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| A134685号 |
| 行读取的不规则三角形：直接拉格朗日反演的分区变换系数C（j，k）。 |
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24
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1, -1, 3, -1, -15, 10, -1, 105, -105, 10, 15, -1, -945, 1260, -280, -210, 35, 21, -1, 10395, -17325, 6300, 3150, -280, -1260, -378, 35, 56, 28, -1, -135135, 270270, -138600, -51975, 15400, 34650, 6930, -2100, -1575, -2520, -630, 126, 84, 36, -1
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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设f（t）=u（t）-u（0）=Ev[exp（u.*t）-u（0）]=log{Ev[（exp（z.*t。参考中给出了z_n和u_n之间的关系A127671号并且u_n=（n-1）！*a_n。
如果u_1不等于0，则这些表达式的组成逆式由g（t）=Sum_{j>=1}P（j，t）给出，其中，为了简洁起见，u_n用（n'）表示，
P（1，t）=（1'）^（-1）*[1]*t
P（2，t）=（1'）^（-3）*[-（2'）]*t^2/2！
P（3，t）=（1'）^（-5）*[3（2'）^2-（1'）（3'）]*t^3/3！
P（4，t）=（1'）^（-7）*[-15（2'）^3+10（1'，2'）（3'）-（1'）^2（4'）]*t^4/4！
P（5，t）=（1'）^（-9）*[105（2'）^4-105（1'）（2'，^2（3'）+10（1'）^2（3’）^2+15（1'，^2'）（4'）-（1’）^3（5'）]*t^5/5！
P（6，t）=（1'）^（-11）*[-945（2'）^5+1260！
P（7，t）=（1'）^（-13）*[10395（2'）^6-17325 28（2'）（6'）]-（1'）^5（7'）]*t^7/7！
P（8，t）=（1'）^（-15）*[-135135（2'）^7+270270 4'）+1575（2'）（4'）^2+2520（2']*t^8/8！
...
将每个分区中的（m'）替换为（m-1）'，并忽略（0'）因子，P（n，t）括号中的分区成为第831页Abramowitz和Stegun中列出的n-1分区（按相反的顺序），P（m，t）中的分区数由下式给出A000041号（n-1）。
链接中给出了组合解释。
幻灯片33和42中关于移动帧（MFP）的Olver演示中特殊欧几里德群SE（2）和特殊仿射群SA（2）的延拓系数。这些是应用形式为h（x）d/dx=d/dy的迭代导数的结果，如本条目所示（更一般地说，如A145271号). 另见Olver关于接触形式的论文第6页，但请注意，在s（t）的成分反演公式中，12应该是15。
更改MFP中的变量以获得与分区多项式Prt_n=n！*的连接上面的P（n，1）。设MFP中等仿射曲线公式中的δ和β分别为L和B，D_y=（1/（L-B*u_x））D/dx=（1/w_x）D/dx。那么，对于n>1，MFP中的v_（yy）=（1/B）[-w_（xx）/（w_x）^3]（对于v_（yy）和高次导数w.r.t.y，MFP存在整体符号错误），并且（d/dy）^n v=v_n=（1/B）*[（1/w_1）*（d/dx）^（n-2）[-w_2/（w_1）=-B*u_n=w_n，对于n>1和（1'）=L-B*u_1=w_1，其中u_n=（d/dx）^nu，然后除以B。例如，v_4=（1/B）*Prt_4=*P（4,1）=（1/B）（L-B*u_n）^（-7）[-15*（-B*u2）^3+10（L-B*u1）（-B*u2）（-B*u_3）-（L-B*u1）^2（-B*u_4）]，除整体符号外，与MFP中的v_4一致。
对于MFP中的SE（2）变换公式，设w_x=cos（phi）+sin。（结束）
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。第55辑，第十次印刷，1972年，第831页。
D.S.Alexander，《复杂动力学史：从Schröder到Fatou再到Julia》，Friedrich Vieweg&Sohn，1994年，第10页。
J.Riordan，《组合恒等式》，罗伯特·E·克里格出版社。Co.，1979年，（第181页表5.2中的无符号分区多项式，但可能有错误）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
H.Figueroa和J.Gracia-Bondia，量子场论中的组合Hopf代数I，arXiv:0408145[hep-th]，2005年，（第38页）。
E.盖茨勒，模运算的半经典逼近，arXiv:alg-geom/96120051996（见第2页）。
P.Olver，移动框架，幻灯片演示，2009年。
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公式
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P（n，t）的方括号分区的形式为（u_1）^e（1）（u_2）^e。。。（u_n）^e（n），系数由（-1）^（n-1+e（1））*[2*（n-1）-e（1）]给出！/[2！^e（2）*e（2）！*3！^e（3）*e（3）！…n！^e（n）*e（n）！]。
设h（t）=1/（df（t）/dt）
=1/Ev[u.*exp（u.*t）]
=1/（u1+（u2）*t+（u_3）*t^2+（u_4）*t^3/3！+…），
不*P（n，t）=（（t*h（y）*d/dy）^n）y在y=0时计算，
f（t）的成分逆是
g（t）=exp（t*h（y）*d/dy）y，在y=0时计算。
exp[x*PS（.，t）]=exp[t*g（x）]=exp[x*h（y）d/dy]exp（t*y）eval。在y=0时，提升/创建和降低/湮灭算子
由R PS（n，t）=PS（n+1，t）和L PS（n、t）=n*PS（n-1，t）定义为
R=t*h（d/dt）=t*1/[u_1+（u_2）*d/dt+（u_3）*（d/dt^2/2！+…]，和
L=f（d/dt）=（u_1）*d/dt+（u_2）*（d/dt^2/2+（u_3）*（d/dt）^3/3！+。。。。
那么P（n，t）=（t^n/n！）dPS（n，z）/dz eval。z=0时。（参见。A139605型,A145271号，并链接到第13页上种植树木的数学森林。）（结束）
P（n，t）的方括号配分多项式也由（d/dx）^（n-1）1/[u_1+u_2*x/2！+u_3*x^2/3！+…+u_n*x^（n-1）/n！]^n在x=0时计算得出-汤姆·科普兰2015年7月7日
等效矩阵计算：将下三角Pascal矩阵的第m条对角线（主对角线的指数为m=1）乘以在x=0时计算的u_m=（d/dx）^mf（x），得到UP（n，k）=二项式（n，k）u_{n+1-k}的矩阵UP。则P（n，t）=（1，0，0，…）[UP^（-1）*S]^（n-1）FC*t^n/n！，其中S是移位矩阵A129185号，表示基x^n//n！的微分！，FC是UP^（-1）的第一列，UP的逆矩阵。这些结果来自A145271号和2013年3月14日. -汤姆·科普兰2016年7月15日
另外，P（n，t）=（1，0，0，…）[UP^（-1）*S]^n（0，1，0…）^t*t^n/n！与一致A139605型. -汤姆·科普兰2016年8月27日
设PS（n，u1，u2，…，un）=P（n，t）/（t^n/n。
还设PS（n，u1=1，u2，…，un）=PB（n，b1，b2，…，bK，…），其中每个bK表示具有K个分量或块的PS的分区，其中u1=1，例如，PS（5,1，u2，…，u5）=PB（5，b1，b2，b3，b4）=b1+b2+b3+b4，其中b1=-u5，b2=15 u2 u4+10 u3^2，b3=-105 u2^2 u3，b4=105 u2^4。
无粘Burgers方程的解与组成逆对之间的关系（参见link和A086810美元)意味着，对于n>2，PB（n，0*b1，1*b2，…，（K-1）*bK，…）=（1/2）*Sum_{k=2..n-1}二项式（n+1，k）*PS（n-k+1，u1=1，u2，…，u_（n-k+1））*PS（k，u1=1，u2，…，u_k）。
例如，PB（5,0*b1，1*b2，2*b3，3*b4）=3*105 u2^4-2*105 u2 ^2 u3+1*15 u2 u4+1*10 u3^2-0*u5=315 u2 ^4-210 u2^2 u3+15 u2 u4+10 u3 ^2=（1/2）[2*6！/（4！*2！）*PS（2,1，u2）*PS，u2，u3）^2]=（1/2）*[2*6！/（4！*2！）*（-u2）（-15 u2^3+10 u2 u3-u4）+6！/（3！*3！）*.
此外，PB（n，0*b1,1*b2，…，（K-1）*bK，…）=d/dt t^（n-2）*PS（n，u1=1/t，u2，…，un）|_{t=1}=d/dt（1/t）*PS。
（结束）
从低阶多项式和Bell多项式的系数计算该项的每个划分多项式的递归关系A036040型在博客条目“形式群定律和二项式Sheffer序列”中介绍-汤姆·科普兰2018年2月6日
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例子
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示例和检查：
1） 对于n>1，设u_1=-1和u_n=1，
则f（t）=exp（u.*t）-u（0）=exp-（t）-2t-1
（0,1,1,4,262362752，…）=（0，-P（1,1），2*P（2,1），-3*P（3，1），4*P（4,1），…）。
2） 设u_1=-1和u_n=（n-1）！对于n>1，
则f（t）=-log（1-t）-2t
使用（0，A032188美元)=（0,1,1,5,414696889，…）=（0，-P（1,1），2*P（2,1），-3！P（3，1），…）。
3） 设u_1=-1和u_n=（-1）^n（n-2）！对于n>1，则
f（t）=（1+t）对数（1+t）-2t
使用（0，A074059美元)=（0,1,1,2,7,34213，…）=（0，-P（1,1），2*P（2,1），-3*P（3,1），…）。
4） 对于n>2，设u_1=1，u_2=-1，u_n=0，
则f（t）=t（1-t/2）
使用（0，A001147号)=（0,1,1,3,15105945…）=（0，P（1,1），2*P（2,1），3*P（3，1），…）。
5） 对于n>2，设u_1=1，u_2=-2，u_n=0，
则f（t）=t（1-t）
且g（t）=t*【o.g.f.ofA000108号]=[1-（1-4吨）^（1/2）]/2
使用（0，A000108号)=（0,1,1,2,5,14,42，…）=（0，P（1,1），P（2,1），P（3,1），…）。
.
三角形开始：
[1] 1;
[2] -1;
[3] 3, -1;
[4] -15, 10, -1;
[5] 105, -105, [10, 15], -1;
[6] -945, 1260, [-280, -210], [35, 21], -1;
[7] 10395, -17325, [6300, 3150], [-280, -1260, -378], [35, 56, 28], -1;
[8] -135135, 270270, [-138600, -51975], [15400, 34650, 6930], [-2100, -1575, -2520, -630], [126, 84, 36], -1
系数可以看作是Ward数的细化：设R（n，k）=总和T（n，k），其中总和用等号收集相邻项，如表中方括号所示，然后R（n+1，k+1）=（-1）^A181996号，对于n>=0和0<=k<=n-1。（结束）
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数学
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行[n_]：={{1}}~连接~模块[{h=1/（1+和[u[k]y^k/k！，{k，n-1}]+O[y]^n），g=y，r}，r=Reap[Do[g=hD[g，y]；母猪[展开[正常@g /. {y->0}]]，{k，n}]][[2，1，；；]]；表[系数[r[[k]]，乘积[u[t]，{t，p}]]，{k，2，n}，{p，反向@排序[Sort/@IntegerPartitions[k-1]}]]；
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交叉参考
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关键字
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签名,标签
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作者
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扩展
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P（7，t）和P（8，t）数据由汤姆·科普兰2016年1月14日
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状态
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经核准的
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