%I M3613 N1465#279 2023年11月20日09:28:42

%S 0,1,1,4,26236275239208660032128189122821378246939897856，

%电话：18866618278456173490205441817907032097286353726042486272，

%电话：238513970965257728957102058641901260840883790566044401049618522305410364986906624

%N Schroeder的第四个问题；还包括具有n标记叶片的系列生根树；n的总分区数。

%C a（n）是具有n个叶子的标记序列归根树的数量（根的度为0或>=2）；a（n-1）=具有n片叶子的标记系列减少树的数量。还有带有n个标记边的串联平行网络的数量，除以2。

%C n的总分区本质上就是前一行的第一部分的意思：取数字12…n，并将它们划分为至少两个块。将具有至少2个元素的每个块划分为至少两个块。重复此操作，直到只剩下大小为1的块。（参考斯坦利，第2卷）-N.J.A.Sloane，2016年8月3日

%C三角形A008517中系数为2.-的多项式_Ralf Stephan，2004年12月13日

%C无符号A134685的行总和。-_汤姆·科普兰，2008年10月11日

%C A134991的行总和，其中包含该序列及其组成逆序列的例如f_汤姆·科普兰，2018年1月24日

%C来自Gus Wiseman_，2019年12月28日：（开始）

%C还包括带有n个标签的单基因衍生系统发育树的数量。系统发育树是一种系列衍生的根树，其叶子是（通常是不相交的）非空集。如果没有非叶节点只覆盖单例分支，则它是单例减少的。例如，a（4）=26棵树是：

%C{1,2,3,4}{{1}，{2}，}{3,4{{1{，{2,3,4]}

%C{{1}，{2,3}，}{4}}{1,2}，[3,4}}

%C{{1,2}、{3}、}4}{1,2,3}和{4}}

%C{{1}，{2,4}，}3}{1,2,4}，{3}}

%C{{1,3}、{2}、}4}{{1,3+、{2,4}}

%C{{1,4}、{2}、}3}{1,3,4}和{2}}

%C{{1,4}，{2,3}}

%C{{1}，{2,3}}，}4}}

%C{{1,2}，{3}}，}4}}

%C{{1}、{{2}、}3,4}}

%C{{1}、{{2,3}、}4}}

%C{{1}、{2,4}}、}3}

%C{{1,2}，{4}}，}3}}

%C{{1}、{{2,4}和{3}}

%C{{1,3}，{2}}，}4}}

%C{{1}，{3,4}}，}2}}

%C{{1,3}，{4}}，}2}}

%C{{1,4}，{2}}，}3}}

%C{{1,4}，{3}}，}2}}

%C（完）

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%H N.J.A.Sloane，N表，N=0..500时的A（N）</a>

%H<a href=“/index/Tra#trees”>为与树相关的序列索引条目</a>

%H<a href=“/index/Ro#rooted”>与根树相关的序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Mo#Moon87”>Moon（1987）中提到的序列索引条目</a>

%H<a href=“/index/Par#parens”>为与括号相关的序列索引条目</a>

%F例如，A（x）满足exp A（x。

%如果a（0）=0，a（1）=a（2）=1；对于n>=2，a（n+1）=（n+2）*a（n）+2*Sum{k=2..n-1}二项式（n，k）*a。

%F a（1）=1；对于n>1，a（n）=-（n-1）*a（n-1_Michael Somos，2012年6月4日

%F从A135494中作用于x^n的本影算子L出发，本影地，（a（.）+x）^n=（n*x^（n-1）/2）-（x^n/2）+和{j>=1}j^（j-1）*（2^（-j）/j！）*exp（-j/2）*（x+j/2）^n给出a（n）=2^（-n）*Sum_｛j>=1｝j^（n-1）*（（j/2）*exp（-1/2））^j/j！对于n>1.-_汤姆·科普兰，2008年2月11日

%设h（x）=1/（2-exp（x）），例如，对于A000670，则A000311的第n项由在x=0处评估的（（h（x）*d/dx）^n）x给出，即A（x）=exp（x*A（.））=exp（x*h（u）*d/du）u在u=0处评估。此外，dA（x）/dx=h（A（x））.-_汤姆·科普兰，2011年9月5日

%F A134991给出了（b.+c.）^n=0^n，对于（b_n）=A000311（n+1）和（c_0）=1，（c_1）=-1，以及（c_n）=-2*A000311。例如，本影，（b.+c.）^2=b_2*c_0+2b_1*c_1+b_0*c_2=0.-_汤姆·科普兰，2011年10月19日

%F a（n）=和{k=1..n-1}（n+k-1）*求和{j=1..k}（1/（k-j）！）*求和{i=0..j}2^i*（-1）^i*箍筋2（n+j-i-1，j-i）/（（n+j-i-1）*i！），n> 1，a（0）=0，a（1）=1.-_Vladimir Kruchinin，2012年1月28日

%F使用L.Comtet恒等式和D.Wasserman关于相关第二类Stirling数（A008299）的显式公式，可以得到：a（n）=Sum_{m=1..n-1}Sum__{i=0..m}（-1）^i*二项式（n+m-1，i）*Sum_{j=0..m-i}（-1）^j*（（（m-i-j）^（n+m-1-i）））/（j！*（m-i-j）！）_Peter Regner，2012年10月8日

%F G.F.:x/Q（0），其中Q（k）=1-k*x-x*（k+1）/Q（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月1日

%F G.F.:x*Q（0），其中Q（k）=1-x*（k+1）/（x*（k+1）-（1-k*x）*（1-x-k*x；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年10月11日

%F a（n）~n^（n-1）/（sqrt（2）*exp（n）*（2*log（2）-1）^（n-1/2））_瓦茨拉夫·科特索维奇，2014年1月5日

%F例如，A（x）满足d/dx A（x_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年10月25日

%计算公式：和{n>=0}x/产品{k=0..n}（2-k*x）_Paul D.Hanna，2014年10月27日

%F例如：（x-1-2兰伯特W（-exp（（x-1）/2）/2））/2.-_Vladimir Reshetnikov，2015年10月16日（例如，A135494中给出了f.，这是我2008年公式中提到的条目，A134991中给出了它的成分反转。-Tom Copeland_，2018年1月24日）

%F a（0）=0，a（1）=1；a（n）=n！*[x^n]exp（和{k=1..n-1}a（k）*x^k/k！）.-_伊利亚·古特科夫斯基，2017年10月17日

%对于n>=1.-，F a（n+1）=和{k=0..n}A269939（n，k）_Peter Luschny_，2021年2月15日

%例如：A（x）=x+x^2/2！+4*x^3/3！+26*x^4/4！+236*x ^5/5！+2752*x^6/6！+。。。

%e，其中exp（A（x））=1-x+2*A（x

%e系列_版本（A（x））=x-x^2！-x^3/3！-x^4/4！-x^5/5！-x^6/6！+。。。

%e O.g.f.：g（x）=x+x^2+4*x^3+26*x^4+236*x^5+2752*x^6+39208*x^7+。。。

%e其中

%e G（x）=x/2+x/（2*（2-x））+x/。。。

%e来自Gus Wiseman_，2019年12月28日：（开始）

%e如果一棵有根树没有一元分支，那么它是连续减少的，因此每个非叶节点至少覆盖另外两个节点。以下是a（4）=26系列衍生的有4个标记叶子的有根树。每个括号（…）对应于一个非叶节点。

%e（1234）（（12）34）（（123）4）

%e（1（23）4）（1（234））

%e（12（34））（（124）3）

%e（1（24）3）（（134）2）

%e（（13）24）（（12）3）4）

%e（14）23）（1（23）4）

%e（（12）（34））

%e（1（23）4））

%e（1（2（34）））

%e（（12）4）3）

%e（（1（24））3）

%e（1（24）3））

%e（（13）2）4）

%e（（13）（24））

%e（（13）4）2）

%e（（1（34））2）

%e（（14）2）3）

%e（（14）（23））

%e（（14）3）2）

%e（结束）

%p M：=499；a： =数组（0..500）；a[0]：=0；a[1]：=1；a[2]：=1；对于从0到2的n，执行lprint（n，a[n]）；od：对于从2到M的n，做a[n+1]：=（n+2）*a[n]+2*加法（二项式（n，k）*a[k]*a[n-k+1]，k=2..n-1）；l打印（n+1，a[n+1]）；日期：

%p顺序：=50；t1:=求解（级数（exp（A）-2*A-1），A）=-x，A）；A000311:=n->n*系数（t1，x，n）；

%p#第二个Maple程序：

%p b:=proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，

%p加（组合[多项式]（n，n-i*j，i$j）/j*

%pa（i）^j*b（n-i*j，i-1），j=0..n/i））

%p端：

%p a：=n->`如果`（n<2，n，b（n，n-1））：

%p序列（a（n），n=0..40）；#_Alois P.Heinz，2016年1月28日

%p#更快的程序：

%p b:=proc（n，i）选项记忆；

%p`if`（i=0且n=0，1，` if`（i<=0或i>n，0，

%p i*b（n-1，i）+（n+i-1）*b（n-1，i-1））端：

%p a:=n->`如果`（n<2，n，加（b（n-1，i），i=0..n-1））：

%p序列（a（n），n=0..40）；#_Peter Luschny_，2021年2月15日

%t nn=19；系数表[Inverse Series[Series[1+2a-E^a，{a，0，nn}]，x]，x]*Range[0，nn]！（*_Jean-François Alcover，2011年7月21日*）

%t a[n_]：=如果[n<1，0，n！SeriesCoefficient[Inverse Series[Series[1+2 x-Exp[x]，{x，0，n}]]，n]]；（*迈克尔·索莫斯，2012年6月4日*）

%t a[n_]：=（如果[n<2，n，（column=ConstantArray[0，n-1]；column[[1]]=1；对于[j=3，j<=n，j++，column=column*Flatten[{Range[j-2]，ConstantArray[0，（n-j）+1]}]+Drop[Prepend[column，0]，-1]*Flatden[{Range[j-1，2*j-3]，Cons坦塔数组[0，n-j]}]；]；总和[列[[i]]，{i，n-1}]）；表[a[n]，{n，0，20}]（*_Peter Regner_，2012年10月5日，根据Felsenstein（1978）的公式*）

%t多项式[n_，k_List]：=n/次数@@（k！）；b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，和[多项式[n，连接[{n-i*j}，数组[i&，j]]/j*a[i]^j*b[n-i*j，i-1]，{j，0，n/i}]]；a[n_]：=如果[n<2，n，b[n，n-1]]；表[a[n]，{n，0，40}]（*_Jean-François Alcover_，2016年2月7日，在_Alois P.Heinz_*之后）

%sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；

%t mtot[m_]：=前缀[Join@@Table[元组[mtot/@p]，{p，选择[sps[m]，1<长度[#]<长度[m]&]}]，m]；

%t表[Length[mtot[Range[n]]]，｛n，0,6｝]（*_Gus Wiseman_，2019年12月28日*）

%t（*长度长但容易理解*）

%t导联[_，n/；n<3]：=0

%t导联[h，n_]：=模块[｛p，i｝，

%t p=位置[h，｛___｝]；

%t总和[MapAt[{#，n}&，h，p[[i]]]，{i，长度[p]}]

%t）

%t跟随[h，n_]：=模块[{r，i}，

%t r=替换[位置[h，{___}]，{a__}->{a，-1}，1]；

%t总和[插入[h，n，r[[i]]]，{i，长度[r]}]

%t）

%t结婚[_，n/；n<3]：=0

%t mary[h，n_]：=模块[{p，i}，

%t p=位置[h，_Integer]；

%t总和[MapAt[{#，n}&，h，p[[i]]]，{i，长度[p]}]

%t）

%t扩展[a+b，n]：=扩展[a，n]+扩展[b，n'

%t扩展[a，n]：=引导[a，n]+跟随[a，n-]+结婚[a，n]

%t层次结构[1]：=层次结构[1]=扩展[hier[{}]，1]

%t层次结构[n]：=层次结构[n]=扩展[层次结构[n-1]，n]（*_Daniel Geisler，2022年8月22日*）

%o（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，对于（i=1，n，a=Pol（exp（a+x*o（x^i））-a+x-1））；n！*polcoff（a，n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年1月15日*/

%o（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=o（x）；对于（i=1，n，a=整数（1/（1+x-2*a））；n！*polcoeff（a，n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年10月25日*/

%o（PARI）{a（n）=n！*polceoff（serreverse（1+2*x-exp（x+x^2*o（x^n））），n）}

%o（n=0，30，print1（a（n），“，”））\\_Paul D.Hanna，2014年10月27日

%o（PARI）\p100\\设置精度

%o{A=Vec（总和（n=0，600，1.*x/prod（k=0，n，2-k*x+o（x^31）））}

%o表示（n=0，25，打印1（如果（n<1.0，圆形（A[n]）），“，”））\\保罗·D·汉纳，2014年10月27日

%o（最大值）a（n）：=如果n=1，则1为其他和（（n+k-1）*总和（1/（k-j）*总和（（2^i*（-1）^i）*stirling2（n+j-i-1，j-i））/（（n+j-i-1）*i！），i、 0，j），j，1，k），k，1，n-1）；/*_Vladimir Kruchinin，2012年1月28日*/

%o（Python）

%o从functools导入lru_cache

%o来自数学导入梳

%o@lru_cache（maxsize=无）

%o def A000311（n）：如果n<=1，则返回n-（n-1）*A000311（n-1）+comb（n，m:=n+1>>1）*（如果n和1，则返回0 A000311（m）**2）+（sum（comb（n，i）*A000311（i）*A000311（n-i）for i in range（1，m））<<1）#_Chai Wah Wu_，2022年11月10日

%Y行A064060和A134991的总和。

%Y未标记的版本是A000669。

%Y未标记的系统发育树为A141268。

%Y节点计数版本为A060356，未标记版本为A001678。

%Y带有n个标记的系统发育树为A005804。

%集合分区的Y链为A005121，最大版本为A002846。

%Y系列生根树的非等效叶色为A318231。

%Y参见A001003、A007827、A005805、A006351、A000084。

%Y对于n>=2，A000311（n）=A006351（n）/2=A005640（n）/2 ^（n+1）。

%Y参考A000110，A000669=未标记层次结构，A119649。

%Y参考A000670、A135494、A134685。

%Y参见A048816、A196545、A213427、A316651、A316652、A330626、A33062/。

%Y参见A000169、A042977、A133314、A134685、A269939。

%K nonn，核心，简单，好

%0、4

%A _N.J.A.斯隆_

%E Name由Gus Wiseman_编辑，2019年12月28日