来自在线整数百科全书的问候语!http://oeis.org/ Search: id:a002997 Showing 1-1 of 1 %I A002997 M5462 %S A002997 561,1105,1729,2465,2821,6601,8911,10585,15841,29341,41041,46657, %T A002997 52633,62745,63973,75361,101101,115921,126217,162401,172081,188461, %U A002997 252601,278545,294409,314821,334153,340561,399001,410041,449065,488881,512461 %N A002997 Carmichael numbers: composite numbers n such that a^(n-1) == 1 (mod n) for every a coprime to n. %C A002997 V. Šimerka found the first 7 terms of this sequence 25 years before Carmichael (see the link and also the remark of K. Conrad). - _Peter Luschny_, Apr 01 2019 %C A002997 n is composite and squarefree and for p prime, p|n => p-1|n-1. %C A002997 An odd composite number n is a pseudoprime to base a iff a^(n-1) == 1 mod n. A Carmichael number is an odd composite number n which is a pseudoprime to base a for every number a prime to n. %C A002997 A composite odd number n is a Carmichael number if and only if n is squarefree and p-1 divides n-1 for every prime p dividing n. (Korselt, 1899) %C A002997 Ghatage and Scott prove using Fermat's little theorem that (a+b)^n == a^n + b^n (mod n) (the freshman's dream) exactly when n is a prime (A000040) or a Carmichael number. -乔纳森沃斯邮报,8月31日2005构造了一个具有10333229505个素因子的CARMICEL数,并构造了K k因子在3和19565220之间的k个Carmichael数。- Thomas Wright JoaaNo-VoS PASTI,APR 01 2012πC A000 997,证明了在Gn(b,m)=1的n个数B和m中,有无限多的Ca迈克尔数M,使得M=B mod M-αJoaaNess VoS PASTI,12月27日2012πC A000 997复合数n相对素数为1 ^(n-1)+2 ^(n-1)+…(+(n-1)^(n-1))。-托马斯OordoSkyik,OCT 09(2013)%AA90097复合数n,使得A06394(n)=A000 00 10(n)。-托马斯奥多斯基,12月17日2013,%A900997奇数复合数n,使得n除以A00 2445((N-1)/ 2)。-罗伯特-以色列,OCT 02 2015πC A00 997,如果n是卡迈克尔数和GCD(B-1,n)=1,则(b^ n-1)/(b-1)是对基b的伪拷贝;通过Steuerwald定理,参见A00 5935中的参考文献。-托马斯-奥多斯基,4月17日2016πC A000 997复合数n,使得p~(n==p)(mod n)为每个素数p=a22512(n)。-Max AlkeEyvev和Tythas-Ordoksiif,4月20日2017πC A00 29 97,如果每个M p=素数(n)的复合m<A22549(n)和p^ m==p(mod m),则m是Ca迈克尔数。4月23日,2017 Carmichael C A000年97,所有的数的序列可以定义为:a(1)=561,a(n+1)=最小复合k> a(n),使得每个素数p=n+2的p^ k==p(mod k)。4月24日,2017μ%C OA900Kig,一个整数m> 1是一个Carmichael数,当且仅当M是无平方的且每个素数除数p满足Syp(m)>p和sp p(m)=1(mod p-1)时,其中sp p(m)是m的p p个数的和,则m是奇的,并且至少有三个素因子,每个<qRT(m)。见凯尔纳和索道2019。-BeNN.C.KELNELZY和J.JONATON SONDOWAY,MAR 03 2019 C %A00 29 97 CARMICEL数是特殊多边形数A32497.3。第n个卡迈克尔数的秩是A324975(n)。见凯尔纳和索道2019。-乔纳森桑多维,3月26日2019时%C A000 997,一个奇数复合数M是一个CARMICEL数IFF M分母(伯努利(M-1))。商为A32497。见Pomerance,塞尔弗里奇和瓦格斯塔夫,第1006页,和KELNER和SONDOW,关于伯努利数的章节。-乔纳森桑多维,3月28日2019时%C A000 997,这是差分A324050\A08888。许多相同的身份也适用于A324050。- 4月22日ANTI TI KARTUUNENEI,2019μC C A00 997,如果n是CARMICEL数,则A309132(n)=A326690(n)。证明推广了A309132中的定理。-乔纳森索多瓦,7月19日2019,%Ac997 97复合数N,使得A111076(n)^(n-1)=1(mod n)。证明:A111076(n)mod n的乘积阶等于λ(n),其中λ(n)=a00(2n)2,因此λ(n)除以n-1,qEd。- _Thomas Ordowski_, Nov 14 2019 %D A002997 A. H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, Dover Publications, Inc. New York, 1966, Table 18, Page 44. %D A002997 D. M. Burton, Elementary Number Theory, 5th ed., McGraw-Hill, 2002. %D A002997 CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 30th ed., 1996, p. 87. %D A002997 R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, A13. %D A002997 O. Ore, Number Theory and Its History, McGraw-Hill, 1948, Reprinted by Dover Publications, 1988, Chapter 14. %D A002997 P. Poulet, Tables des nombres composés vérifiant le théorème du Fermat pour le module 2 jusqu'à 100.000.000, Sphinx (Brussels), 8 (1938), 42-45. %D A002997 W. Sierpiński, A Selection of Problems in the Theory of Numbers. 麦克米兰,NY,1964,第51页.0%DAA2497 N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,整数序列百科全书,学术出版社,1995(包括这个序列)。n,a(n)n=1…10000的表(从下面提到的捏网站),W. R. Alford,Jon Grantham,Steven Hayman,Andrew Shallue,利用改进子集乘积算法构造Carmichael数,ARXIV:120 3.66 64 V1[数学.NT ],3月29日2012。W. R. Alford,A. Granville和C. PomeranceCarmichael数是无穷多的。安。数学的。(2)139(1994),3,703-722。W. R. Alford,A. Granville,C. Pomerance(1994)。论寻找可靠证人的困难“。计算机科学讲义877, 1994,第1-16.0%H A00 997 F. Arnault,论文%H A00 29 97 F. Arnault,关于几个基的强伪映射的CARMICEL数的构造符号计算杂志,第20卷,第2期,第1995页,第151-161页。Rabin Miller素数检验:通过它的复合数计算数学,第64卷,第209, 1995页,第355-361页。卢卡斯拟线性的Rabin Monier定理《计算数学》,第66卷,第218期,1997年4月,第869- 88页。事项计算(FXTBook)Eric Bach,Rex Fernando,786修正的Miller Rabin素数的无穷多CaMekes数,ARXIV预印记ARXIV:1512.00444 [数学,NT ],2015 .%%H A00 29 97 Sunghan Bae,Su Hu,Min Sha,关于CalMekes环、Carmichael理想和Carmichael多项式,ARXIV:1809.05432 [数学,NT ],2018。Carmichael数字(德语文本)%H A00 997 J布里哈特,新泽西州斯隆,J. D. Swift,通信,1972%H A00 29 97 Ronald Joseph Burthe,Jr.最小见证集和生成集的上界Acta Arith。80(1997),第4号,第31至第326条。卡迈克尔数%H A00 29 97 K. Conrad,Carmichael数与Korselt准则说明纸(2016),1-3.0%HAA2497 Harvey Dubner,形式(6m+1)(12m+1)(18m+1)的CalMekes数《整数序列》杂志,第5卷(2002)第02.2.1页,James Emery,数论,2013 .%%H A00 29 97 Jan Feitsma和William Galway,伪影表及其相关数据%H A00 29 97 Pratibha Ghatage和Brian Scott,正时是(a+b)^ n=a^ n+b^ n(mod n)?《大学数学》,第36卷,第4期(第2005期),第322页。关于Carmichael数的论文%H A00 29 97 A. Granville,素数检验与Carmichael数通知AMER。数学SoC,39(7, 1992),696-70.7%H AA90097 Andrew Granville和Carl Pomerance,关于Carmichael数的两个矛盾猜想数学。COMP71(2002),第238号,83-908。Carmichael数到10 ^ 12数学。COMP,55(1990),38~38 9%,Bernd C. Kellner,Jonathan Sondow,关于CalMekes和多边形数、伯努利多项式和Base-P数字的和,ARXIV:1902.10672 [数学,NT ],2019。%%H A00 997 A. Korselt,G·塔里,I. Franel和G. Vacca,普罗米耶姆奇努斯L'EntMediaEDE Madie MaTiCICIN 6(1899),142-144..0%HAA997 97 D. H. Lehmer,邮袋表勘误表数学。COMP,25(1971),944-945。25 944 Max Lewis 1971 Victor ScharaschkinK-LeM默和K-Ca迈克尔数,整数,16(2016),αA80。KoelSt准则-嵌套Carmichael数的推广%H A00 997 RoMeO Me TROVVI,CARMICEL数I的推广ARXIV:1305.1867 V1[数学NT],5月04日2013。一个包含两个连续幂和的同余模n^ 3《整数序列》杂志,第17卷(2014),第148页。卡迈克尔数高达10 ^ 12[断线,回程机[%HAA997数学参考项目,Carmichael数%H A00 997 R.G.E.PiCh,与Carmichael数有关的表%H A00 997 R.G.E.PiCH,Carmichael数达到10 ^ 1510 ^ 1610 ^ 16到10 ^ 1710 ^ 17到10 ^ 1810 ^ 1910 ^ 21C. Pomerance,J. L. Selfridge和S.S.瓦格斯塔夫,伪映射到25×10 ^ 9数学。CAMP,35(1980),1003-1026。通信,1991%H A00 29 97 F. Richman,素数检验的费马小定理%H A00 29 97 Vladimir Shevelev,具有两个变量函数的具有上下结构的排列数,整数,12(2012),αa1。-从J.A.SLaNeNe],FEB 07 2013μ%H A00 29 97 V Im Erka,ZBYTKY Z算法,(关于算术级数的剩余部分),asopi Pro P.StovaN.MatMataTy Fysiky.14(1885),221-225.h %AH997 97 Eric Weisstein的数学世界,卡迈克尔数诺德尔数伪素数维基百科,卡迈克尔数%H A00 29 97 Thomas Wright,算术级数中的无穷多CaMekes数出现在伦敦数学学会的公告中,ARXIV:122.5850V1[数学NT],2012。与卡迈克尔数相关的序列的索引条目。%p A002997 filter:= proc(n) %p A002997 local q; %p A002997 if isprime(n) then return false fi; %p A002997 if 2 &^ (n-1) mod n <> 1 then return false fi; %p A002997 if not numtheory:-issqrfree(n) then return false fi; %p A002997 for q in numtheory:-factorset(n) do %p A002997 if (n-1) mod (q-1) <> 0 then return false fi %p A002997 od: %p A002997 true; %p A002997 end proc: %p A002997 select(filter, [seq(2*k+1,k=1..10^6)]); # _Robert Israel_, Dec 29 2014 %p A002997 isA002997 := n -> 0 = modp(n-1, numtheory:-lambda(n)) and not isprime(n) and n <> 1: %p A002997 select(isA002997, [$1..10000]); # _Peter Luschny_, Jul 21 2019 %t A002997 Cases[Range[1,100000,2], n_ /; Mod[n, CarmichaelLambda[n]] == 1 && ! Primeq[n](*-Atur-Jasnsiiki,APR 05;2008;来自AZAZESEOVOVI的小编辑,2月16日2011 *)%AO A900997(PARI)KorSELT(n)=I(F=因子(n));(i=1,αf[],1),如果(F[i,2 ]>1‰(n-1)%(f[i,1)-1),返回(0));1‰o A000 29 97 ISA000 29 97(n)=n%2和&!IsPrimy(n)& korSELT(n)& & n>1〉,查尔斯R GrasousIVI,6月10日2011‰O AA90097(PARI)ISAAA90097(n)=My(f);BITTEST(n,0)& &!对于(i=1,f=因子(n)),(f〔2,i〕=1和& n %(f〔1,i〕- 1)=1〕& &>f>1〕f·HasLeLy],8月24日2012‰O A000 29 97(Haskell)%O O A00 29 97 A00 29 97 N=A00 29 97表!(n-1)%AO A00 29 97 A00 29 97 1列表= [ X x x<A02455 6x列表,%O O AA29 97全部(=0)$ MAP((mod(x - 1)))。(subtract 1)) $ a027748_row x] %o A002997 -- _Reinhard Zumkeller_, Apr 12 2012 %o A002997 (MAGMA) [n: n in [3..53*10^4 by 2] | not IsPrime(n) and n mod CarmichaelLambda(n) eq 1]; // _Bruno Berselli_, Apr 23 2012 %o A002997 (Sage) %o A002997 def isCarmichael(n): %o A002997 if n == 1 or is_even(n) or is_prime(n): %o A002997 return False %o A002997 factors = factor(n) %o A002997 for f in factors: %o A002997 if f[1] > 1: return False %o A002997 if (n - 1) % (f[0] - 1) <> 0: %o A002997 return False %o A002997 return True %o A002997 print([n for n in (1..20000) if isCarmichael(n)]) # _Peter Luschny_, Apr 02 2019 %Y A002997 Cf. A001567, A002445, A002322, A006931, A024556, A027748, A055553, A064238-A064262, A083737, A087441, A087442, A135717, A141711, A153581, A225498, A285512, A285549, A309132, A324290, A324315, A324316, A324973, A324975, A324977, A326690. %Y A002997 Subsequence of A324050. %K A002997 nonn,nice,changed %O A002997 1,1‰AA929 97 N.J.A.SLaNeNeY.E.AA90097链接,由3月25日Join克里斯蒂安Hugand Dand,2009丹尼Roababuri更新的CARMICEL号码列表,OEIS最终用户许可协议下可获得05×2017‰内容:HTTP:/OEIS.Org/Lub