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（来自的问候整数序列在线百科全书！）
搜索： a246955-id:a246955
显示找到的20个结果中的1-10个。 第页12
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A249223型 行读取三角形：第n行给出第n行的部分交替和A237048型. +10
62
1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1,11
评论
三角形中的所有条目都是非负的，因为以下奇数列中的数字为1237048英镑在第j列之前，1<=j<=行（n）至少与通过第j列的偶数列中的1的数量一样大。因此：
（a） 两条相邻的对称Dyck路径，其支腿由相邻的三角形行定义A237593型不要互相交叉（另请参阅A235791型和A237591型)三角形中的行描述了腿之间的宽度。
（b） 让腿（n）表示三角形的第n行A237591型，宽度为（n）该三角形的第n行，以及c（n）此三角形第n行中最右边的条目（Dyck路径的中心）。则面积（n）=2*支腿（n）。宽度（n）-c（n），其中“.”是内积，是两条相邻对称Dyck路径之间的面积。
（c） 对于某些整数序列，已知面积（n）=σ（n）；看见A238443型,A245685型,A246955型,A246956型和A247687型.
右边框给出A067742号. -奥马尔·波尔2017年1月21日
链接
G.C.格鲁贝尔，前150行的n，a（n）表，扁平
配方奶粉
T（n，k）=总和_｛j＝1..k｝（-1）^（j+1）*A237048型（n，j），对于n>=1和1<=k<=楼层（（sqrt（8*n+1）-1）/2）已由更正哈特穆特·F·W·霍夫特2018年1月25日
例子
三角形开始：
---------------------------
n\k 1 2 3 4 5 6
---------------------------
1|1；
2 | 1;
3 | 1, 0;
4 | 1, 1;
5 | 1, 0;
6 | 1, 1, 2;
7 | 1, 0, 0;
8 | 1, 1, 1;
9 | 1, 0, 1;
10 | 1, 1, 1, 0;
11 | 1, 0, 0, 0;
12 | 1, 1, 2, 2;
13 | 1, 0, 0, 0;
14 | 1, 1, 1, 0;
15 | 1, 0, 1, 1, 2;
16 | 1, 1, 1, 1, 1;
17 | 1, 0, 0, 0, 0;
18 | 1, 1, 2, 1, 1;
19 | 1, 0, 0, 0, 0;
20 | 1, 1, 1, 1, 2;
21 | 1, 0, 1, 1, 1, 0;
22 | 1, 1, 1, 0, 0, 0;
23 | 1, 0, 0, 0, 0, 0;
24|1，1，2，2，2，2；
...
三角形表明，面积（n）的2次方宽度为1，素数p的面积（p）仅由1条宽度为1的水平边组成（以及该三角形镜像对称副本中的对称垂直边）。
MAPLE公司
r:=工艺（n）层（（sqrt（1+8*n）-1）/2）；结束程序：#R.J.Mathar 2015A003056号
A237048型：=proc（n，k）本地i；全球r；
如果n<（k-1）*k/2或k>r（n），则返回（0）；fi；
如果（kmod2）=1且（nmodk）=0，则返回（1）；fi；
如果（k mod 2）=0且（n-k/2）mod k）=0，则返回（1）；fi；
返回（0）；
结束；
A249223型：=程序（n，k）局部i；全局r，A237048型;
如果n<（k-1）*k/2或k>r（n），则返回（0）；fi；
加（（-1）^（i+1）*A237048型（n，i），i=1..k）；
结束；
对于从1到12的n，进行lprint（[seq(A249223型（n，k），k=1..r（n）]）；od#N.J.A.斯隆，2021年1月15日
数学
cd[n_，k_]：=如果[n，k]，1，0]可除；行[n_]：=楼层[（Sqrt[8n+1]-1）/2]；a237048[n_，k_]：=如果[OddQ[k]，cd[n，k]，cd[n-k/2，k]]；
a1[n，k_]：=总和[（-1）^（j+1）*a237048[n，j]，{j，1，k}]；
a2[n_]：=拖放[FoldList[Plus，0，Map[（-1）^（#+1）&，范围[row[n]]a237048[n]]，1]；展平[Map[a2，Range[24]]（*数据*）（*校正者G.C.格鲁贝尔2017年4月16日*）
黄体脂酮素
（PARI）t237048（n，k）=如果（k%2，（n%k）==0，（（n-k/2）%k）==0）；
kmax（n）=（sqrt（1+8*n）-1）/2；
t（n，k）=总和（j=1，k，（-1）^（j+1）*t237048（n，j））；
tabf（nn）={对于（n=1，nn，对于（k=1，kmax（n），打印1（t（n，k），“，”）；）；打印（）；}\\米歇尔·马库斯，2015年9月20日
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A237048型,A237270型,A237271号,A237593型,A238443型,A245685型,A246955型,A246956型,A247687型.
关键词
非n,标签
作者
哈特穆特·F·W·霍夫特2014年10月23日
状态
经核准的
A249351型 按行读取的三角形，其中第n行列出了sigma（n）对称表示的宽度。 +10
62
1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1,31
评论
这里，T（n，k）被定义为σ（n）对称表示的“第k个宽度”，其中n>=1和1<=k<=2n-1。说明：考虑中描述的sigma（n）的对称表示图A236104型,A237593型和其他相关序列。假设sigma（n）的图包含2n-1等距线段，这些线段平行于象限的主对角线[（0,0），（n，n）]。这些线段位于单元格的对角线上。两平行段之间的距离等于sqrt（2）/2。T（n，k）是第k段的长度除以sqrt（2）。注意三角形包含非负项，因为对于某些n，某些宽度的值等于零。有关某些宽度的图示，请参见哈特穆特·F·W·霍夫特的链接部分贡献A237270型.
第n行的长度为2*n-1。
行总和给出A000203号.
如果n是2的幂，那么第n行的所有项都是1。
如果n是一个偶数完美数，那么除中间项2外，第n行的所有项都是1。
如果n是奇数素数，则行n列（n+1）/2 1，n-2 0，（n+1，/2 1）。
第n行中的正项块数给出237271元（n） 。
第n行第k个正项块的和给出A237270型（n，k）。
似乎中间的对角线也是A067742号（据推测米歇尔·马库斯在条目中A237593型并通过两个Mathematica函数进行检查，n=100000哈特穆特·F·W·霍夫特).
似乎梯形数(A165513型)也是具有sigma（k）对称表示的某些非中心宽度不等于1的性质的数字k>1-奥马尔·波尔2023年3月4日
链接
n=1..100时的n，a（n）表。
与sigma（n）相关的序列的索引项
例子
三角形开始：
1;
1,1,1;
1,1,0,1,1;
1,1,1,1,1,1,1;
1,1,1,0,0,0,1,1,1;
1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1;
1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1;
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;
1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1;
1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1;
1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1;
1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1;
...
---------------------------------------------------------------------------
.写成等腰三角形
序列开始：sigma的对称性
---------------------------------------------------------------------------
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
. 1; |_| | | | | | | | | | | |
. 1,1,1; |_ _|_| | | | | | | | | |
. 1,1,0,1,1; |_ _| _|_| | | | | | | |
. 1,1,1,1,1,1,1; |_ _ _| _|_| | | | | |
. 1,1,1,0,0,0,1,1,1; |_ _ _| _| _ _|_| | | |
1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1；|___|_|__|__||
. 1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1; |_ _ _ _| |_ _|_| _ _|
. 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1; |_ _ _ _ _| _| |
. 1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1; |_ _ _ _ _| | _|
. 1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1; |_ _ _ _ _ _| _ _|
. 1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1; |_ _ _ _ _ _| |
.1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1; |_ _ _ _ _ _ _|
...
发件人奥马尔·波尔2020年11月22日：（开始）
还要考虑中定义的无限双楼梯图A335616飞机.
对于n=15，前15级的图如下所示：
.
级别“双空箱”图
. _
1 _|1|_
2 _|1 _ 1|_
3 _|1 |1| 1|_
4 _|1 _| |_ 1|_
5 _|1 |1 _ 1| 1|_
6 _|1 _| |1| |_ 1|_
7 _|1 |1 | | 1| 1|_
8 _|1 _| _| |_ |_ 1|_
9 _|1 |1 |1 _ 1| 1| 1|_
10 _|1 _| | |1| | |_ 1|_
11 _|1 |1 _| | | |_ 1| 1|_
12 _|1 _| |1 | | 1| |_ 1|_
13 _|1 |1 | _| |_ | 1| 1|_
14 _|1 _| _| |1 _ 1| |_ |_ 1|_
15 |1 |1 |1 | |1| | 1| 1| 1|
.
从开始A196020型以及中描述的算法之后208850英镑和A296508型应用于上图，我们有一个新的图表，如下所示：
.
级别“Ziggurat”图
. _
6 |1|
7 _ | | _
8 _|1| _| |_ |1|_
9 _|1 | |1 1| | 1|_
10 _|1 | | | | 1|_
11 _|1 | _| |_ | 1|_
12 _|1 | |1 1| | 1|_
13 _|1 | | | | 1|_
14 _|1 | _| _ |_ | 1|_
15|1||1|1||1|
.
第15排
其顺序为：[1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,2,1,1,1,1,2,0,00,01,1,1,1,1,1,1]
第15排
属于A237270型: [ 8, 8, 8 ]
第15排
属于A296508型: [ 8, 7, 1, 0, 8 ]
第15排
属于A280851型[ 8, 7, 1, 8 ]
.
上图连续列中的水平步数（或1）表示该三角形的第15行。
有关sigma（n）对称表示部分的更多信息，请参见A237270型有关子部分的更多信息，请参见A239387型,2008年2月,A280851型.
更一般地说，sigma（n）对称表示的原始图和n的“Ziggurat”图之间似乎有相同的对应关系
数学
（*功能段定义于237270英镑*)
a249351[n_]：=展平[映射[段，范围[n]]
a249351[10](*哈特穆特·F·W·霍夫特2022年7月20日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A003056号,A067742号,A071562号,A165513型,A196020型,A235791型,A236104型,A237048型,A237270型,A237271号,A237591型,A237593型,A238443型,A239660型,A239932型-A239934型,A240542型,A241008型,A241010型,A245092型,A245685型,A246955型,A246956型,A247687型,A249223型,A250068型,A250070型,A250071型,A262626型,A280850型,A280851型,A296508型,A235616型,A347186型.
关键词
非n,标签
作者
奥马尔·波尔2014年10月26日
状态
经核准的
A250070型 使sigma（k）的对称表示具有宽度n的至少一部分的最小数k。 +10
27
1, 6, 60, 120, 360, 840, 3360, 2520, 5040, 10080, 15120, 32760, 27720, 50400, 98280, 83160, 110880, 138600, 221760, 277200, 332640, 360360, 554400, 960960, 831600, 942480, 720720 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1、2
评论
以a（2）=6开头的26个条目是以2开头的连续素数的幂的乘积，除了a（12）=32760和a（15）=98280（缺少11）和a（26）=942480（缺少13）。
a（n）是最小的数k，使得西格玛（k）的对称表示具有n层。有关更多信息，请参阅A279387型. -奥马尔·波尔2016年12月16日
第1行，共行253258元. -奥马尔·波尔2018年4月15日
链接
n=1..27时的n，a（n）表。
配方奶粉
a（n）=最小值（k，这样A250068型（k） =n），n>=1。
例子
a（60）=3，因为σ（60）=168的对称表示由单个区域组成，其连续宽度为41 1’s、9 2’s、63’s、72’s、6 3’s、92’s和41’s。
数学
（*函数a2[]定义于A249223型*)
a250070[｛j_，k_}，b_]：=模块[｛i，max，acc=｛｛1，1｝｝｝｝，对于[i=j，i<=k，i++，max=｛max[a2[i]]，i｝；如果[max[[1]]>b&&！成员Q[Transpose[acc][1]，最大值[[1]]]，AppendTo[acc，最大值]]]；符合]
（*返回（参数、结果）数据对，因为序列是非单调的*）
排序[a250070[{110000000}，1]]（*按步骤计算*）
交叉参考
中的记录索引A250068型.
囊性纤维变性。A000203号,A237270型,A237271号,A237593型,A241008型,A241010型,A246955型,A247687型,49223元,A250071型,A253258号,1979年.
关键词
非n,更多
作者
哈特穆特·F·W·霍夫特2014年11月11日
状态
经核准的
A250068型 σ（n）对称表示中任何区域的最大宽度。 +10
26
1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1,6
评论
由于sigma对称表示的单个区域的宽度（2^上限（（p-1）*（log_2 3）-1）*3^（p-1A250071型).
a（n）也是σ（n）的对称表示中宽度为1的层数。有关更多信息，请参阅A001227号. -奥马尔·波尔2016年12月13日
链接
N.J.A.斯隆，n=1..10000时的n，a（n）表
配方奶粉
a（n）=max_{k=1..楼层（（平方英尺（8*n+1）-1）/2）}（Sum_{j=1..k}（-1）^（j+1）*A237048型（n，j）），对于n>=1。
例子
a（6）=2，因为sigma（6”=12的对称表示中每个单位步的宽度序列是1、1、1，1、2、1、一、一、1、1。有关可视示例，请参见A237270型,A237593型以及其中引用的序列。
数学
（*函数a2[]定义于A249223型*)
a250068[n_]：=最大值[a2[n]]
a250068[{m_，n_}]：=地图[a250068，范围[m，n]]
a250068[{1100}]（*数据*）
黄体脂酮素
（PARI）t237048（n，k）=如果（k%2，（n%k）==0，（（n-k/2）%k）==0）；
kmax（n）=（sqrt（1+8*n）-1）/2；
t249223（n，k）=总和（j=1，k，（-1）^（j+1）*t237048（n，j））；
a（n）=我的（wm=t249223（n，1））；对于（k=2，kmax（n），wm=max（wm，t249223（n，k））；wm\\米歇尔·马库斯，2015年9月20日
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A001227号,A237048型,A237270型,A237271号,A237591型,A237593型,A241008型,2010年2月,A246955型,A247687型,A249223型,A249351型（宽度），A279387型,A279388型,A279391型.
请参见A250070型,A250071型,A340506型用于记录。
关键词
非n
作者
哈特穆特·F·W·霍夫特2014年11月11日
状态
经核准的
2008年2月24日 数字n具有以下性质：sigma（n）对称表示中的部分数是偶数，并且所有部分的宽度都是1。 +10
21
3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 27, 29, 31, 33, 34, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 76, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 92, 93, 94, 95, 97 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1，1
评论
中的前八个条目A071561号但不在此序列中的是75、78、102、105、114、138、174和175。
中的前八个条目A239929型但在这个序列中不是21、27、33、39、51、55、57和65。
这个序列和A241010型等于A174905号（请参阅中的链接A174905号作为证明）。更新者哈特穆特·F·W·霍夫特2015年7月2日
设n=2^m*乘积{i=1..k}p_i^e_i=2^m*q，其中m>=0，k>=0、2<p_1<p_k素数和e_i>=1，对于所有1<=i<=k。对于这个序列中的每个数字n，k>0，至少有一个e_i是奇的，对于n的任意两个奇除数f<g，2^（m+1）*f<gd_2x=q，其中2x=σ0（q）。n的对称谱的第z区域的面积a_z=1/2*（2^（m+1）-1）*（d_z+d_（2x+1-z）），对于1<=z<=2x。因此，区域面积之和等于σ（n）。有关证明，请参见以下链接中的定理6A071561号. -哈特穆特·F·W·霍夫特2015年9月9日，2018年9月4日
第一个不同于A071561号在a（43）处-奥马尔·波尔2018年10月6日
链接
n=1..55时的n、a（n）表。
哈特穆特·F·W·霍夫特，sigma（n）值的图像
数学
（*路径[n]和a237270[n]定义于A237270型*)
atmostOneDiagonalsQ[n_]：=SubsetQ[｛0，1｝，并集[Flatten[Drop[path[n]，1]，-1]-path[n-1]，1]]]
选择[Range[100]，atmostOneDiagonalsQ[#]&&EvenQ[Length[a237270[#]]&]（*数据*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A071561号,A071562美元,A174905号,A236104型,A237270型,A237271号,A237593型,A238443型,A241010型,A246955型.
关键词
非n,更多
作者
哈特穆特·F·W·霍夫特2014年8月7日
状态
经核准的
A247687型 数字m的性质是sigma（m）的对称表示具有宽度为1的三部分。 +10
18
9, 25, 49, 50, 98, 121, 169, 242, 289, 338, 361, 484, 529, 578, 676, 722, 841, 961, 1058, 1156, 1369, 1444, 1681, 1682, 1849, 1922, 2116, 2209, 2312, 2738, 2809, 2888, 3362, 3364, 3481, 3698, 3721, 3844, 4232, 4418, 4489, 5041, 5329, 5476, 5618, 6241, 6724, 6728, 6889, 6962, 7396, 7442, 7688, 7921, 8836, 8978, 9409 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1，1
评论
sigma（m）的对称表示有3个宽度为1的区域，其中两个极值区域各有2^k-1条支路，中心区域以sigma的相关Dyck路径的第p条支路开始，当m=2^（k-1）*p^2时，其中2^k<p<=row（m），k>=1，p>=3是质数，row（m）=floor（（sqrt（8*m+1）-1）/2）。此外，两个外部区域的面积为（2^k-1）*（p^2+1）/2，因此中心区域的面积是（2^k-1）*p；有关证据，请参阅链接。
因为序列是由一个双参数表达式定义的，所以它可以自然地写成三角形，如示例部分所示。
A263951型是该序列的一个子序列，包含所有素数p的平方，其中p^2对称表示中的3个区域（p1次和（p^2+1）/2次）的面积是素数；即，p^2和p^2+1是半素数（参见A070552号). -哈特穆特·F·W·霍夫特2020年8月6日
链接
n=1..57时的n、a（n）表。
哈特穆特·F·W·霍夫特，三区域宽度单三角形公式的证明
配方奶粉
作为不规则三角形，T（n，k）=2^k*prime（n）^2，其中n>=2，0<=k<=floor（log_2（prime（n））-1）。
例子
我们显示了前八列的部分，两个0<=k<=7的幂，以及通过素数（56）=263的三角形的55行。
p/k 0 1 2 3 4 5 6 7
3 9
5 25 50
7 49 98
11 121 242 484
13 169 338 676
17 289 578 1156 2312
19 361 722 1444 2888
23 529 1058 2116 4232
29 841 1682 3364 6728
31 961 1922 3844 7688
37 1369 2738 5476 10952 21904
41 1681 3362 6724 13448 26896
43 1849 3698 7396 14792 29584
47 2209 4418 8836 17672 35344
53 2809 5618 11236 22472 44944
59 3481 6962 13924 27848 55696
61 3721 7442 14884 29768 59536
67 4489 8978 17956 35912 71824 143648
71 5041 10082 20164 40328 80656 161312
. . . . . . .
. . . . . . .
131 17161 34322 68644 137288 274567 549152 1098304
137 18769 37538 75076 150152 300304 600608 1201216
. . . . . . . .
. . . . . . . .
257 66049 132098 264196 528392 1056784 2113568 4227136 8454272
263 69169 138338 276676 553352 1106704 2213408 4426816 8853632
数字4不在这个序列中，因为sigma（4）的对称表示由单个区域组成。列k=0包含素数的平方(A001248号（n） ，n>=2），列k=1包含素数平方的两倍(A079704号（n） ，n>=2）和k=2列包含素数平方的四倍(A069262号（n） ，n>=5）。
数学
（*路径[n]和a237270[n]定义于A237270型*)
atmostOneDiagonalsQ[n_]：=子集Q[{0，1}，并集[Flatten[Drop[path[n]，1]，-1]-path[n-1]，1]]
（*数据*）
选择[范围[10000]，atmostOneDiagonalsQ[#]和长度[a237270[#]]=3&]
（*示例部分中三角形的表达式*）
TableForm[表[2^k素数[n]^2，{n，2，57}，{k，0，Floor[Log[2，素数[n]]-1]}]，TableDepth->2，TableHeadings->{Map[素数，范围[2，57]]，Range[0，Floor[日志[2，质数[57]-1]]}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A237270型,A237271号,237593加元,A241008型,A241010型,A246955型,A250068型,A250070型,A250071型.
囊性纤维变性。A070552号,A263951型.
关键词
非n
作者
哈特穆特·F·W·霍夫特2014年9月22日
状态
经核准的
A241010型 数字n的性质是，sigma（n）的对称表示中的部分数是奇数，并且所有部分的宽度都是1。 +10
16
1, 2, 4, 8, 9, 16, 25, 32, 49, 50, 64, 81, 98, 121, 128, 169, 242, 256, 289, 338, 361, 484, 512, 529, 578, 625, 676, 722, 729, 841, 961, 1024, 1058, 1156, 1250, 1369, 1444, 1681, 1682, 1849, 1922, 2048, 2116, 2209, 2312, 2401, 2738, 2809, 2888, 3025, 3249, 3362, 3364, 3481, 3698, 3721, 3844 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1、2
评论
中的前八个条目A071562号但在这个序列中不是6、12、15、18、20、24、28和30。
中的前八个条目A238443型但在这个序列中不是6、12、18、20、24、28、30和36。
联盟A241008型并且在这个序列中等于A174905号（有关证明，请参阅中的链接A174905号).
设n=2^m*乘积（p_i^e_i，i=1，…，k）=2^m*q，其中m>=0，k>=0.，2<p_1p_k素数和e_i>=1，对于所有1<=i<=k。对于这个序列中的每个数字n，所有e_i都是偶数，对于n的任意两个奇除数f<g，2^（m+1）*f<g。区域r（n，z）的面积之和等于sigma（n）。有关特征和公式的证明，请参阅下面链接中的定理。
数字3025=5^2*11^2和510050=2^1*5^2*101^2分别是具有两个不同奇质因子的序列中最小的奇数和偶数。
在序列中小于1000000的706个数字中（见表格链接），有143个数字具有两个不同的奇素数因子，但没有一个数字具有三个。所有具有三个不同奇数素数因子的数字都大于500000000。数字4450891225=5^2*11^2*1213^2在序列中，但可能不是具有三个不同奇数素数因子的最小数字。注意，1213是扩展3025除数列表的第一个素数，同时保留了此序列中数字的属性。
满足上述约束的数n=2^（k-1）*p^2的子序列为A247687型.
n=3^（2*h）=9^h=A001019号（h） ，h>=0，是sigma（n）的对称表示具有2*h+1个宽度为1的区域的最小数，例如h=1、2、3和5，但h=4则不是，在这种情况下，3025=5^2*11^2<3^8=6561是最小的（参见A318843型). [评论由更正哈特穆特·F·W·霍夫特2018年9月4日]
对于sigma（n）的对称表示，使用此特征的计算比Dyck路径的计算更有效，例如下面的Mathematica代码。
链接
n=1..57时的n、a（n）表。
哈特穆特·F·W·霍夫特，n=1..563时的n，a（n）表（值小于1000000）
哈特穆特·F·W·霍夫特，特征定理的证明
哈特穆特·F·W·霍夫特，n=1…706的n，a（n）表（值小于1000000）
Hartmut F.W.Hoft，当n=1..15时，sigma（a（n））对称表示的图解
哈特穆特·F·W·霍夫特，n的性质证明和sigma（n）区域的公式
配方奶粉
此序列中n=2^m*q的对称表示中z区域的公式，其中1=d_1<…<d（2*x+1）=q是n的奇除数。
例子
这个不规则三角形在每一列中表示序列中具有相同因子2的元素。
行/列2^0 2^1 2^2 2^3 2^4 2^5。。。
2^k:1 2 4 8 16 32。。。
3^2: 9
5^2: 25 50
7^2: 49 98
3^4: 81
11^2: 121 242 484
13^2: 169 338 676
17 ^2：289 578 1156 2312
19^2: 361 722 1444 2888
23^2: 529 1058 2116 4232
5^4: 625 1250
3^6: 729
29^2: 841 1682 3364 6728
31^2: 961 1922 3844 7688
37^2: 1369 2738 5476 10952 21904
41^2: 1681 3362 6724 13448 26896
43^2: 1849 3698 7396 14792 29584
47^2: 2209 4418 8836 17672 35344
7^4: 2401 4802
53^2: 2809 5618 11236 22472 44944
5^2*11^2: 3025
3^2*19^2: 3249
59^2: 3481 6962 13924 27848 55696
61^2: 3721 7442 14884 29768 59536
67^2: 4489 8978 17956 35912 71824 143648
3^2*23^2: 4761
71 ^2：5041
...
5^2*101^2:225025 510050
...
数字3025=5^2*11^2是按顺序排列的，因为它的除数是1、5、11、25、55、121、275、605和3025。数字6050=2^1*5^2*11^2不在序列中，因为2^2*5>11而5<11。
数字510050=2^1*5^2*101^2在序列中，因为它的9个奇数除数1、5、25、101、505、2525、10201、51005和225025由大于2^2的因子分隔。其9个地区的面积分别为382539、76515、15339、3939、1515、3939，15339、761515和382539。但是，2^2*5^2*101^2不在序列中。
第一行是A000079号.
除第一行外，其他行都是由满足该性质的奇数素数的偶幂乘积索引的，按递增顺序排序。
第一列是的子序列A244579号.
标记为p^（2*h）、h>=1和p>=3的行，其中p=A000040型（n） ，具有A098388号（n） 条目。
从第二列开始，将一列的条目除以2可以创建前一列的正确子序列。
请参见A259417型用于引用作为列1的子序列的奇数素数的其他偶幂序列。
标记为2^4的列中大于16的第一个条目是21904，因为37是大于2^5的第一个素数。标记为19^2的行中最右边的条目在标记为2^3的列中为2888，因为2^4<19<2^5。
数学
（*路径[n]和a237270[n]定义于A237270型*)
atmostOneDiagonalsQ[n_]：=子集Q[{0，1}，并集[Flatten[Drop[path[n]，1]，-1]-path[n-1]，1]]
选择[Range[1000]，atmostOneDiagonalsQ[#]&&OddQ[Length[a237270[#]]&]（*数据*）
（*基于数字特征的更高效代码*）
divisorPairsQ[m_，q_]：=模[{d=Divisors[q]}，选择[2^（m+1）*Most[d]-Rest[d]，#>=0&]={}]
a24101AltQ[n_]：=模块[{m，q，p，e}，m=整数指数[n，2]；q=n/2^m；{p，e}=转置[FactorInteger[q]]；q==1||（选择[e，EvenQ]==e&&divisorPairsQ[m，q]）]
a24101Alt[m_，n_]：=选择[范围[m，n]，a24101AltQ]
a24101Alt[1，4000]（*数据*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A174905号,A236104型,A237270型（西格玛（n）的对称表示），A237271号,A237593型,238443元,A241008型,A071562号,A246955型,A247687型,2500元,A250070型,A250071型.
囊性纤维变性。A318843型
关键词
非n
作者
哈特穆特·F·W·霍夫特2014年8月7日
扩展
更多术语和进一步编辑哈特穆特·F·W·霍夫特2015年6月26日和2015年7月2日，并于2015年10月11日更正
状态
经核准的
A250071型 最小的数字k，使得sigma（k）的对称表示具有最大宽度n，对于那些k的表示，其宽度在对角线以下不减。 +10
16
1, 6, 72, 120, 5184, 1440, 373248, 6720, 28800, 103680, 1934917632, 80640, 278628139008, 7464960, 2073600, 483840, 1444408272617472, 1612800, 103997395628457984, 5806080 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1、2
评论
当所有奇数除数都计算在A237048型以奇数指数出现。如果我们写k=2^m*q，其中m>=0且q是奇数，那么这个性质等价于q<2^（m+1）。
直接使用公式k=2^m*3^（p-1）计算a（11）、a（13）、a。这些数字中的每一个都有一个以素数宽度结尾的非递减宽度的对称表示，并且它们是第一个这样的数字，因为当数字是素数的幂时，奇数的除数数正好是素数。
列出的其他数字，其对称表示的sigma（k）宽度不减，小于7500000。唯一的附加数字k<=100000000是a（24）=7096320、a（27）=90316800和a（32）=85155840。
请参见A340506型以另一种方式查看这些数据-N.J.A.斯隆2021年1月23日
链接
n=1..20时的n，a（n）表。
配方奶粉
a（n）=min（2^m*q，m>=0&q奇数&σ0（q）=n&q<2^（m+1）），其中σ0是除数。
a（p）=2^素数p的上限（（p-1）*（log2（3））-1）*3^（p-1。
例子
a（6）=1440=2^5*3^2*5有6个奇数除数。它是形式2^m*q的最小数，其中m>0，q为奇数，并且q＜2^（m+1）。
数学
（*函数a2[]定义于A249223型*)
smallQ[n_]：=模块[{x=2^整数指数[n，2]}，n/x<2x]
ndWidth[{m_，n_}]：=选择[Range[m，n]，smallQ]
a250071[x_List]：=模块[{i，max，acc={{1，1}}，对于[i=1，i<=长度[x]，i++，max={max[a2[x[i]]]，x[i]}；如果[！MemberQ[Transpose[acc][[1]，max[[1]]，AppendTo[acc，max]]]；符合]
（*返回（参数，结果）数据对，因为序列是非单调的*）
排序[a250071[ndWidth[{1，100000000}]]（*按步骤计算*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A237048型,A237270型,A237271号,A237593型,A241008型,A241010型,A246955型,A247687型,A249223型,A250068型,250070英镑.
另请参阅A340506型.
关键词
非n,更多
作者
哈特穆特·F·W·霍夫特2014年11月11日
状态
经核准的
A191363号 数字m，使sigma（m）=2*m-2。 +10
14
3、10、136、32896、2147516416 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1，1
评论
设k是一个非负整数，使得F（k）=2^（2^k）+1是素数（费马素数A019434号)，则m=（F（k）-1）*F（k”/2出现在序列中。
猜想：a（1）=3是序列中唯一的奇数项。
猜想：序列的所有项都是从费马素数导出的上述形式。
序列有5个与序列相同的（已知）项A055708号（k-1|sigma（k））和A056006号因为{a（n）}是二者的子序列。
序列的前五项分别与模6的3，4，4，4,4同余。
在a（5）之后，没有其他<8*10^9的术语。
在m=1312*10^8之前，在与4模6同余的类中没有其他项。
a（6）>10^12-多诺万·约翰逊2011年12月8日
a（6）>10^13-乔瓦尼·雷斯塔2013年3月29日
a（6）>10^18-山口Hiroaki Yamanouchi2018年8月21日
请参见A125246号对于缺少4的数字，即sigma（m）=2*m-4，以及A141548号对于缺乏6的数字-M.F.哈斯勒2016年6月29日和2016年7月17日
这个序列的一个项m乘以一个素数p而不除以它，当且仅当p<m-1时，这个项是丰富的。对于（2..5）中的每一个，在这个极限附近都有这样一个素数（这里是：7，127，30197，2147483647），因此a（k）*p是一个本原奇数。A002975号. -M.F.哈斯勒2016年7月19日
该序列的任何项m可以与A088831号满足性质（sigma（m）+sigmaj）/（m+j）=2，这是两个数字友好的必要（但不是充分）条件。[证明：如果m=a（n）和j=2008年8月31日（k） 则σ（m）=2m-2，σ（j）=2j+2。因此，σ（m）+σ（j）=（2m-2）+（2j+2）=2m+2j=2（m+j），这意味着（σ-蒂莫西·提芬2016年9月13日
至少前五个术语是A295296型和，共A295298型. -大卫·A·科内斯,安蒂·卡图恩，2017年11月26日
猜想：所有项都是第二个六边形数(A014105号). 中间除数没有术语-奥马尔·波尔2018年10月31日
序列中5个数字中每个数字的σ（m）的对称表示由宽度1的2部分组成，在对角线处相交（A246955型). -哈特穆特·F·W·霍夫特2022年3月4日
前五项与A058891号。如果存在，则（6）的情况则不同-奥马尔·波尔2023年3月3日
链接
n=1..5时的n，a（n）表。
Gianluca Amato、Maximilian Hasler、Giuseppe Melfi和Maurizio Parton，具有三个以上不同素因子的原始奇数，里夫。帕尔马马特大学，7（1），（2016），153-163，arXiv:1803.00324[math.NT]，2018。
配方奶粉
a（n）=(A019434号（n） -1）*A019434号（n） /2表示目前已知的所有术语-M.F.哈斯勒2016年6月29日
例子
对于n=1，a（1）=3，因为sigma（3）=4=2*3-2。
数学
ok[n_]：=除数Sigma[1，n]==2*n-2；选择[表[2]（2^k-1）*（2^（2^k）+1），{k，0，5}]，确定](*Jean-François Alcover公司2011年9月14日，推测后*）
选择[Range[10^6]，DivisorSigma[1，#]==2#-2&](*迈克尔·德弗利格2016年9月14日*）
黄体脂酮素
（PARI）zp（a，b）={my（c，c1，s）；c=a；c1=2*c-2；
而（c<b，s=σ（c）；如果（s==c1，打印（c）；）；c1＝c1+2；c=c+1）；}
（PARI）a（k）=（2^2^k+1）<<（2^k-1）\\对于k<6-M.F.哈斯勒2016年7月27日
（岩浆）[1..9*10^6]|（SumOfDivisors（n）-2*n）eq-2]中的n：n//文森佐·利班迪2016年9月15日
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A002975号,A056006号,A055708号,A088831号（丰度2）。
囊性纤维变性。A033880美元,A125246号（不足4），A141548号（不足6），A125247号（不足8），A125248号（不足16）。
囊性纤维变性。A295296型,A295298型.
囊性纤维变性。A014105号,A237593型,A246955型.
囊性纤维变性。A058891号.
关键词
非n,坚硬的,更多
作者
路易斯·加拉多2011年5月31日
状态
经核准的
A347186美元 Ziggurat序列（定义见注释行）。 +10
13
1, 4, 6, 16, 12, 37, 20, 64, 36, 90, 42, 161, 56, 156, 107, 256, 90, 334, 110, 408, 202, 342, 156, 697, 207, 462, 312, 785, 240, 976, 272, 1024, 446, 756, 441, 1586, 380, 930, 604, 1736, 462, 1841, 506, 1806, 1101, 1332, 600, 2921, 720, 1820, 992, 2450, 756, 2998, 1108, 3257 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1、2
评论
σ（n）对称表示的部分和子部分代表什么？（参见。A237270型,A280851型). 这个序列给出了答案。
为了计算a（n），我们必须遵循由以下三个阶段组成的几何算法：
第1阶段（施工）：
在无限方形网格上，我们绘制了一个名为“双楼梯”的图，图中描述了n层A335616飞机.
然后，我们从k=1开始，从左到右标记双楼梯到图的中心列。
请注意，k也是梯子两个台阶之间的高度差，如果我们用一个以上的台阶画它的话。
第二阶段（调试）：
我们删除了从底部开始在图的第1层没有至少一个台阶的所有双楼梯。
现在第k个双楼梯的台阶数等于A196020型（n，k）。
第三阶段（毁灭）：
从左到右，我们删除了每个均匀诱导的双楼梯，以及其上方最近的奇诱导双楼梯的台阶。
通过这种几何算法，可以得到一个仅具有双楼梯、仅具有简单楼梯或同时具有这两种楼梯的图。
我们把那些在图的中央一栏有台阶的楼梯称为双楼梯。其余是简单的楼梯，形成一对或多对对称楼梯，与图中的中心柱等距。
我们将图中的“部分”称为楼梯（及其下方的单元格），这些楼梯由零高度的列分隔开。
我们将图中的“子部分”称为楼梯下的单元形成的多边形。
a（n）是所有楼梯下的总面积（或单元总数），具有多重性。
与多边形编号的连接如下：
标有数字k的双楼梯下方的面积等于第m个（k+2）-正角数加上第m个-第1个（kx2）-正角数，其中m是梯子一侧从底部到顶部的台阶数。
如果k=1，则双楼梯下的面积也等于n^2=A000290型（n） 。
标有数字k的简单楼梯下方的面积等于第m个（k+2）正方形数，其中m是台阶数。
如果n是2的幂，或者如果n是奇数素数，或者如果n是偶数完美数，或者，如果n是A246955型则a（n）的计算很容易（参见公式部分）。
与sigma（n）或“SRS（n）”对称表示的联系如下：
图中的总步骤数等于A000203号（n） ，等于SRS中的总面积（或单元数）（n）。
图中的零件数量等于A237271号（n） 等于SRS中的零件数（n）。
双层楼梯的数量（也是图中中央立柱中的台阶数量）等于A067742美元（n） ，等于SRS中中心子部分的数量（n）。
简单楼梯的数量等于二亿八千零九（n） ，等于SRS中等距子部分的总数（n）。
楼梯总数等于A001227号（n） ，等于SRS中的子部分数量（n）。
图中的列数等于2*n-1，等于SRS中的“宽度”数（n）（参见。A249351型).
图中连续部分的步数给出了第n行三角形A237270型，等于SRS中的连续部分（n）。
从左到右连续楼梯中的步数给出了第n行三角形A280851型，等于SRS中从左到右的连续子部分（n）。
该图本质上是三维结构的前视图，其基础是sigma（n）的对称表示，因此a（n”）也是结构中立方单元（或立方体）的总数。
结构中的多立方体数量等于A237271号（n） ，等于SRS中的零件数（n）。
对于某些n值，三维结构类似于“之字形”，这是一种建于古代美索不达米亚的大型结构。
这里描述的几何算法似乎与A280850型两者都允许计算SRS（n）子部分的值。
这两种算法也等效于中描述的等腰三角形的几何变换A237593型当折叠时，它会转换为所述阶梯金字塔结构的垂直面245092英镑.
注意，第2阶段（调试）与公式相对应A196020型（n，k）=A237048型（n，k）*A338721型变换三角形的（n，k）A338721型进入三角形A196020型. -奥马尔·波尔2022年6月23日
链接
n=1..56时的n、a（n）表。
奥马尔·波尔，（1）..的插图。。a（8），3D-Z开关
奥马尔·波尔，a（9）的图解。。a（13），3D-Z开关
奥马尔·波尔，a（14）的图解。。a（15），3D-Z配置
配方奶粉
a（2^（n-1））=n^2=A000290型（n） 。
a（P）=1+P^2，如果P是一个偶数完美数。
a（p）=2*A000217号（（p+1）/2）=A002378号（p+1）/2），如果p是奇数素数。
a（k）=2*A000217号(A000203号（k） /2），如果k是的成员A246955型.
例子
几何算法和初始项的图解（n=1..6）：
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第一阶段第二阶段第三阶段
（施工）（调试）（销毁）
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Ziggurat双轴箱示意图
n图表A196020型图a（n）
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1 1 1
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2 |_ _ _| |_ _ _| |_ _ _| 4
1 1 1
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3 |_ _|_|_ _| |_ _|_|_ _| |_ _|_|_ _| 6
1 2 1 2 1
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4 |_ _ _|_|_ _ _| |_ _ _ _ _ _ _| |_ _ _ _ _ _ _| 16
1 2 1 1
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5|__|__|___|___|___|___|___|___|___|___|___|12
1 2 1 2 1
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6 |_ _ _ _|_|_|_|_ _ _ _| |_ _ _ _ _|_|_ _ _ _ _| |_ _ _ _ _|_|_ _ _ _ _| 37
1 2 3 1 3 1 3
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对于n=7..14，省略了示例。
对于n=15，几何算法说明如下：
第1阶段（施工）：
我们绘制了名为“双楼梯”的图，图中描述了15层A335616飞机.
然后，我们将五个双楼梯（k=1..5）标记为如下所示：
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1 2 3 4 5
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第二阶段（调试）：
我们删除了第四个双楼梯，因为它从底部开始，在图的第1层没有至少一个台阶，如下所示：
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1 2 3 5
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请注意，连续双楼梯中的台阶数为[29、13、7、0、1]，与第15行三角形相同A196020型（其替代总和等于sigma（15））=A000203号(15) = 24).
第三阶段（毁灭）：
我们删除了第二个双楼梯和第一个双楼梯正上方的台阶。
通过此几何算法，获得了一个新的图，在这种情况下，该图有两个双楼梯和两个简单楼梯，如下所示：
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1 3 5
.
这个图表在这里被称为“15之塔”。
现在，我们使用多边形数字计算具有多重性的楼梯下的总面积（或单元总数），如下所示：
标有1的楼梯下方的面积等于A000217号(8) = 36. 有一对楼梯，所以这对楼梯的总面积等于2*36=72。
标有3的双楼梯下面的面积等于A000326号(4) +A000326号(3) = 22 + 12 = 34.
标记为5的双楼梯下方的面积等于A000566号(1) +A000566号(0) = 1 + 0 = 1.
因此总面积为a（15）=72+34+1=107。
与sigma（15）或“SRS（15）”对称表示的联系如下：
步骤总数等于A000203号（15） =24，等于SRS（15）中的总面积（或单元数）。
图中的零件数等于A237271号（15） =3等于SRS中的零件数（15）。
双层楼梯的数量（也是图中中央立柱中的台阶数量）等于A067742号（15） =2，等于SRS中中心子部分的数量（15）。
简单楼梯的数量等于二亿八千零九（15） =2，等于SRS中等距子部分的总数（15）。
楼梯总数等于A001227号（15） =4，等于SRS中的子部分数量（15）。
图中的列数等于2*15-1=29，等于SRS中的“宽度”数（15）（参见。A249351型).
图中连续部分的步数为[8，8，8]，与三角形的第15行相同A237270型，匹配SRS（15）中的后续部件。
从左到右连续楼梯的台阶数分别为[8,7,1,8]，与第15排三角形相同2008年8月51日，与SRS（15）中的连续子部分相匹配。
a（15）=107也是以SRS（15）为基础的三维结构中立方单元的数量。
结构中的多立方体数量等于A237271号（15） =3，等于SRS中的零件数（15）。
15的3D-Z图形的俯视图和带有子部分的sigma（15）的对称表示如下所示：
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36 8
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3D-Zigurat的俯视图。的对称表示
锯齿形结构由3个sigma（15）组成，由3个部分组成。
a（15）=107立方体的多立方体。它有4个亚组，其中24个细胞位于
总计。共有4个楼梯。它是金字塔的底座。
总共有24个步骤。
.
交叉参考
的行总和A347367飞机和，共A347263飞机.
囊性纤维变性。A356351（部分金额）。
囊性纤维变性。A279387型（子部分的定义）。
囊性纤维变性。A000079号,A000203号,A000217号,A000290型,A000326号,A000396号,A001227号,A002378号,A065091号,A067742号,A131576号,A196020型,A235791型,A236104型,A237270型,A237271号,A237591型,A237593型,A245092型,A246955型,A249351型,A262626型,A280850型,A280851型,二亿八千零九,A296508型,A296512型,A296513型,A335616飞机,A338721型,A347273飞机,A347361型,A347529型,A351819型.
关键词
非n
作者
奥马尔·波尔2021年8月21日
状态
经核准的
第页12

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