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A000521号 q=e^(2 Pi i t)中作为幂级数的模函数j的系数。另一个名称是椭圆模不变量J(tau)。
(原名M5477 N2372)
334
1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184, 126142916465781843075 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
-1,2
评论
“(j函数的)最自然的归一化是将常数项设置为24,即j函数系数的Rademacher无穷级数所给出的数字”。[博切尔群岛]
将术语744更改为24表示A007240号Monster简单组的1A级McKay-Thompson系列。
sigma3(n)是n的除数的立方之和(A001158号).
克莱因绝对不变量J=J/1728是伽玛模。
(n+1)*A000521号(n) /24产生积分值-参见A161395号. -亚历山大·波沃洛茨基2009年6月9日
KleinInvariantJ[](版本6到8)的Mathematica实现中存在错误,为a[7]、a[9]、a[11]和其他值提供了错误的值-迈克尔·索莫斯2012年3月7日
如果有无穷多的k使得a(k)是素数,这是一个悬而未决的问题。已知的此类指数列于A339429型参见Fredrik Johansson的论文-彼得·卢什尼2021年5月5日
参考文献
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链接
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威廉·斯坦因,数据库
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埃里克·魏斯坦的数学世界,j-功能
埃里克·魏斯坦的数学世界,怪诞的月亮
A.van Wijngaarden,关于模不变量J(tau)的系数《荷兰科宁克利法院诉讼》,A辑,56(1953),389-400【给出100个术语】。
A.van Wijngaarden,关于模不变量J(tau)的系数《荷兰科宁克利法院诉讼》,A辑,56(1953),389-400【给出100个术语】。[带注释的扫描副本]
维基百科,模块化λ函数
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配方奶粉
通用名称:A007245号(q) ^3/q;或(1+240 Sum_{k>0}sigma_3(k)q^k)^3/(q乘积_{k>0}(1-q^k,^24)。
看起来-n*a(n)=A035230型(n) -杰拉尔德·麦卡维,2006年12月21日
2*a(2)=A028520号(3). 2*a(4)+a(1)=A028520号(4). 2*a(6)=A028520号(5). -杰拉尔德·麦卡维2006年12月21日
128*(θ_2(q)^8+θ_3-迈克尔·索莫斯2007年10月2日
a(n)~exp(4*Pi*n(1/2))/(2^(1/2)*n(3/4))[Peterson(1932),Rademacher(1938)]-Gheorghe Coserea公司2015年10月9日
a(n)=(1/n)*(Z}中的和{rA027652号(n-r^2)+和{r>0,r奇数}((-1)^n*A027652号(4*n-r^2)-A027652号(16*n-r^2)))-Seiichi Manyama先生2017年6月11日
a(n)=(1/(n+1))*和{k=1..n+1}(504*A001160型(k) -240*(n-k)*A001158号(k) )*a(n-k),a(-1)=1-Seiichi Manyama先生2017年7月12日
G.f.:256*(1-λ+λ^2)^3/(λ^2*(1-lambda)^2)其中λ是椭圆模函数(A115977年). -Seiichi Manyama先生2017年7月30日
例子
j=1/q+744+196884*q+21493760*q^2+86429970*q^3+20245856256*q^4+。。。
发件人Seiichi Manyama先生2017年6月11日:(开始)
a(1)=(1/1)*(A027652号(0) +A027652号(1) +A027652号(0) + (-A027652号(3) -A027652号(15) -A027652号(7))) = (1/1) * 196884 = 196884.
a(2)=(1/2)*(A027652号(1) +A027652号(2) +A027652号(1) + (A027652美元(7) +A027652号(-1) -A027652号(31) -A027652号(23) -A027652号(7))) = (1/2) * 42987520 = 21493760.
a(3)=(1/3)*(A027652号(-1) +A027652号(2)+A027652号(3) +A027652号(2) +A027652号(-1) + (-A027652号(11) -A027652号(3) -A027652号(47) -A027652号(39) -A027652号(23) -A027652号(-1))) = (1/3) * 2592899910 = 864299970. (结束)
如果J_n:=J(sqrt(-n))^(1/3),则J_1=12,J_2=20,J_4=66,J_77=255-迈克尔·索莫斯2019年10月31日
MAPLE公司
其中(数字理论):TOP:=31;
g2:=(4/3)*(1+240*加法(sigma[3](n)*q^n,n=1..TOP-1));
g3:=(8/27)*(1-504*加(σ[5](n)*q^n,n=1..TOP-1));
delta:=系列(g2^3-27*g3^2,q,顶部);
j:=系列(1728*g2^3/δ,q,TOP);
数学
系数表[Normal[Series[1728*KleinInvariantJ[z],{z,0,30}]*Exp[-2*I*Pi/z]]/。E^(Pi*复数[0,n_]/z)->t^(-n/2),t](*阿图尔·贾辛斯基,2008年12月20日,以Daniel Lichtblau命名,更正人瓦茨拉夫·科特索维奇2020年7月7日*)
a[n_]:=具有[{tau=Log[q]/(2 Pi I)},级数系数[Series[1728 KleinInvariantJ[tau],{q,0,n}],{q,0,n{]];(*迈克尔·索莫斯2011年11月20日*)(*自V7开始*)
a[n_]:=与[{e1=DedekindEta[Log[q]/(2Pi I)]^24,e2=DedekindEta[Log[q]/(Pi I;(*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)
a[n]:=与[{L=ModularLambda[Log[q]/(2 Pi I)]},系列系数[系列[256(L^2-L+1)^3/(L(1-L))^2,{q,0,2n+3}],{q,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)
a[n_]:=如果[n<-1,0,With[{E4=1+240 Sum[DivisorSigma[3,k]q^k,{k,n+2}],E6=1-504 Sum[divisorSigra[5,k]q ^k,},{k、n+2}]},SeriesCoefficient[Series[1728 E4^3/(E4^3-E6^2),{q,0,n}],{q、0,n{}]];(*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)
系数列表[系列[(65536+x*QPochhammer[-1,x]^24)^3/(16777216*QPoch hammer[-1,x]^24],{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月23日*)
a[n_]:=级数系数[With[{L=Inverse EllipticNomeQ[rootQ]},256(L^2-L+1)^3/(L(1-L))^2],{rootQ,0,2n}];(*简·曼加尔丹2020年7月7日之后迈克尔·索莫斯; 已由更正利奥·斯坦因2024年2月25日*)
a[n_]:=级数系数[12^3克莱因不变量J[Log[q]/(2 Pi I)],{q,0,n}](*利奥·斯坦因2024年2月25日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<-1,0,a=x^(2*n+2)*O(x);a=x*/*迈克尔·索莫斯2004年4月30日*/
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<-1,0,a=x^(5*n+5)*O(x);a=(eta(x+a)/eta(x^5+a))^6/x;polcoeff(subst((x^2+10*x+5)^3/x,x,a),5*n))}/*迈克尔·索莫斯2004年4月30日*/
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<-1,0,a=x^2*O(x^n);a=x*(eta(x^2+a)/eta(x+a))^24;波尔科夫((1+256*a)^3/a,n))}/*迈克尔·索莫斯2004年7月13日*/
(PARI)q='q+O('q^66);Vec(ellj(q))\\乔格·阿恩特2016年4月24日
(PARI){a(n)=如果(n<-1,0,polceoff(ellj(x+x^3*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2016年12月25日*/
交叉参考
逆转带来A091406号A066396号.
囊性纤维变性。A106205号(第24根)。
另请参阅A161361号,A161362号,A161395号,A178451号,A339429型(具有质数值的指数)。
关键词
容易的,非n,美好的,核心
作者
扩展
扩展了定义以包括其他搜索词-N.J.A.斯隆2019年11月30日
状态
已批准

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月28日20:05。包含371254个序列。(在oeis4上运行。)