。
因为代数可以颠倒，所以这个条件既是必要的也是充分的。