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A000594号 Ramanujan的tau函数(或Ramanujian数,或tau数)。
(原名M5153 N2237)
+0个
205
1, -24, 252, -1472, 4830, -6048, -16744, 84480, -113643, -115920, 534612, -370944, -577738, 401856, 1217160, 987136, -6905934, 2727432, 10661420, -7109760, -4219488, -12830688, 18643272, 21288960, -25499225, 13865712, -73279080, 24647168 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
全模组重量12的尖点形式的系数。
据推测,τ(n)从不为零(这一点已被证实为n<816212624008487344127999,见Derickx,van Hoeij,Zeng参考)。
M.J.Hopkins提到,唯一已知的tau(p)==1(mod p)为11、23和691的素数p,决定是否有无穷多这样的p是一个开放的问题,而在35000以下没有其他已知的p。西蒙·普劳夫(Simon Plouffe)目前已搜索到陶(314747),没有发现其他例子-N.J.A.斯隆2007年3月25日
Martin(1996)的表I中列出的74个η商中的第1个。
利用Dedekind的eta函数和判别式Delta,我们可以得到eta(z)^24=Delta(z)/(2*Pi)^12=Sum_{m>=1}τ(m)*q^m,其中q=exp(2*Pi*i*z),z位于复上半平面,其中i是虚单位。Delta是Hecke算子T_n(n>=1)的本征函数,本征值为tau(n):T_n Delta=tau(n)Delta。由此得出以下公式部分中给出的τ(m)*τ(n)的公式。例如,参见Koecher-Krieg参考文献,Lemma和Satz,第212页。或第114页的Apostol参考文献,等式(3)和第131页的第6.13节第一部分-沃尔夫迪特·朗2016年1月26日
关于a(n)的Dirichlet级数F(s)满足的函数方程,Re(s)>7,见Hardy参考,第173页,(10.9.4)。它是(2*Pi)^(-s)*Gamma(s)*F(s)=。这归因于J.R.Wilton,1929年,第185页-沃尔夫迪特·朗2017年2月8日
参考文献
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G.f.:x*产品_{k>=1}(1-x^k)^24=x*A(x)^8,其中G.f.为A010816号.
G.f.是周期1傅里叶级数,满足f(-1/t)=(t/i)^12 f(t),其中q=exp(2 Pi it)-迈克尔·索莫斯2011年7月4日
如果p是素数,abs(a(n))=O(n^(11/2+ε)),abs。这些都是Ramanujan推测的,并由Deligne证明。
扎吉尔说:这些公式的证明,如果从头开始写出来的话,估计有2000页;在他的书中,马宁引用了这一比率的可能记录:“证明长度:陈述长度”在整个数学中。
G.f.A(x)满足0=f(A(x,A(x^2),A(x ^4)),其中f(u,v,w)=u*w*(u+48*v+4096*w)-v^3-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
G.f.A(q)满足q*d log(A(q=A006352号(q) -迈克尔·索莫斯2013年12月9日
a(2*n)=A099060型(n) ●●●●。a(2*n+1)=A099059号(n) ●●●●-迈克尔·索莫斯2015年4月17日
a(n)=τ(n)(τ(0)=0):τ(m)*tau(n)=Sum_{d|gcd(m,n)}d^11*tau。参见上文注释和Koecher-Krieg参考,第212页,等式(5)-沃尔夫迪特·朗,2016年1月21日
作为乘积的狄利克雷级数:Sum_{n>=1}a(n)/n^s=乘积_{n>=1}1/(1-a(素数(n))/素数(n)^s+素数(n)^(11-2*s))。请参阅Mordell链接,等式(2)-沃尔夫迪特·朗2016年5月6日。另见哈代,第164页,等式(10.3.1)和(10.3.8)-沃尔夫迪特·朗2017年1月27日
a(n)与a(素数(n)^k)=sqrt(素数(A049310型),对于n>=1和k>=2,以及A076847号(n) =a(质数(n))。请参见A076847号用于alpha乘法性和示例-沃尔夫迪特·朗2016年5月17日。另见哈代,第164页,等式(10.3.6),用S改写-沃尔夫迪特·朗2017年1月27日
G.f.eta(z)^24(q=exp(2*Pi*i*z))也是(E_4(q)^3-E_6(q)*2)/1728。参见哈代参考文献,第166页,等式(10.5.3),Q=E_4和R=E_6,见A004009号A013973号分别是-沃尔夫迪特·朗2017年1月30日
a(n)(模块5)==A126832号(n) ●●●●。
a(1)=1,a(n)=-(24/(n-1))*和{k=1..n-1}A000203号(k) *a(n-k)对于n>1-Seiichi Manyama先生2017年3月26日
通用公式:x*exp(-24*Sum_{k>=1}x^k/(k*(1-x^k)))-伊利亚·古特科夫斯基2018年2月5日
[-24,-24,-25,-24…]的欧拉变换-西蒙·普劳夫,2018年6月21日
例子
G.f.=q-24*q^2+252*q^3-1472*q^4+4830*q^5-6048*q^6-16744*q^7+84480*q^8-113643*q^9+。。。
35328=(-24)*(-1472)=a(2)*a(4)=a。参见上文关于T_n Delta=τ(n)Delta的注释-沃尔夫迪特·朗,2016年1月21日
MAPLE公司
M:=50;t1:=系列(x*mul((1-x^k)^24,k=1..M),x,M);A000594号:=n->系数(t1,x,n);
数学
系数列表[Take[Expand[Product[(1-x^k)^24,{k,1,30}]],30],x](*或*)
(*首先做*)需求[“数字理论`Ramanujan`”](*然后*)表[RamanujanTau[n],{n,30}](*迪安·希克森2003年1月3日*)
最大值=28;g[k_]:=-BernoulliB[k]/(2k)+和[DivisorSigma[k-1,n-1]*q^(n-1),{n,2,max+1}];系数列表[系列[8000*g[4]^3-147*g[6]^2,{q,0,max}],q]//其余(*Jean-François Alcover公司,2012年10月10日,来自模块化表单*)
RamanujanTau[Range[40]](*函数RamanujanTau现在是Mathematica核心语言的一部分,因此在使用之前不再需要加载NumberTheory `Ramanujian`)(*哈维·P·戴尔2012年10月12日*)
a[n_]:=级数系数[q QPochhammer[q]^24,{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*)
a[n_]:=具有[{t=Log[q]/(2Pi I)},系列系数[Series[DedekindEta[t]^24,{q,0,n}],{q、0,n{]];(*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*)
黄体脂酮素
(朱莉娅)
使用Nemo
函数DedekindEta(len,r)
R、 z=多项式环(ZZ,“z”)
e=eta_qexp(r,len,z)
[0:len-1中j的系数(e,j)]结束
RamanujanTauList(len)=DedekindEta(len,24)
RamanujanTauList(28)|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日
(岩浆)M12:=模块形式(伽马射线(1),12);t1:=基础(M12)[2];PowerSeries(t1[1],100);系数($1);
(岩浆)基础(CuspForms(Gamma1(1),12),100)[1]/*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*/
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,polceoff(x*eta(x+x*O(x^n))^24,n))};
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,polceoff(x*(总和(i=1,(平方(8*n-7)+1))\2,(-1)^i*(2*i-1)*x^((i^2-i)/2),O(x^n)))^8,n))};
(PARI)拉紧(p,e)={
如果(e==1,
(65*西格玛(p,11)+691*西格玛(p,5)-691*252*总和(k=1,p-1,西格玛(k,5)*西格玛(p-k,5))/756
,
my(t=拉紧(p,1));
总和(j=0,e\2,
(-1)^j*二项式(e-j,e-2*j)*p^(11*j)*t^(e-2*j)
)
)
};
a(n)=我的(f=系数(n));触头(i=1,#f[,1],拉紧(f[i,1]、f[i、2]);
(PARI)单独计算术语(Douglas Niebur,Ill.J.Math.,191975):
a(n)=n^4*σ(n)-24*和(k=1,n-1,(35*k^4-52*k^3*n+18*k^2*n^2)*sigma(k)*simma(n-k));
向量(33,n,a(n))\\乔格·阿恩特2015年9月6日
(PARI)a(n)=ramanujantau(n)\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年5月27日
(Sage)CuspForms(伽玛1(1),12,prec=100).0#迈克尔·索莫斯2013年5月28日
(鼠尾草)列表(delta_qexp(100))[1:]#更快彼得·卢什尼2016年5月16日
(红宝石)
定义s(n)
s=0
如果n%i==0},则为(1..n).each{|i|s+=i
结束
定义A000594号(n)
ary=[1]
a=[0]+(1..n-1).map{i|s(i)}
(1..n-1).每个{i|ary<<(1..i).注入(0){s,j|s-24*a[j]*ary[-j]}/i}
ary系列
结束
第页A000594号(100) #Seiichi Manyama先生2017年3月26日
(红宝石)
定义A000594号(n)
ary=[0,1]
(2..n).每个{|i|
s、 t,u=0,1,0
(1..n).每个{|j|
t+=9*j
u+=j
如果i<=u,则中断
s+=(-1)**(j%2+1)*(2*j+1)x(i-t)*元[-u]
}
元<<s/(i-1)
}
数组[1..-1]
结束
第页A000594号(100) #Seiichi Manyama先生2017年11月25日
(Python)
从symy导入divisorsigma
定义A000594号(n) :return n**4*divisor_sima(n)-24*((m:=n+1>>1)**2*(0 if n+1 else(m*(35*m-52*n)+18*n**2)*divisor_sima(m)**2)+sum((i*(i*(i*(70*i-140*n)+90*n**2)-20*n**3)+n**4)*divisor_sima(i)*divisor_sima(n-i)for i in range(1,m))#柴华武2022年11月8日
交叉参考
囊性纤维变性。A076847号(τ(质数)),A278577型(主要权力),A037955号,A027364号,A037945号,A037946美元,A037947号,A008408号(水蛭)。
对于不同n值的a(n)mod n,请参见A046694号,A098108号,A126812号-...
对于tau(p)==-1(mod 23)的素数p,请参见A106867号.
囊性纤维变性。A010816号,A004009号.A013973号.
囊性纤维变性。126832英镑(n) =a(n)模块5。
关键词
签名,容易的,核心,多重,美好的,改变
作者
状态
经核准的
第页1

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