搜索： a008408-编号：a008408
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1, 0, 8190, 698880, -754790400, -131455134720, 90235527782400, 25034722952279040, -11631379080860106750, -4740180695347850188800, 1500620323887236434821120, 888527739621938585682240000, -181995668700704689414022799360, -164466129435036361896228722795520
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《七个错开的序列》，《向一个花脸拼图机致敬》，E.Pegg Jr.、A.H.Schoen和T.Rodgers（编辑），A.K.Peters、Wellesley，马萨诸塞州，2009年，第93-110页。
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链接
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N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，J.组合理论，A辑，113（2006），1732-1745。
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，arXiv:math/0509316[math.NT]，2005-2006。
Eric Weistein的《数学世界》，水蛭格子
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例子
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更准确地说，水蛭晶格的θ级数(A008408号)开始于1+196560*q^4+16773120*q^6+398034000*q^8+4629381120*qq^10+。。。它的第24根是1+8190*q^4+698880*q^6-754790400*q^8-131455134720*q^10+。。。
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数学
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条款=14；s=（-45/16椭圆Theta[2,0，q]^8椭圆Theta[3，0，q]^8椭圆theta[4，0，q]^8+1/8（椭圆Theta[2]，0，q]^8+椭圆Theta[3]，0，q]^8+EllipticTheta[4,0，q]^8）^3）^（1/24）+O[q]^（2项）；(*Jean-François Alcover公司，2017年7月7日，来自LatticeData（Leech）*）
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0, 196560, 16773120, -18919981080, -3292295086080, 2312547886368720, 640457437563740160, -302667453389051314200, -123005476312830648176640, 39529719620247267255853008, 23306082528463942764630528000, -4849033309391159571741461446680
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a（n）是24的倍数。
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链接
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Eric Weistein的《数学世界》，水蛭格子
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例子
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1+196560*q^2+16773120*q^3+398034000*q^4+…=（1-q^2）^（-196560）*。
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交叉参考
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作者
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经核准的
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A000594号
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| Ramanujan的tau函数（或Ramanujian数，或tau数）。
（原M5153 N2237）
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1, -24, 252, -1472, 4830, -6048, -16744, 84480, -113643, -115920, 534612, -370944, -577738, 401856, 1217160, 987136, -6905934, 2727432, 10661420, -7109760, -4219488, -12830688, 18643272, 21288960, -25499225, 13865712, -73279080, 24647168
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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全模组重量12的尖点形式的系数。
据推测，τ（n）从不为零（这一点已被证实为n<816212624008487344127999，见Derickx，van Hoeij，Zeng参考）。
M.J.Hopkins提到，唯一已知的tau（p）==1（mod p）为11、23和691的素数p，决定是否有无穷多这样的p是一个开放的问题，而在35000以下没有其他已知的p。西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）目前已搜索到陶（314747），没有发现其他例子-N.J.A.斯隆2007年3月25日
Martin（1996）表一列出的74个eta商中排名第一。
利用Dedekind的eta函数和判别式Delta，我们可以得到eta（z）^24=Delta（z）/（2*Pi）^12=Sum_{m>=1}τ（m）*q^m，其中q=exp（2*Pi*i*z），z位于复上半平面，其中i是虚单位。Delta是Hecke算子T_n（n>=1）的本征函数，本征值为tau（n）：T_n Delta=tau（n）Delta。由此得出以下公式部分中给出的τ（m）*τ（n）的公式。例如，参见Koecher-Krieg参考文献，Lemma和Satz，第212页。或第114页的Apostol参考文献，等式（3）和第131页的第6.13节第一部分-沃尔夫迪特·朗2016年1月26日
关于a（n）的Dirichlet级数F（s）满足的函数方程，Re（s）>7，见Hardy参考，第173页，（10.9.4）。它是（2*Pi）^（-s）*Gamma（s）*F（s）=。这归因于J.R.Wilton，1929年，第185页-沃尔夫迪特·朗2017年2月8日
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参考文献
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Tom M.Apostol，《数论中的模函数和Dirichlet级数》，第二版，Springer出版社，1990年，第114、131页。
G.Everest、A.van der Poorten、I.Shparlinski和T.Ward，《递归序列》，美国。数学。Soc.，2003年；特别见第255页。
Farkas和Kra，Theta常数，黎曼曲面和模群，AMS 2001；见第298页。
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H.McKean和V.Moll。椭圆曲线，弧度。大学出版社，第139页。
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唐·扎吉尔（Don Zagier）。《椭圆模形式及其应用》，模形式1-2-3。施普林格-柏林-海德堡，2008年。1-103.
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链接
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Eric Weistein的《数学世界》，Tau函数
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配方奶粉
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G.f.：x*Product_{k>=1}（1-x^k）^24=x*A（x）^8，带有A010816号.
G.f.是满足f（-1/t）=（t/i）^12f（t）的周期1傅立叶级数，其中q=exp（2pi i t）-迈克尔·索莫斯，2011年7月4日
如果p是素数，abs（a（n））=O（n^（11/2+ε）），abs。这些都是Ramanujan推测的，并由Deligne证明。
扎吉尔说：这些公式的证明，如果从头开始写出来的话，估计有2000页；在他的书中，马宁引用了这一比率的可能记录：“证明长度：陈述长度”在整个数学中。
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=u*w*（u+48*v+4096*w）-v^3-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
a（n）=τ（n）（τ（0）=0）：τ（m）*tau（n）=Sum_{d|gcd（m，n）}d^11*tau。参见上文注释和Koecher-Krieg参考，第212页，等式（5）-沃尔夫迪特·朗，2016年1月21日
Dirichlet级数作为乘积：和{n>=1}a（n）/n^s=product{n>=1}1/（1-a（素数（n））/prime（n）^s+素数（n）^（11-2*s））。请参阅Mordell链接，等式（2）-沃尔夫迪特·朗2016年5月6日。另见哈代，第164页，等式（10.3.1）和（10.3.8）-沃尔夫迪特·朗2017年1月27日
G.f.eta（z）^24（q=exp（2*Pi*i*z））也是（E_4（q）^3-E_6（q）*2）/1728。参见哈代参考文献，第166页，等式（10.5.3），Q=E_4和R=E_6，见A004009号和A013973号分别是-沃尔夫迪特·朗2017年1月30日
通用公式：x*exp（-24*Sum_{k>=1}x^k/（k*（1-x^k）））-伊利亚·古特科夫斯基2018年2月5日
〔-24，-24，-24，-24，-24，…〕的欧拉变换-西蒙·普劳夫，2018年6月21日
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例子
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G.f.=q-24*q^2+252*q^3-1472*q^4+4830*q^5-6048*q^6-16744*q^7+84480*q^8-113643*q^9+。。。
35328=（-24）*（-1472）=a（2）*a（4）=a。参见上文关于T_n Delta=τ（n）Delta的注释-沃尔夫迪特·朗2016年1月21日
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枫木
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M:=50；t1:=系列（x*mul（（1-x^k）^24，k=1..M），x，M）；A000594号：=n->系数（t1，x，n）；
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数学
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系数列表[Take[Expand[Product[（1-x^k）^24，{k，1，30}]，30]，x]（*或*）
（*首先做*）需求[“数字理论`Ramanujan`”]（*然后*）表[RamanujanTau[n]，{n，30}](*迪安·希克森2003年1月3日*）
最大值=28；g[k_]：=-BernoulliB[k]/（2k）+和[DivisorSigma[k-1，n-1]*q^（n-1），{n，2，max+1}]；系数列表[系列[8000*g[4]^3-147*g[6]^2，{q，0，max}]，q]//静止(*Jean-François Alcover公司，2012年10月10日，来自模块化表单*）
RamanujanTau[Range[40]]（*函数RamanujanTau现在是Mathematica核心语言的一部分，因此在使用之前不再需要加载NumberTheory `Ramanujian`）(*哈维·P·戴尔，2012年10月12日*）
a[n_]：=系列系数[q-QPochhammer[q]^24，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*）
a[n_]：=具有[{t=Log[q]/（2Pi I）}，系列系数[Series[DedekindEta[t]^24，{q，0，n}]，{q、0，n{]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*）
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黄体脂酮素
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（朱莉娅）
使用Nemo
函数DedekindEta（len，r）
R、 z=多项式环（ZZ，“z”）
e=eta_qexp（r，len，z）
[0:len-1中j的系数（e，j）]结束
RamanujanTauList（len）=DedekindEta（len，24）
RamanujanTauList（28）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日
（岩浆）M12:=模块形式（伽马射线（1），12）；t1:=基础（M12）[2]；PowerSeries（t1[1]，100）；系数（$1）；
（岩浆）基础（CuspForms（Gamma1（1），12），100）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，polceoff（x*eta（x+x*O（x^n））^24，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，polceoff（x*（总和（i=1，（平方（8*n-7）+1））\2，（-1）^i*（2*i-1）*x^（（i^2-i）/2），O（x^n）））^8，n））}；
（PARI）taup（p，e）={
如果（e==1，
（65*西格玛（p，11）+691*西格马（p，5）-691*252*总和（k=1，p-1，sigma（k，5）*sigma
,
my（t=拉紧（p，1））；
总和（j=0，e\2，
（-1）^j*二项式（e-j，e-2*j）*p^（11*j）*t^（e-2*j）
)
)
};
a（n）=我的（f=系数（n））；触头（i=1，#f[，1]，拉紧（f[i，1]、f[i、2]）；
（PARI）单独计算术语（Douglas Niebur，Ill.J.Math.，191975）：
a（n）=n^4*σ（n）-24*和（k=1，n-1，（35*k^4-52*k^3*n+18*k^2*n^2）*sigma（k）*simma（n-k））；
向量（33，n，a（n））\\乔格·阿恩特2015年9月6日
（鼠尾草）CuspForms（Gamma1（1），12，prec=100）.0#迈克尔·索莫斯2013年5月28日
（Sage）列表（delta_qexp（100））[1:]#更快彼得·卢什尼2016年5月16日
（红宝石）
定义s（n）
s=0
如果n%i==0}，则为（1..n）.each{|i|s+=i
秒
结束
ary=[1]
a=[0]+（1..n-1）.map{i|s（i）}
（1..n-1）.每个{i|ary<<（1..i）.注入（0）{s，j|s-24*a[j]*ary[-j]}/i}
ary公司
结束
（红宝石）
ary=[0,1]
（2..n）.每个{|i|
s、 t，u=0，1，0
（1..n）.每个{|j|
t+=9*j
u+=j
如果i<=u，则中断
s+=（-1）**（j%2+1）*（2*j+1）x（i-t）*元[-u]
}
元<<s/（i-1）
}
数组[1..-1]
结束
（Python）
从symy导入divisorsigma
定义A000594号（n） ：返回n**4*除数sigma（n）-24*（（m:=n+1>>1）**2*#柴华武2022年11月8日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,核心,多重,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A007240号
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| （0）=24的怪物组的1A级McKay-Thompson级数。
（原M5179）
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+10
205
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1、24、196884、21493760、864299970、202458556256、333202640600、4252023300096、44656994071935、401490886656000、3176440229784420、22567393309593600、146211911499519294、874313719685775360、4872010111798142520、25497827389410525184
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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-1,2
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评论
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“（j函数的）最自然的归一化是将常数项设置为24，即j函数系数的Rademacher无穷级数所给出的数字”。[博切尔群岛]
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参考文献
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亚历山大。；康明斯公司。；麦凯，J。；和Simons，C。；完全可复制函数，见《群、组合数学与几何》（Durham，1990），第87-98页，伦敦数学。Soc.专著第165号-N.J.A.斯隆2012年7月22日
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链接
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B.H.Lian和J.L.Wiczer，亏格零模函数，arXiv:math/061291[math.NT]，2006年。
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配方奶粉
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a（n）~exp（4*Pi*sqrt（n））/（平方（2）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年6月28日
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例子
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G.f.=1/q+24+196884*q+21493760*q^2+86429970*q^3+20245856256*q^4+。。。
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数学
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连接[{1，24}，列表@@Expand[Normal[Series[1728*KleinInvariantJ[tau]，{tau，0，29}]/。tau->1]//删除[{{3}，{5}}](*Jean-François Alcover公司2015年9月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<-1，0，polceoff（ellj（x+x^3*O（x^n））-720，n））}/*迈克尔·索莫斯2012年5月5日*/
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<-1，0，n++；a=eta（x+x*O（x^n））^24；polceoff（（1+65520/691*（总和（k=1，n，sigma（k，11）*x^k）-x*a））/a，n））}/*迈克尔·索莫斯2012年5月5日*/
（PARI）q='q+O（'q^66）；向量（ellj（q）-720）\\乔格·阿恩特2016年4月24日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A260646型
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| Pi^12/12！的十进制展开式！，水蛭晶格的绝对密度。 |
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+10
12
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0, 0, 1, 9, 2, 9, 5, 7, 4, 3, 0, 9, 4, 0, 3, 9, 2, 3, 0, 4, 7, 9, 0, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 3, 6, 8, 5, 9, 5, 7, 6, 4, 0, 1, 6, 8, 4, 7, 1, 8, 1, 5, 0, 0, 0, 3, 0, 3, 3, 5, 2, 2, 3, 4, 6, 4, 7, 6, 1, 7, 3, 3, 1, 4, 9, 5, 6, 3, 4, 2, 5, 0, 9, 8, 5, 5, 3, 1, 4, 8, 7
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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链接
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亨利·科恩（Henry Cohn）、阿比纳夫·库马尔（Abhinav Kumar）、斯蒂芬·米勒（Stephen D.Miller）、丹妮洛·拉德琴科（Danylo Radchenko）和玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska，24维球体堆积问题《数学年鉴》，185（2017），1017-1033；arXiv:1603.06518[math.NT]，2016-2017年。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，球形填料、格和群，施普林格出版社，1998年（另见更正和更新)，第4章，第11节。
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例子
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0.001929574309403923047903345563685957640168471815...
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数学
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真数字[N[Pi^12/12！，120]]//第一个(*迈克尔·德·维利格2015年11月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{默认值（realprecision，50080）；x=Pi^12/12！；对于（n=1100，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；打印1（d，“，”）}
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 196560, 52416000, 6218175600, 565866362880, 45792819072000, 3486157968384000, 256206274225902000, 18422726047165440000, 1305984407917646096640, 91692325887531393024000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球体封装、格和群”，Springer Verlag。
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链接
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C.L.Mallows、A.M.Odlyzko和N.J.A.Sloane，模形式、格和码的上界，J.Alg。，36 (1975), 68-76.
C.L.Mallows和N.J.A.Sloane，自对偶码的一个上界《信息与控制》，22（1973），188-200。
G.Nebe、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，自对偶码与不变量理论柏林施普林格出版社，2006年。
E.M.Rains和N.J.A.Sloane，自对偶码，《编码理论手册》第177-294页，爱思唯尔出版社，1998年(摘要,pdf格式,秒).
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例子
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枫木
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#极值θ级数：
带有（数字理论）：B:=1：
#设置mu：
从1到10亩做
#设置最大度数：
md:=mu+3；
f:=1+240*add（sigma[3]（i）*x^i，i=1..md）；
f:=系列（f，x，md）；
f:=系列（f^3，x，md）；
g:=系列（x*mul（（1-x^i）^24，i=1..md），x，md）；
W0:=系列（f^mu，x，md）：
h:=系列（g/f，x，md）：
A:=系列（W0，x，md）：
Z：=A：
因为我从1到mu do
Z:=系列（Z*h，x，md）；
A:=系列（A-系数（A，x，i）*Z，x，md）；
日期：
B:=B，系数（A，x，mu+1）；
日期：
打印（B）；
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数学
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条款=11；Reap[For[mu=1，mu<=terms，mu++，md=mu+3；f=1+240*Sum[DivisorSigma[3，i]*x^i，{i，1，md}]；f=系列[f，{x，0，md}]；f=系列[f^3，{x，0，md}]；g=系列[x*产品[（1-x^i）^24，{i，1，md}]，{x，0，md}]；W0=系列[f^mu，{x，0，md}]；h=系列[g/f，{x，0，md}]；A=系列[W0，{x，0，md}]；Z=A；对于[i=1，i<=mu，i++，Z=级数[Z*h，{x，0，md}]；A=系列[A-系列系数[A，{x，0，i}]*Z，{x、0，md}]]；an=级数系数[A，{x，0，mu+1}]；打印[an]；母猪[an]][[2,1]](*Jean-François Alcover公司2017年7月8日，改编自枫叶*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A257479号
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| n维最大接吻数：可以接触另一个单位球体的最大单位球体数。 |
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+10
5
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1,1
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评论
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已知另外两个术语：a（8）=240，a（24）=196560[Odlyzko和Sloane；Levenstein]。
（5）之后的下限为40、72、126、240（精确）、306、500-N.J.A.斯隆2015年5月15日
看起来，当n是偶数时，a（n）的下界可以写成f（n）=（2n+2^n）-k（n）^2，其中k（2）=2，对于n>2，k（n）=2^（n/2）-q，q={2^t，3*2^t}，t是整数，t>0，2<=q<=n，和f（n-谢尔盖·帕夫洛夫2017年3月17日
似乎当n是偶数时，a（n）的上界可以写成f（n）=（2n+2^n）-k（n）^2，其中k（2）=0，对于n>2，k（n）=2^（n/2）-q，q={2^t，3*2^t}，t是整数，t>0，n<=q<=2n，f（n-谢尔盖·帕夫洛夫2017年3月19日
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag出版社，第3期。编辑，第3章，特别是第22、23页等。
穆辛（Oleg Rustumovich Musin）。《二十五个球体的问题》，俄罗斯数学调查58.4（2003）：794-795。
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链接
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Eiichi Bannai和N.J.A.Sloane，某些球面码的唯一性、加拿大。数学杂志。33（1981），第2期，437-449。
J.Leech，十三个球体的问题，数学。加兹。，40 (1956), 22-23.
V.I.Levenshtein，n维欧氏空间中填充的界杜克。阿卡德。恶心。，245 (1979), 1299-1303; 苏联数学中的英语翻译。Doklady，20（1979），417-421。
Hans D.Mittelmann和Frank Vallenton，接吻数的高精度半定规划界，arXiv:0902.1105[数学.OC]，2009年；实验数学。（2009），第19期，174-178。
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例子
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对于a（2），可以触及一便士的最大便士数是6。
对于a（3），可以同时接触相同半径中心球体的球体最多为12个。
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交叉参考
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关键词
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非n,布雷夫
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 16773120, 39007332000, 15281788354560, 2972108280960000, 406954241261568000, 45569082381053868000, 4499117081888292864000, 408472720963469499617280, 34975479259332252426240000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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尽管这些最初增加，但最终在约1700项（即尺寸约40800）时为负值-参见参考文献。
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag。
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链接
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C.L.Mallows、A.M.Odlyzko和N.J.A.Sloane，模形式、格和码的上界，J.Alg。，36 (1975), 68-76.
C.L.Mallows和N.J.A.Sloane，自对偶码的一个上界《信息与控制》，22（1973），188-200。
G.Nebe、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，自对偶码与不变量理论柏林施普林格出版社，2006年。
E.M.Rains和N.J.A.Sloane，自对偶码，《编码理论手册》第177-294页，爱思唯尔出版社，1998年(摘要,pdf格式,秒).
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例子
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枫木
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数学
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术语=10；收割[For[mu=1；打印[1]；母猪[1]，mu<terms，mu++，md=mu+3；f=1+240*总和[DivisorSigma[3，i]*x^i，{i，1，md}]；f=系列[f，｛x，0，md｝]；f=系列[f^3，{x，0，md}]；g=系列[x*产品[（1-x^i）^24，{i，1，md}]，{x，0，md}]；W0=系列[f^mu，{x，0，md}]；h=系列[g/f，{x，0，md}]；A=系列[W0，{x，0，md}]；Z=A；对于[i=1，i<=mu，i++，Z=级数[Z*h，{x，0，md}]；A=系列[A-系列系数[A，{x，0，i}]*Z，{x、0，md}]]；an=级数系数[A，{x，0，mu+2}]；打印[an]；母猪[an]][[2,1]](*Jean-François Alcover公司2017年7月8日，改编自Maple项目A034597号*)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A056945号
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| 权重为12的雅可比形式和与Leech晶格范数为2的（不存在）晶格矢量相关的指数1。 |
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+10
2
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1, 0, 0, -4, 6, 0, 0, 32736, 131076, 0, 0, 3669012, 9172952, 0, 0, 95691552, 188239518, 0, 0, 1142929524, 1959705000, 0, 0, 8506686816, 13293227112, 0, 0, 45763087664, 67073100864, 0, 0, 195387947712, 272567759508, 0, 0, 698077783656, 938807478318, 0, 0, 2176654050912
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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设J（h）=E_8*E_{4,1}+（2h-60）*phi{12,1}是权重12的雅可比形式，指数1与Coxeter数h的Niemeier格的范数2向量相关。
设N（h，N）是格的范数2n的向量个数，如果h是Niemeier格的Coxeter数，则有N（h、N）=c（4n）+2*sum_{1<=r<=sqrt（4n”）}c（4n-r^2）。注意N（0，N）=a（4n）-2*和a（4n-r^2）=A008408号（n） ，为了水蛭格子！还应注意，除3外，a（3）<0和a（n）对于n<=1000为非负。
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参考文献
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艾希勒和扎吉尔，《雅可比形式理论》，比克豪泽，1985年。
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链接
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配方奶粉
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E_8*E_{4,1}-60*phi_{12,1}。E是Eisenstein-Jacobi级数，phi_{12,1}是权重12和指数1的唯一归一化Jacobi尖点形式。
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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Kok Seng Chua（chuaks（AT）ihpc.nus.edu.sg），2000年7月16日
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 30, 35, 36, 39, 40, 42, 45, 48, 52, 54, 56, 60, 63, 65, 70, 72, 78, 80, 84, 90, 91, 104, 105, 108, 112, 117, 120, 126, 130, 135, 140, 144, 156, 168, 180, 182, 189, 195, 208, 210, 216, 234, 240, 252, 260, 270, 273, 280, 312, 315, 336, 351, 360, 364, 378, 390, 420, 432,455
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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196560是水蛭格子的亲吻数（参见。A008408号). 这是“月光”调查中的一个著名数字。
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链接
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Eiichi Bannai和N.J.A.Sloane，某些球面码的唯一性、加拿大。数学杂志。33（1981），第2期，437-449。
J.H.Conway和S.P.Norton，怪诞的月亮，公牛。伦敦。数学。《社会分类》第11卷（1979年），第3期，308-339页。
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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非n,完成,满的
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作者
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状态
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经核准的
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