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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000521号 模函数j的系数为q=e^(2πi t)的幂级数。另一个名字是椭圆模不变量J(tau)。
(原M5477 N2372)
333
1744196884、21493760864299970、20245856256、333202640600、4252023300096、44656994071935、40149086656000、3176440229784420、225679330956000、14621911499519294、874313719685775360、4872010111798142520、25497827941052154、126142916465781843075 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

-1,2

评论

“[j函数]最自然的规范化方法是将常数项设为24,这是由Rademacher无穷级数给出的j函数系数的数值。”[博尔切兹]

把744改为24A007240型,麦凯汤普森系列的1A级怪物简单组。

sigma_3(n)是n的除数的立方和(A001158).

Klein的绝对不变量J=J/1728是伽马模。

(n+1)*A000521号(n) /24产生整数值-参见邮编:A161395. -亚历山大R。波伏洛茨基2009年6月9日

kleinvariantj[](版本6到8)的Mathematica实现中存在错误的错误,它为a[7]、a[9]、a[11]和其他值提供了错误的值-迈克尔·索莫斯2012年3月7日

如果存在无穷多的k,使得a(k)是素数,这是一个开放的问题。中列出了已知的此类指数A339429飞机. 参见弗雷德里克·约翰逊的论文-彼得·卢什尼2021年5月5日

参考文献

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链接

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三岛真三郎,多个数列的因式分解

威廉·斯坦因,数据库

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埃里克·韦斯坦的数学世界,j函数

埃里克·韦斯坦的数学世界,可怕的私酒

A。范维金加登,关于模不变量J(tau)的系数,荷兰科学院学报,A辑,56(1953),389-400[给出100个条款]。

A。范维金加登,关于模不变量J(tau)的系数,荷兰科学院学报,A辑,56(1953),389-400[给出100个条款][批注扫描副本]

维基百科,模lambda函数

赫伯特S。扎克曼,J(tau)较小系数的计算,公牛。阿默尔。数学。Soc。45年(1939年),917-919年。

Monster simple group的McKay Thompson系列索引条目

“核心”序列的索引项

公式

G、 传真:A007245(q) ^3/季度;或(1+240和{k>0}σ3(k)q^k)^3/(q积{k>0}(1-q^k)^24)。

似乎-n*a(n)=A035230型(n) 一-杰拉尔德·麦加维2006年12月21日

2*a(2)=A028520号(3) 一。1*4(甲)=A028520号(4) 一。2*a(6)=A028520号(5) 一-杰拉尔德·麦加维2006年12月21日

128*(θu2(q)^8+θu3(q)^8+θu4(q)^8)*(θu2(q)^-8+θu3(q)^-8+θu4(q)^-8)的展开式-迈克尔·索莫斯2007年10月2日

a(n)~exp(4*Pi*n^(1/2))/(2^(1/2)*n^(3/4))[彼得森(1932),拉德马赫(1938)]-格奥尔赫·科塞雷亚2015年10月9日

a(n)=(1/n)*(和{r in Z}A027652号(n-r^2)+和{r>0,r奇数}((-1)^n*A027652号(4*n-r^2)-A027652号(16*n-r^2)))对于n>0-真山真一2017年6月11日

a(n)=(1/(n+1))*和{k=1..n+1}(504*A001160(k) -240*(n-k)*A001158(k) )*a(n-k),a(-1)=1-真山真一2017年7月12日

G、 f.:256*(1-λ+λ^2)^3/(λ^2*(1-λ)^2),其中λ是椭圆模函数(A115977号). -真山真一2017年7月30日

例子

j=1/q+744+196884*q+21493760*q^2+86429970*q^3+20245856256*q^4+。。。

真山真一2017年6月11日:(开始)

a(1)=(1/1)*(A027652号(0)+A027652号(一)+A027652号(0)+(-A027652号(三)-A027652号(十五)-A027652号(7) )=(1/1)*196884=196884。

a(2)=(1/2)*(A027652号(一)+A027652号(二)+A0652年(1) +(A027652号(七)+A027652号(-1)-A027652号(三十一)-A027652号(二十三)-A027652号(7) )=(1/2)*42987520=21493760。

a(3)=(1/3)*(A027652号(-1)+A027652号(二)+A027652号(三)+A027652号(二)+A027652号(-1)+(-A027652号(十一)-A027652号(三)-A027652号(四十七)-A027652号(三十九)-A027652号(二十三)-A027652号(-1))=(1/3)*2592899910=86429970(结束)

如果J_n:=J(sqrt(-n))^(1/3),则J_1=12,J_2=20,J_4=66,J_77=255-迈克尔·索莫斯2019年10月31日

枫木

有(numtheory):顶部:=31;

g2:=(4/3)*(1+240*加法(sigma[3](n)*q^n,n=1..TOP-1));

g3:=(8/27)*(1-504*加(西格玛[5](n)*q^n,n=1..TOP-1));

δ:=系列(g2^3-27*g3^2,q,顶部);

j:=系列(1728*g2^3/三角形,q,顶部);

数学

系数列表[Normal[Series[1728*kleinvariantj[z],{z,0,30}]*Exp[-2*I*Pi/z]]/。E^(π*复数[0,n_u]/z)->t^(-n/2),t](*雅辛斯基,2008年12月20日,在Daniel Lichtblau之后,由瓦茨拉夫·科特索维奇2020年7月7日*)

a[n_u]:=与[{tau=Log[q]/(2pi I)},系列系数[1728 kleinvariantj[tau],{q,0,n}],{q,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2011年11月20日*)(*自V7*起)

a[n_9]:=与[{e1=dedekindata[Log[q]/(2 Pi I)]^24,e2=DedekindEta[Log[q]/(Pi I)]^24},系列系数[系列[(e1+256 e2)^3/(e1^2 e2),{q,0,n+1}],{q,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)

a[n_u]:=带[{L=ModularLambda[Log[q]/(2pi I)]},系列系数[256(L^2-L+1)^3/(L(1-L))^2,{q,0,2n+3}],{q,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)

a[nü]:=若[n<-1,0,且[{E4=1+240和[DivisorSigma[3,k]q^k,{k,n+2}],E6=1-504和[DivisorSigma[5,k]q^k,{k,n+2}]},系列系数[系列[1728 E4^3/(E4^3-E6^2),{q,0,n}],{q,0,n}]]](*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)

{24*77x,[^1号锤子,[-65x]系列,[-216x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月23日*)

a[n_]:=系列系数[With[{L=InverseEllipticNomeQ[Sqrt[q]]},256(L^2-L+1)^3/(L(1-L))^2],{q,0,n}];  (*简·曼格尔丹2020年7月7日,之后迈克尔·索莫斯*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<-1,0,A=x^(2*n+2)*O(x);A=x*(预计到达时间(x+A)*预计到达时间(x^4+A)^2/预计到达时间(x^2+A)^3)^8;波尔科夫(subst(256*(1-x+x^2)^3/(x-x^2)^2,x,16*A),2*n))}/*迈克尔·索莫斯2004年4月30日*/

(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<-1,0,A=x^(5*n+5)*O(x);A=(预计到达时间(x+A)/预计到达时间(x^5+A))^6/x;波尔科夫(subst((x^2+10*x+5)^3/x,x,A),5*n))}/*迈克尔·索莫斯2004年4月30日*/

(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<-1,0,A=x^2*O(x^n);A=x*(预计到达时间(x^2+A)/预计到达时间(x+A))^24;波尔科夫((1+256*A)^3/A,n))}/*迈克尔·索莫斯2004年7月13日*/

(PARI)q='q+O('q^66);向量机(ellj(q))\\乔尔阿恩特2016年4月24日

(PARI){a(n)=if(n<-1,0,polcoeff(ellj(x+x^3*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2016年12月25日*/

交叉引用

囊性纤维变性。A005798号,A007240型,A007245,A014708年,A027652号,A066395号,A078906号,A115977号,A290403号,A290404.

复归给予A091406型A066396号.

囊性纤维变性。A106205号(24根)。

请参阅A161361号,邮编:A161362,邮编:A161395,邮编:A178451,A339429飞机(带素数的指数)。

上下文顺序:A210178号 邮编:A192731 A288261*邮编:A178449 A145781号 A066395号

相邻序列:  A000518号 A000519号 A000520型*A000522号 A000523号 A000524号

关键字

容易的,,美好的,核心,改变

作者

N。J。A。斯隆

扩展

扩展了定义以包括其他搜索词-N。J。A。斯隆2019年11月30日

状态

经核准的

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