迭代函数的组合数学

幂离散数学的一个有趣的证明是组合数学在动力学研究中的重要性连续迭代。与集合划分相关的贝尔多项式是动态映射的连续迭代并引用了第一类和第二类斯特林数。在解析递归的Carleman表示分析这个加泰罗尼亚数字和选票数字用于推导物流方程的连续迭代。补充不动点动力学的研究组合动力学研究周期不动点的动力学。它是沙科夫斯基的定理并利用排列和图。值得注意的是不仅主题本身是互补的，而且所使用的组合结构也是互补的；树木用于组合动力学的连续迭代和图。

组合动力学

我的最大进步过去十年对连续迭代的研究来自了解整数序列在线百科全书（OEIS）在阅读保罗·埃尔德斯.也许你听说过意大利面代码这个词？我的工作动力学是意大利面数学，它看起来是正确的，但它非常丑陋。所以我输入了整数序列从我工作的第一步到OEIS的系数我正在和贝尔多项式，复合函数的导数，同构于组合结构集合划分,也称为贝尔数。我输入了来自我进入OEIS工作的第一步，得出了整数分区，也称为分区函数。这让我想想什么组合结构可能与迭代函数的导数。似乎合理的是函数迭代组合的导数为同构于递归分区。我猜测了几次这个系数和项数之和；OEIS表示我正在研究组合结构恩斯特·施罗德1870页维耶组合问题一年后，施罗德写道U ber iterrite函数，他感兴趣的第一篇关于动力系统的论文四分作用。再次查看集合分区的OEIS条目时，我发现了一个组合结构的交叉引用施罗德第四问题，也称为层次结构和分区总数。我通常将施罗德的第四个问题称为层次结构以及它们的未标记版本作为未标记层次结构。这是的尊重菲利普·弗拉乔莱谁创造了这个名字，可以说是同时也是大量美丽和关于组合学的容易阅读的论文。还有层次结构组合结构在迭代函数中的中心作用一般动力系统。






D的Schroeder图和求和⁴（f）^n个（p）

递归分区的可视化如所示分区图使用递归贝尔数图创建“施罗德图”，其中列举了n个项目。很清楚我在哪里需要结束时，我终于能够根据标记和未标记层次及其解析表示我称之为迭代函数的导数施罗德总和.n^第个迭代函数在不动点处的导数由未标记的n或uhier（n）项的层次结构；上表显示uhier（4）=5。同样，整数系数之和第n个^第个迭代函数的导数给出了n的层次结构，在这种情况下hier（4）=26。这些关系或形态最好用范畴来表达以下交流图中的理论。我强烈推荐约翰·贝兹的网站为了了解更多范畴理论.

这个施罗德总和页面是从数学软件4.1笔记本基于迭代包我写了。计算了前八个Schroeder求和，但仅前五个因其大小而显示。前八个Schroeder求和可以从（f）¹（p）虽然（f）⁸（p）其中p是一个不动点。施罗德总和如下所示与未标记和已标记的层次结构关联。这个通过将算法推广到使用定点运算符枚举集合分区。

动力学组合学

最后，计算高度n层次的生成函数，I第一次相信，并显示出生成的层次结构高度1/4、1/3、，1/2,2,三,4, -1/2,-1,-2,i、 2i。考虑f（z）=e的情况^z（z）-1，固定点为零z的系数是1，所以我们有一个抛物线有理中性点固定点。求Schroeder求和式中的5项之和case给出了一个简单的多项式；1/2（6n^三-5个²+n） ●●●●。生成函数f²（z）是e^{e（电子）^z（z）-1}-1，用0划分集合的生成函数^第个项设置为零而不是一。快速计算表明Bell（4）=1/2（6n^三-5个²+n）|_n=2= 15. 函数f^-1（z）是对数（z+1），D⁴日志[z+1]|_z=0=1/2（6n^三-5个²+n）|_n=-1=-6，这显示了一个众所周知但美丽的组合真理，即第二类斯特林数成为n为负时的第一类。让f^-1/2（z） =a（z），然后a（a（z^z（z）-1.OEIS中A052122给出了a（z）的分子，第四项为零，与1/2（6n）一致^三-5个²+n）|_n=1/2= 0.f的导数^n个（z）其中f（z）=0，f'（z）=1，和D^kf（z）是有理的，是n中具有有理系数的多项式，因此更多可能会产生可在OEIS上验证的整数序列。请参见生成流用于其他组合结构。

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