搜索： a064060-编号：a064060
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A000311号
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| 施罗德的第四个问题；还包括具有n标记叶片的系列生根树；n的总分区数。
（原名M3613 N1465）
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105
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0, 1, 1, 4, 26, 236, 2752, 39208, 660032, 12818912, 282137824, 6939897856, 188666182784, 5617349020544, 181790703209728, 6353726042486272, 238513970965257728, 9571020586419012608, 408837905660444010496, 18522305410364986906624
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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a（n）是具有n片叶子的标记系列衍生根树的数量（根的阶数为0或>=2）；a（n-1）=具有n片叶子的标记系列减少树的数量。还有带有n个标记边的串联平行网络的数量，除以2。
n的总分区本质上就是前一行第一部分的意思：取数字12…n，并将其划分为至少两个块。用至少2个元素将每个块划分为至少两个块。重复此操作，直到只剩下大小为1的块。（见斯坦利参考文献，第2卷。）-N.J.A.斯隆2016年8月3日
此外，还包括带有n个标签的单基因衍生系统发育树的数量。系统发育树是一种系列衍生的根树，其叶子是（通常是不相交的）非空集。如果没有非叶节点只覆盖单例分支，则它是单例减少的。例如，a（4）=26棵树是：
{1,2,3,4} {{1},{2},{3,4}} {{1},{2,3,4}}
{{1},{2,3},{4}} {{1,2},{3,4}}
{{1,2},{3},{4}} {{1,2,3},{4}}
｛｛1｝，｛2，4｝，｛3｝｝｛1，2，4｝，｛3｝｝
{{1,3},{2},{4}} {{1,3},{2,4}}
{{1,4},{2},{3}} {{1,3,4},{2}}
{{1,4},{2,3}}
{{{1},{2,3}},{4}}
{{{1,2},{3}},{4}}
{{1},{{2},{3,4}}}
｛｛1｝，｛｛2，3｝，｛4｝｝｝
{{{1},{2,4}},{3}}
{{{1,2},{4}},{3}}
{{1},{{2,4},{3}}}
{{{1,3},{2}},{4}}
{{{1},{3,4}},{2}}
{{{1,3},{4}},{2}}
{{{1,4},{2}},{3}}
{{{1,4},{3}},{2}}
（结束）
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第224页。
J.Felsenstein，《类推植物发生学》，西诺尔协会，2004年；见第25页及其后。
L.R.Foulds和R.W.Robinson，无二级点的系统发育树的枚举。Ars Combin.17（1984），A，169-183。数学。版本85f:05045
T.S.Motzkin，《组合数学》，Proc。交响乐团。纯数学。19，AMS，1971年，第167-176页。
J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第197页。
E.Schroeder，Vier组合问题，Z.f.数学。物理。，15 (1870), 361-376.
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见“总分区”，示例5.2.5，等式（5.27），以及第14页的图5-3。另请参阅第66页的注释。
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链接
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穆罕默德·巴拉卡特（Mohamed Barakat）、雷默·贝伦兹（Reimer Behrends）、克里斯托弗·杰斐逊（Christopher Jefferson）、卢卡斯·库恩（Lukas Kühne）和马丁·勒纳（Martin Leuner），秩3简单拟阵的生成及其在Terao自由度猜想中的应用，arXiv:1907.01073[math.CO]，2019年。
弗雷德·里克·巴西诺（Frédérique Bassino）、马蒂尔德·布维尔（Mathilde Bouvel）、瓦伦丁·弗雷（Valentin Féray）、卢卡斯·杰林（Lucas Gerin）、米卡埃尔·马佐恩（Mickaél Maazoun）和阿德琳·皮埃罗（Adeline Pierrot），随机有向图：布朗图极限和渐近度分布，arXiv:1907.08517[math.CO]，2019年。
A.Blass、N.Dobrinen和D.Raghavan，仅次于P分的最好成绩，arXiv预印本arXiv:1308.3790[math.LO]，2013。
P.J.Cameron，一些树状物体，夸脱。数学杂志。牛津，38（1987），155-183。MR0891613（89a:05009）。见第155和159页。
L.Carlitz和J.Riordan，标记的双端串联并联网络的数量杜克大学数学系。J.23（1956），435-445（序列名为{A_n}）。
约翰·恩格斯（John Engbers）、大卫·加尔文（David Galvin）和克利夫德·史密斯（Clifford Smyth），限制Stirling数和Lah数及其逆，arXiv:1610.05803[math.CO]，2016年。
J.Felsenstein，进化树的数量《系统动物学》，27（1978），27-33。（带注释的扫描副本）
J.Felsenstein，进化树的数量《系统生物学》，27（1978），第27-33页，1978年。
S.R.Finch，串并联网络2003年7月7日。[经作者许可，缓存副本]
史蒂文·芬奇，数学常数II《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018年。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 参见第129页
M.D.Hendy、C.H.C.Little、David Penny、，将树与标记的悬垂顶点进行比较，SIAM J.应用。数学。44（5）（1984）表1
Z.A.Lomnicki，双端串并联网络，高级应用程序。探针。，4 (1972), 109-150.
Dragan Mašulović，可数链的大拉姆齐谱，arXiv:1912.03022[math.CO]，2019年。
T.S.Motzkin，气缸和其他分类号的分类号，《组合数学》。交响乐团。纯数学。19，AMS，1971年，第167-176页。[带注释的扫描副本]
E.Schröder，维耶组合问题，Z.f.数学。物理。，15 (1870), 361-376. [带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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例如，A（x）满足exp A（x。
a（0）=0，a（1）=a（2）=1；对于n>=2，a（n+1）=（n+2）*a（n）+2*Sum{k=2..n-1}二项式（n，k）*a。
a（1）=1；对于n>1，a（n）=-（n-1）*a（n-1-迈克尔·索莫斯2012年6月4日
从中的阴影操作符LA135494号作用于x^n的是（a（.）+x）^n=（n*x^（n-1）/2）-（x^n/2）+和{j>=1}j^（j-1）*（2^（-j）/j！）*exp（-j/2）*（x+j/2）^n给出a（n）=2^（-n）*Sum_{j>=1}j^（n-1）*（（j/2）*exp（-1/2））^j/j！对于n>1-汤姆·科普兰2008年2月11日
设h（x）=1/（2-exp（x）），例如fA000670号，然后是的第n项A000311号由（h（x）*d/dx）^n）x在x=0时计算得出，即A（x）=exp（x*A（.））=xp（x*h（u）*d/du）u在u=0时进行计算。此外，dA（x）/dx=h（A（x））-汤姆·科普兰，2011年9月5日（自主微分方程见Jones第59页-汤姆·科普兰2019年12月16日）
a（n）=和{k=1..n-1}（n+k-1）*求和{j=1..k}（1/（k-j）！）*求和{i=0..j}2^i*（-1）^i*箍筋2（n+j-i-1，j-i）/（（n+j-i-1）*i！），n> 1，a（0）=0，a（1）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年1月28日
利用L.Comtet恒等式和D.Wasserman关于第二类相关Stirling数的显式公式(A008299号)得到：a（n）=和{m=1..n-1}和{i=0..m}（-1）^i*二项式（n+m-1，i）*和{j=0..m-i}（-1）^j*（（m-i-j）^（n+m-1-i））/（j！*（m-i-j）！）-彼得·雷格纳2012年10月8日
G.f.:x/Q（0），其中Q（k）=1-k*x-x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月1日
G.f.:x*Q（0），其中Q（k）=1-x*（k+1）/（x*（k+1）-（1-k*x）*（1-x-k*x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月11日
a（n）~n^（n-1）/（sqrt（2）*exp（n）*（2*log（2）-1）^（n-1/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年1月5日
E.g.f.A（x）满足d/dx A（x）=1/（1+x-2*A（x））-迈克尔·索莫斯2014年10月25日
O.g.f.：求和{n>=0}x/Product_{k=0..n}（2-k*x）-保罗·D·汉娜2014年10月27日
a（0）＝0，a（1）＝1；a（n）=n！*[x^n]exp（和{k=1..n-1}a（k）*x^k/k！）-伊利亚·古特科夫斯基2017年10月17日
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例子
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例如：A（x）=x+x^2/2！+4*x^3/3！+26*x^4/4！+236*x^5/5！+2752*x^6/6！+。。。
其中exp（A（x））=1-x+2*A（x
系列_反转（A（x））=x-x^2/2！-x^3/3！-x^4/4！-x^5/5！-x^6/6！+。。。
外径：g（x）=x+x^2+4*x^3+26*x^4+236*x^5+2752*x^6+39208*x^7+。。。
哪里
G（x）=x/2+x/（2*（2-x））+x/。。。
如果一棵有根的树没有一元分支，那么它是连续减少的，因此每个非叶节点至少覆盖另外两个节点。以下是a（4）=26系列衍生的有4个标记叶子的有根树。每个括号（…）对应于一个非叶节点。
(1234) ((12)34) ((123)4)
(1(23)4) (1(234))
(12(34)) ((124)3)
（1（24）3）（（134）2）
((13)24) (((12)3)4)
((14)23) ((1(23))4)
((12)(34))
(1((23)4))
(1(2(34)))
(((12)4)3)
((1(24))3)
(1((24)3))
(((13)2)4)
（（13）（24））
(((13)4)2)
((1(34))2)
(((14)2)3)
((14)(23))
(((14)3)2)
（结束）
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MAPLE公司
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M： =499；a： =数组（0..500）；a[0]：=0；a[1]：=1；a[2]：=1；对于从0到2的n，进行lprint（n，a[n]）；od：对于从2到M的n，做a[n+1]：=（n+2）*a[n]+2*加（二项式（n，k）*a[k]*a[n-k+1]，k=2..n-1）；l打印（n+1，a[n+1]）；操作：
阶数：=50；t1:=求解（级数（（exp（A）-2*A-1），A）=-x，A）；A000311号：=n->n*系数（t1，x，n）；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n＝0，1，`如果`（i＜1，0，
加（组合[多项式]（n，n-i*j，i$j）/j*
a（i）^j*b（n-i*j，i-1），j=0..n/i））
结束时间：
a： =n->`如果`（n<2，n，b（n，n-1））：
#更快的程序：
b： =proc（n，i）选项记忆；
`如果`（i=0且n=0，1，`如果`（i<=0或i>n，0，
i*b（n-1，i）+（n+i-1）*b（n-1，i-1））端：
a： =n->`如果'（n<2，n，加上（b（n-1，i），i=0..n-1）：
seq（a（n），n=0..40）#彼得·卢什尼2021年2月15日
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，0，n！SeriesCoefficient[Inverse Series[Series[1+2 x-Exp[x]，{x，0，n}]]，n]]；(*迈克尔·索莫斯2012年6月4日*）
a[n_]：=（如果[n<2，n，（column=ConstantArray[0，n-1]；column[[1]]=1；对于[j=3，j<=n，j++，column=column*Flatten[{Range[j-2]，ConstantArray[0，（n-j）+1]}]+Drop[Prepend[column，0]，-1]*Flatting[{Range[j-1，2*j-3]，Cons坦塔数组[0，n-j]}]；]；）；总和[列[[i]]，{i，n-1}]）；表[a[n]，｛n，0，20｝](*彼得·雷格纳，2012年10月5日，根据Felsenstein（1978）的公式*）
多项式[n_，k_List]：=n/次数@@（k！）；b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，和[多项式[n，连接[{n-i*j}，数组[i&，j]]/j*a[i]^j*b[n-i*j，i-1]，{j，0，n/i}]]；a[n_]：=如果[n<2，n，b[n，n-1]]；表[a[n]，{n，0，40}](*Jean-François Alcover公司，2016年2月7日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mtot[m_]：=前缀[Join@@Table[Tuples[mtot/@p]，{p，选择[sps[m]，1<长度[#]<长度[m]&]}]，m]；
表[Length[mtot[Range[n]]]，{n，0，6}](*古斯·怀斯曼2019年12月28日*）
（*长度长但容易理解*）
铅[_，n/；n<3]：=0
铅[h，n_]：=模块[{p，i}，
p=位置[h，{___}]；
求和[MapAt[{#，n}&，h，p[[i]]]，{i，长度[p]}]
]
follow[h，n_]：=模块[{r，i}，
r=替换[位置[h，{___}]，{a__}->{a，-1}，1]；
总和[插入[h，n，r[[i]]]，{i，长度[r]}]
]
结婚[_，n/；n<3]：=0
mary[h，n_]：=模块[{p，i}，
p=位置[h，_Integer]；
求和[MapAt[{#，n}&，h，p[[i]]]，{i，长度[p]}]
]
extend[a+b，n]：=扩展[a，n]+扩展[b，n]
扩展[a，n]：=引导[a，n]+跟随[a，n-]+结婚[a，n]
层次结构[1]：=层次结构[1]=扩展[hier[{}]，1]
hierarchies[n]：=层次结构[n]=扩展[层次结构[n-1]，n](*丹尼尔·盖斯勒2022年8月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，对于（i=1，n，a=Pol（exp（a+x*O（x^i））-a+x-1））；n！*polcoff（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2004年1月15日*/
（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，a=O（x）；对于（i=1，n，a=int形式（1/（1+x-2*a））；n！*polcoeff（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2014年10月25日*/
（PARI）{a（n）=n！*polceoff（serreverse（1+2*x-exp（x+x^2*O（x^n））），n）}
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）\\保罗·D·汉娜2014年10月27日
（PARI）\p100\\设置精度
{A=Vec（总和（n=0，600，1.*x/prod（k=0，n，2-k*x+O（x^31）））}
对于（n=0，25，print1（如果（n<1，0，round（A[n]）），“，”）\\保罗·D·汉娜2014年10月27日
（极大值）a（n）：=如果n=1，则1其他和（（n+k-1）*总和（1/（k-j）*总和（（2^i*（-1）^i）*stirling2（n+j-i-1，j-i））/（（n+j-i-1）*i！），i、 0，j），j，1，k），k，1，n-1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁，2012年1月28日*/
（Python）
从functools导入lru_cache
从数学导入梳
@lru_cache（最大大小=无）
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交叉参考
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关键词
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非n，核心，容易的，美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A007827号
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| 具有n个悬挂节点的同胚不可约（或序列减少）树的数量，或具有n个非割点或叶的continua的数量。 |
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+10个
15
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1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 13, 32, 73, 190, 488, 1350, 3741, 10765, 31311, 92949, 278840, 847511, 2599071, 8044399, 25082609, 78758786, 248803504, 790411028, 2523668997, 8095146289, 26076714609, 84329102797, 273694746208
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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此外，具有n片叶子的未生根多分支树形的数量（参见Felsenstein）。
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参考文献
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M.Cropper，J.组合数学。组合补偿。，第24卷（1997），177-184。
约瑟夫·费尔森斯坦（Joseph Felsenstein），推断系统发育。Sinauer Associates，Inc.，2004年，第33页（小心错误！）。
F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年，第62页。
S.B.Nadler Jr.，《连续体理论》，学术出版社。
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链接
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M.D.Hendy、C.H.C.Little、David Penny、，将树与标记的悬垂顶点进行比较，SIAM J.应用。数学。44（5）（1984年）。见表1。
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配方奶粉
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G.f.：1+（1+x-B（x））*B（x。。。为g.fA000669.
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MAPLE公司
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数学
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（*a9=A000669*)最大值=29；a9[1]=1；a9[n_]：=（s=系列[1/（1-x），{x，0，n}]；Do[s=级数[s/（1-x^k）^系数[s，x^k]，{x，0，n}]，{k，2，n}]；系数[s，x^n]/2）；b[x_]：=总和[a9[n]x^n，{n，1，max}]；gf[x]：=1+（1+x-b[x]）*b[x'；系数列表[系列[gf[x]，{x，0，max}]，x](*Jean-François Alcover公司2012年8月14日*）
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交叉参考
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关键词
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非n，美好的，容易的
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作者
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马修·克洛珀（mmcrop01（AT）雅典娜·路易斯维尔·edu）。
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扩展
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状态
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经核准的
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