A008408-OEIS公司

A008408号

水蛭晶格的Theta级数。

1, 0, 196560, 16773120, 398034000, 4629381120, 34417656000, 187489935360, 814879774800, 2975551488000, 9486551299680, 27052945920000, 70486236999360, 169931095326720, 384163586352000, 820166620815360, 1668890090322000

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

参考文献

J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，第三版，Springer-Verlag，1993年，第51、134-135页。

W.Ebeling，《格与码》，Vieweg；2002年第2版，见第113页。

N.J.A.Sloane，《七个交错的序列》，《向一个馅饼拼图致敬》，E.Pegg Jr.，A.H.Schoen和T.Rodgers（编辑），A.K.Peters，马萨诸塞州韦尔斯利，2009年，第93-110页。

链接

Seiichi Manyama，n=0..10000时的n，a（n）表（前501个术语来自N.J.A.Sloane）

亨利·科恩（Henry Cohn）、阿比纳夫·库马尔（Abhinav Kumar）、斯蒂芬·米勒（Stephen D.Miller）、丹妮洛·拉德琴科（Danylo Radchenko）和玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska），24维球体堆积问题，arXiv:1603.06518[math.NT]，2016年。

亨利·科恩和斯蒂芬·米勒，8维和24维球形填料最优函数的一些性质，arXiv:1603.04759[math.MG]，2016年

David de Laat和Frank Vallenton，球形封装的突破：寻找魔法函数，arXiv预印本arXiv:1607.02111[math.MG]，2016。

弗恩·戈索尔，林登式循环筛选与高斯同余，arXiv:2410.05678[math.CO]，2024。见第26页。

Nadia Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，arXiv:math/0509316[math.NT]，2005-2006；《组合理论》，A辑，113（2006），1732-1745。

G.Nebe和N.J.A.Sloane，晶格主页

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N.J.A.斯隆，我最喜欢的整数序列《序列及其应用》（1998年SETA会议记录）。

N.J.A.斯隆，七个错综复杂的序列.

埃里克·魏斯坦的数学世界，水蛭格子.

埃里克·魏斯坦的数学世界，Theta系列.

配方奶粉

获得这个值的最简单方法是取E_8的θ级数的立方体(A004009号)将Ramanujan数减去g.f.的720倍(A000594号).

因此，这个θ级数也是（7/12）E_4（z）^3+（5/12）E_6（z）*2的q展开式。囊性纤维变性。A013973号. -丹尼尔·布里格斯2011年11月25日

a（n）=65520*(A013959号（n）-A000594美元（n））/691，n>=1。a（0）=1。Leech晶格的Theta级数以q^2的幂展开。请参阅Conway和Sloane参考。 -Wolfdieter Lang公司2017年1月16日

例子

通用系数=1+196560*q^2+16773120*q^3+398034000*q^4+4629381120*qq^5+。..

MAPLE公司

带有（数字理论）；f:=1+240*加（σ[3]（m）*q^（2*m），m=1..50）；t:=q^2*mul（（1-q^（2*m））^24，m=1..50）；系列（f^3-720*t，q，51）；

数学

最大值=17；f=1+240*总和[DivisorSigma[3，m]*q^（2m），{m，1，max}]；t=q^2*乘积[（1-q^（2m））^24，{m，1，max}]；分区[CoefficientList[Series[f^3-720t，{q，0，2 max}]，q]，2][[All，1]](*Jean-François Alcover公司2011年10月14日，Maple之后*）

（*从版本6开始*）f[q_]=LatticeData[“Leech”，“ThetaSeriesFunction”][x]/。x->-I*对数[q]/Pi；级数[f[q]，{q，0，32}]//系数列表[#，q^2]&(*Jean-François Alcover公司2013年5月15日*）

a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，SeriesCoefficient[（1+240 Sum[q^k DivisorSigma[3，k]，{k，n}]）^3-720 q QPochhammer[q]^24，{q，0，n}]]； (*迈克尔·索莫斯2014年6月9日*）

黄体脂酮素

（岩浆）//水蛭晶格的Theta系列，来自约翰·坎农2006年12月29日

A008408Q:=函数（prec）M12:=模块形式（Gamma0（1），12）；t1:=基础（M12）[1]；T:=PowerSeries（t1，prec）；回归系数（T）；端函数；Q:=A008408Q（1000）；问[678]；

（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，polceoff（1+（总和（k=1，n，sigma（k，11）*x^k）-x*eta（x+O（x^n））^24）*65520/691，n））}； /*迈克尔·索莫斯2006年10月19日*/

（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，polcoeff（总和（k=1，n，240*sigma（k，3）*x^k，1+x*O（x^n））^3-720*x*eta（x+O（x*n）））^24，n））}； /*迈克尔·索莫斯2006年10月19日*/

（鼠尾草）A=模块形式（Gamma0（1），12，prec=30）。basis（）；A[1]-65520/691*A[0]#迈克尔·索莫斯2014年6月9日

（岩浆）基础（模块形式（Gamma0（1），12），30）[1]； /*迈克尔·索莫斯2014年6月9日*/

（Python）

从symy导入divisorsigma

定义A008408号（n）：return 65520*（divisor_sima（n，11）-（n**4*divisor_sima（n）-24*（（m:=n+1>>1）**2*（0 if n+1 else（m*（35*m-52*n）+18*n**2）*divisor_sima（m）**2）+sum（（i*（i*（i*（70*i-140*n）+90*n**2）-20*n**3）+n**4）*divisor_sima（i）*divisor_sima（n-i）for i在范围（1，m））））//691如果n为1#柴华武2022年11月17日

交叉参考

囊性纤维变性。A004009号,A108093号,A000594号,A108093号（第24根），A034597号,A034598号,A198343号,A013959号.

上下文中的序列：A234394号 A202434型 A179253号*A305920型 A001942号 A034597号

相邻序列：A008405号 A008406号 A008407号*A008409号 A008410号 A008411号

关键词

非n,容易的,美好的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的