登录
OEIS基金会得到了OEIS用户的捐赠和西蒙斯基金会的资助。

 

标志


提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000521号 模函数j的系数为q=e^(2πi t)的幂级数。另一个名字是椭圆模不变量J(tau)。
(原M5477 N2372)
328
1744196884、21493760864299970、20245856256、333202640600、4252023300096、44656994071935、40149086656000、3176440229784420、225679330956000、14621911499519294、874313719685775360、4872010111798142520、25497827941052154、126142916465781843075 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

-1,2

评论

“[j函数]最自然的规范化方法是将常数项设为24,这是由Rademacher无穷级数给出的j函数系数的数值。”。[博尔切兹]

把744改为24A007240型,麦凯汤普森系列的1A级怪物简单组。

sigma_3(n)是n的除数的立方和(A001158).

Klein的绝对不变量J=J/1728是伽马模。

(n+1)*A000521号(n) /24产生整数值-参见邮编:A161395. -亚历山大波伏洛茨基2009年6月9日

等于的卷积平方A161361号三角形的行和邮编:A161362. -加里·W·亚当森2009年6月7日

kleinvariantj[](版本6到8)的Mathematica实现中存在错误的错误,它为a[7]、a[9]、a[11]和其他值提供了错误的值。-迈克尔·索莫斯2012年3月7日

参考文献

J、 M.Borwein和P.B.Borwein,Pi和AGM,Wiley,1987年,第115页。

H、 科恩,《计算代数数论课程》,斯普林格,1996年,第376ff页。

A、 《高等超越函数》,麦格劳-希尔出版社,1955年,第3卷,第20页。

M、 Kaneko,椭圆型模函数j(tau)的傅立叶系数(日文),日本神户县神户大学理学院数学系第10讲。

M、 J.Knopp,Rademacher on J(tau),Poincare非正权级数和Eichler上同调,注意到Amer。数学。Soc.,37:4(1990年),第385-393页。

S、 Lang,模块形式导论,Springer Verlag,1976年,第12页。

B、 Schoeneberg,椭圆模函数,Springer Verlag,NY,1974年,第56页。

J、 H.西尔弗曼,《椭圆曲线算术高级专题》,斯普林格,见第482页。

N、 J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

真山真一,n=-1..10000的n,a(n)表(术语-1..1000来自N.J.A.Sloane)

汉斯·弗雷德里克,模不变量j(tau)系数的同余《斯堪的纳维亚的数学》,第15卷,第64-68页,1964年。

D、 亚历山大,康明斯,麦凯和西蒙斯,完全可复制函数《分组,组合与几何》(Durham,1990),第87-98页,伦敦数学。Soc。专著165号。

D、 亚历山大康明斯,完全可复制函数,LMS课堂讲稿,165,编辑Liebeck和Saxl(1992),87-98,注释和扫描副本。

H、 拜尔和克勒,如何计算椭圆模函数j(z)的系数《实验数学》第12期(2003年)。

R、 E.博尔切兹,回顾“超越怪物的月光…”(剑桥,2006),公牛。阿默尔。数学。第45卷(2008年),第675-679页。

J、 H.Bruinier和K.Ono,半整数权调和弱Maass型系数的代数公式

J、 H.康威和S.P.诺顿,可怕的私酒,公牛。隆德。数学。Soc。(1979)第11卷第308-339页。

约翰·克雷莫纳,主页

C、 丹尼,开放问题:椭圆曲线和模形式

W、 杜克,连分式与模函数,公牛。阿默尔。数学。Soc。42(2005年),第137-162页。

安德烈亚斯·恩格,威廉·哈特,弗雷德里克·约翰逊,θ函数的短加法序列,arXiv:1608.06810[math.NT],(2016年8月24日)

史蒂芬·R·芬奇,SL_2(Z)上的模形式2005年12月28日。[拥有缓存权限的作者]

D、 福特,J.麦凯和S.P.诺顿,关于可复制函数的更多信息,公社。代数22,第13期,5175-5193(1994)。

T、 甘农,明信片从边缘,或快照的理论概括月光,arXiv:math/0109067[math.QA],2001年。

Y、 他和杰贾拉,模矩阵模型,arXiv:hep th/03072932003年。

杨惠和和约翰·麦凯,私酒与生命的意义,arXiv:1408.2083[math.NT],2014年。

杨惠和,约翰·麦凯,零星的和特殊的,arXiv:1505.06742[math.AG],2015年。

M、 Jankiewicz,T.W.Kephart,大c共形场理论之间的变换,Nucl。物理。B 744(2006)380-397表6。

J、 Jorgenson,L.Smajlovic,H.然后,某些月光群上的Kronecker极限公式、全纯模函数和q展开式,arXiv预印本arXiv:1309.0648[math.NT],2013年。

M、 卡内科,椭圆模函数j(tau)的Fourier系数与奇异模,回忆录教工。科学,京都仪器技术,44(1996年3月),第1-5页。

M、 Kaneko和D.Zagier,超奇异j不变量、超几何级数和Atkin正交多项式,第97-126页,D.A.Buell和J.T.Teitelbaum编辑,《数论的计算观点》,Amer。数学。Soc.,1998年。

K、 马勒,一类与模函数相连的非线性函数方程,J.Austral。数学。Soc。爵士。A 22(1976年),第1期,第65-118页。MR0441867(56#258)

J、 麦凯和施特劳斯,奇异月光的q系列与头像的分解《通信代数》第18期(1990年),第1253-278期。

三岛真三郎,多个数列的因式分解

威廉·斯坦因,数据库

瓦尔多·塔蒂斯切夫,对可怕的私酒的简短介绍,arXiv:1902.03118[math.NT],2019年。

J、 汤普森,Fischer-Griess怪物与椭圆模函数的某些命理学,公牛。伦敦数学。第11卷(1979年),第352-353页。

埃里克·韦斯坦的数学世界,j函数

埃里克·韦斯坦的数学世界,可怕的私酒

A、 范维金加登,关于模不变量J(tau)的系数,荷兰科学院学报,A辑,56(1953),389-400[给出100个条款]。

A、 范维金加登,关于模不变量J(tau)的系数,荷兰科学院学报,A辑,56(1953),389-400[给出100个条款]。[带注释的扫描副本]

维基百科,模lambda函数

赫伯特•S•扎克曼,J(tau)较小系数的计算,公牛。阿默尔。数学。Soc。45年(1939年),917-919年。

汤姆森怪兽群的简单索引

“核心”序列的索引项

公式

G、 传真:A007245(q) ^3/q;或(1+240和{k>0}σ3(k)q^k)^3/(q乘积{k>0}(1-q^k)^24)。

似乎-n*a(n)=A035230型(n) 一。-杰拉尔德·麦加维2006年12月21日

2*a(2)=A028520号(3) 一。2*a(4)+a(1)=A028520号(4) 一。2*a(6)=A028520号(5) 一。-杰拉尔德·麦加维2006年12月21日

128*(θu2(q)^8+θu3(q)^8+θu4(q)^8)*(θu2(q)^-8+θu3(q)^-8+θu4(q)^-8)的展开式。-迈克尔·索莫斯2007年10月2日

a(n)~exp(4*Pi*n^(1/2))/(2^(1/2)*n^(3/4))[彼得森(1932),拉德马赫(1938)]。-格奥尔赫·科塞雷亚2015年10月9日

a(n)=(1/n)*(和{r in Z}A027652号(n-r^2)+和{r>0,r奇数}((-1)^n*A027652号(4*n-r^2)-A027652号(16*n-r^2)))对于n>0。-真山真一2017年6月11日

a(n)=(1/(n+1))*和{k=1..n+1}(504*A001160(k) 240克朗*A001158(k) )*a(n-k),a(-1)=1。-真山真一2017年7月12日

G、 f.:256*(1-λ+λ^2)^3/(λ^2*(1-λ)^2),其中λ是椭圆模函数(A115977号). -真山真一2017年7月30日

例子

j=1/q+744+196884*q+21493760*q^2+86429970*q^3+20245856256*q^4+。。。

真山真一2017年6月11日:(开始)

a(1)=(1/1)*(A027652号(0)+A027652号(一)+A027652号(0)+(-A027652号(三)-A0652年(十五)-A027652号(7) )=(1/1)*196884=196884。

a(2)=(1/2)*(A027652号(一)+A027652号(二)+A027652号(1) +(A027652号(七)+A027652号(-1)-A027652号(三十一)-A027652号(二十三)-A0652年(7) )=(1/2)*42987520=21493760。

a(3)=(1/3)*(A027652号(-1)+A027652号(二)+A027652号(三)+A027652号(二)+A027652号(-1)+(-A027652号(十一)-A027652号(三)-A027652号(四十七)-A0652年(三十九)-A027652号(二十三)-A0652年(-1))=(1/3)*2592899910=86429970。(结束)

如果u=1,J=2,u=2,则。-迈克尔·索莫斯2019年10月31日

枫木

有(numtheory):顶部:=31;

g2:=(4/3)*(1+240*加法(sigma[3](n)*q^n,n=1..TOP-1));

g3:=(8/27)*(1-504*加(西格玛[5](n)*q^n,n=1..TOP-1));

δ:=系列(g2^3-27*g3^2,q,顶部);

j:=系列(1728*g2^3/三角形,q,顶部);

数学

系数列表[Normal[Series[1728*kleinvariantj[z],{z,0,30}]*Exp[-2*I*Pi/z]]/。E^(π*复数[0,n_u]/z)->t^(-n/2),t](*雅辛斯基,2008年12月20日,在Daniel Lichtblau之后,由瓦茨拉夫·科特索维奇2020年7月7日*)

a[n_u]:=与[{tau=Log[q]/(2pi I)},系列系数[1728 kleinvariantj[tau],{q,0,n}],{q,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2011年11月20日*)(*自V7*起)

a[n_9]:=与[{e1=dedekindata[Log[q]/(2 Pi I)]^24,e2=DedekindEta[Log[q]/(Pi I)]^24},系列系数[系列[(e1+256 e2)^3/(e1^2 e2),{q,0,n+1}],{q,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)

a[n_u]:=带[{L=ModularLambda[Log[q]/(2pi I)]},系列系数[256(L^2-L+1)^3/(L(1-L))^2,{q,0,2n+3}],{q,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)

a[nü]:=若[n<-1,0,且[{E4=1+240和[DivisorSigma[3,k]q^k,{k,n+2}],E6=1-504和[DivisorSigma[5,k]q^k,{k,n+2}]},系列系数[系列[1728 E4^3/(E4^3-E6^2),{q,0,n}],{q,0,n}]]](*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)

系数列表[系列[(65536+x*QPochhammer[-1,x]^24)^3/(16777216*QPochhammer[-1,x]^24),{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月23日)

a[n_]:=系列系数[With[{L=InverseEllipticNomeQ[Sqrt[q]]},256(L^2-L+1)^3/(L(1-L))^2],{q,0,n}](*简·曼格尔丹2020年7月7日,之后迈克尔·索莫斯*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=my(a);如果(n<-1,0,a=x^(2*n+2)*O(x);a=x*(预计到达时间(x^4+a)^2/eta(x^2+a)^3)^8;polcoeff(subst(256*(1-x+x^2)^3/(x-x^2)^2,x,16*a),2*n))}/*迈克尔·索莫斯2004年4月30日*/

(PARI){a(n)=my(a);如果(n<-1,0,a=x^(5*n+5)*O(x);a=(预计到达时间(x+a)/eta(x^5+a))^6/x;polcoeff(subst((x^2+10*x+5)^3/x,x,a),5*n))}/*迈克尔·索莫斯2004年4月30日*/

(PARI){a(n)=my(a);如果(n<-1,0,a=x^2*O(x^n);a=x*(eta(x^2+a)/eta(x+a))^24;波尔科夫((1+256*a)^3/a,n))}/*迈克尔·索莫斯2004年7月13日*/

(PARI)q='q+O('q^66);Vec(ellj(q))\\乔尔阿恩特2016年4月24日

(PARI){a(n)=if(n<-1,0,polcoeff(ellj(x+x^3*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2016年12月25日*/

交叉引用

囊性纤维变性。A005798号,A007240型,A007245,A014708年,A027652号,A066395号,A078906号,A115977号,A290403号,A290404.

复归给予A091406型A066396号.

囊性纤维变性。A106205号(24根)。

请参阅A161361号,邮编:A161362,A1615年,邮编:A178451.

上下文顺序:A210178号 邮编:A192731 A288261*邮编:A178449 邮编:A178451 A066395号

相邻序列:A051008号 A000519号 A000520型*A000522号 A000523号 A000524号

关键字

容易的,,美好的,核心

作者

N、 斯隆

扩展

扩展了定义以包括其他搜索词。-N、 斯隆2019年11月30日

状态

经核准的

查找|欢迎光临|维基|登记|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索者|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。

许可协议,使用条款,隐私政策。.

上次修改日期:美国东部时间2020年8月10日06:23。包含336368个序列。(运行在oeis4上。)