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Tau函数

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TauFunction函数

A函数τ（n）与除数函数 σ_k（n）有时也称为Ramanujan的tau函数。它是通过傅里叶级数的模鉴别器 Delta（τ）对于H中的τ，其中H（H）是上半平面,通过

Delta（tau）=（2pi）^（12）sum_（n=1）^inftytau（n）e^（2piintau）
(1)

（《使徒行传》1997年，第20页）。τ函数也由柯西产品

τ（n）=8000{（sigma3 degressigma3）degressingma3}（n）-147（sigma 5 degressignma5）（n）
(2)
=（65）/（756）σ（11）（n）+（691）/（75%）σ_5（n）-（691，
(3)

哪里σ_k（n）是除数函数（《使徒行传》1997年，第24页和140），σ3（0）=1/240,和σ_5（0）=-1/504.

τ函数具有生成函数

G（x）=sum_（n=1）^（infty）τ（n）x^n
(4)
=xproduct_（n=1）^（infty）（1-x^n）^
(5)
=x（x）_infty^（24）
(6)
=x-24x^2+252x^3-1472x^4+4830x^5-6048x^6+。。。
(7)
=x（1-3x+5x^3-7x^6+…）^8，
(8)

哪里（q） _infty=（q；q）_infty是一个q个-Pochhammer符号.第一个少数值为1，-24,252,-1472,4830。。。（组织环境信息系统A000594号). τ函数由Wolfram语言功能拉马努贾纳托[n个].

系列

f（s）=总和（n=1）^系数（τ（n））/（n^s），
（9）

被称为tau Dirichlet级数.

Lehmer（1947）推测τ（n）=0为所有人n个这一断言有时被称为莱默猜想。莱默验证了以下猜想n<214928639999（《使徒行传》1997年，第22页）。以下内容表总结了在连续查找更大值n个这一条件适用于。

n个参考
3316799莱默（1947）
214928639999莱默（1949）
10^(15)塞雷（1973年，第98页），塞雷(1985)
1213229187071998詹宁斯(1993)
22689242781695999乔丹和Kelly（1999）
22798241520242687999博斯曼（2007）

Ramanujan给出了计算效率高的三角形递推公式

（n-1）τ（n）=sum（m=1）^（b_n）（-1）^，
(10)

哪里

b_n=1/2（平方英尺（8n+1）-1）
(11)

（Lehmer 1943；Jordan and Kelly 1999），可与公式递归使用

τ（p^n）=总和（j=0）^（|n/2_|）（-1）^j（n-j；n-2j）p^（11j）[τ（p）]^（n-2j
(12)

（甘地1961年，乔丹和凯利1999年）。

Ewell（1999）给出了漂亮的公式

τ（4n+2）=-3sum_（k=1）^（2n+1）2^（3b（2k））σ_3
(13)
×总和（j=0）^（4n-2k+2）（-1）^jr8（4n+2-2k-j）r8（j）
(14)
sum_（k=1）^（n）2^（3b（2k））sigma_3（Od（2k））
(15)
×总和（j=0）^（2n+1-2k）（-1）^jr8（2n+1-2k-j）r8（j）=0
(16)
τ（4m）=-2^（11）τ（m）-3sum_（k=1）^（2m）2^（3b（2k））sigma_3（Od（2k））
(17)
×总和（j=0）^（4m-2k）（-1）^jr8（4m-2k-j）r8（j）
(18)
τ（2n+1）=sum_（k=1）^（2n+1）2^（3[b（2k）-1]）sigma_3（Od（2k））
(19)
×总和（j=0）^（2n+2-2k）（-1）^jr8（3n+2-2k-j）r8（j），
(20)

哪里b（n）是2除以精确幂的指数n个,奇数（n）是奇数部分属于n个,σ_k（n）是除数函数属于n个、和rk（n）是平方和功能.

对于首要的 第页,

τ（p^（n+1））=τ（p）τ（p^n）-p^（11）τ
(21)

对于n> =1、和

tau（p^alphan）=τ（p）τ（p^（alpha-1）n）-p^（11）τ
(22)

对于α>=2和（n，p）=1（莫代尔1917年；阿波斯托1997年，第92页）。

Ramanujan猜想和Mordell（1917）证明，如果（n，n^'）=1，然后

τ（nn^'）=τ（n）τ（n^'）
(23)

（哈代1999年，第161页）。一般来说，

τ（n）τ（n^'）=总和（d|（n，n^'，
(24)

如果（n，n^'）=1（莫代尔1917年；阿波斯托1997年，第93页）。

Ramanujan（1920）表明

τ（2n）=0（模2）
(25)
τ（3n）=0（mod 3）
(26)
τ（5n）=0（模5）
(27)

（达林1921；威尔顿1930），

τ（7n+m）=0（mod 7）
(28)

对于m=0或者一个二次非残数共7个，即3、5、6和

τ（23n+m）=0（模23）
(29)

其中一个是23的二次非残数，即5、7、10、11、14、15、17、19、20、21、22（Mordell 1922；Wilton 1930）。Ewell（1999）表明

τ（4n）＝τ（n）（mod 3）。
(30)

Ramanujan推测，Watson证明τ（n）几乎可以被691整除n个特别是

τ（n）=σ（11）（n）（691型），
(31)

哪里σ_k（n）是除数函数（威尔顿1930；阿波斯托1997年，第93和140页；乔丹和凯利1999），691是分子的伯努利数 B_（12）.

其他同余包括

τ（n）=奇数n的σ（11）（n）（模2^8）
(32)
τ（n）=n^2sigma_7（n）（模式3^3）
（33）
τ（n）=nsigma_9（n）（型号5^2）
(34)
τ（n）=nsigma3（n）（mod 7）
(35)
τ（n）=西格玛（11）（n）（691型）
(36)
τ（n）={σ_（11）（n）（mod 2^（11）），如果n=1（mod 8）；1217sigma _（11
（37）
τ（n）=n^（-610）σ_（1231）（n）{（mod 3^6），如果n=1（mod3）
(38)
τ（n）=如果GCD（n，5）=1，则n ^（-30）σ_（71）（n）
(39)
τ（n）=nsigma_9（n）{（mod 7），如果n=0、1、2或4（mod 7）；（mod 7^2），如果n=3、5或6（mod 7）
(40)
τ（p）={0（模23）如果（p/23）=-1；2（模23，
(41)

哪里σ_k（n）是除数函数（Swinnerton-Dyer 1988，Jordan和Kelly，1999年）。

τ（n）几乎总是可以被2^5·3^3·5^2·7^2·23·691根据Ramanujan的说法。事实上，Serre已经证明了τ（n）几乎总是可以被任何整数整除（安德鲁斯et（等）阿尔。1988).

这个总结的τ函数由下式给出

T（n）=总和^’_（n<=x）τ（n）。
(42)

这里，素数表示x是一个整数，上学期τ（x）应替换为1/2托（x）.

另请参见

Dedekind Eta函数,j个-功能,水蛭格子,奥雷的推测,分区功能P,Tau猜想,陶（Tau）Dirichlet系列,Tau函数素数

与Wolfram一起探索| Alpha

参考文献

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参考Wolfram | Alpha

Tau函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Tau函数。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/TauFunction.html

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