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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a193815-编号：a193816
显示找到的7个结果中的1-7个。 第页1
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A095121号 （1-x+2x^2）/（（1-x）*（1-2x））的展开。 +10
25
1, 2, 6, 14, 30, 62, 126, 254, 510, 1022, 2046, 4094, 8190, 16382, 32766, 65534, 131070, 262142, 524286, 1048574, 2097150, 4194302, 8388606, 16777214, 33554430, 67108862, 134217726, 268435454, 536870910, 1073741822, 2147483646, 4294967294, 8589934590 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
评论
a（n+1）/2=A000225号（n） ●●●●。二项式变换为A002783号.2-2*0^n+（-1）^n或1,1,3,1,3,1,3，1，…的二项式变换，。。。
来自Peter C.Heinig（algorithms（AT）gmx.de），2007年4月17日：（Start）
n元组的数目，其中每个条目都是从{1,2}的子集中选择的，因此所有n个条目的交集正好包含一个元素。
有以下通用公式：n元组的数字T（n，k，r），其中每个条目都是从{1,2，..，k}的子集中选择的，因此所有n个条目的交集正好包含r个元素：T（n、k、r）=二项式（k，r）*（2^n-1）^（k-r）。这可以通过对基数明显为二项式（k，r）*（2^n-1）^（k-r）的集合进行双射来证明，即所有k-元组的集合，其中每个条目都是从{1，..，n}的子集中按以下方式选择的：精确的r条目必须是{1，..n}本身（有二项式的（k，r）方法选择它们），其余的（k-r）条目必须从{1，..，n}的2^n-1适当子集中选择，即对于每个（k-r）条目，禁止使用{1，..n}（不依赖于完整条目的选择，有（2^n-1）^（k-r。这个集合的双射由（X_1，..，X_n）|->（Y_1，..Y_k）给出，其中对于{1，..，k}中的每个j和{1，..n}中每个i，当且仅当j在X_i中时，i在Y_j中。
示例：a（1）=2，因为长度为1的两个元组是：（{1}）和（{2}）。
a（3）=14，因为长度为3的14个元组是：（{1}，{1}，{1}，{1}），（{2}，{2}，{2}），（{1,2}，{1}，{1}），（{1}，{1,2}，{1}），（{1}，{1}，{1,2}），（{1,2}，{2}，{2}），（{2}，{2}，{1,2}），（{1,2}，{1,2}，{1}），（{1,2}，{1}）}，{1,2}），（{1}，{1,2}，{1,2}），（{1,2}{1,2}{2}），（{1,2}{2}{1,2}），（{2}{1,2}{1,2}），（{2}{1,2}{1,2}）。
注释中描述的双射下的这组元组的图像是：（{1,2,3}，{}），（{}，}1,2,3{），（{1,3}），（{1,2,3}，{2,3}。这里正好有一个条目是{1，..，n}={1,2,3}，另一个是一个适当的子集。（结束）
大象序列，参见A175654号。对于角正方形，只有一个十进制值为170的A[5]向量会导致此序列。对于中心正方形，该向量指向对应序列A151821号. -约翰内斯·梅耶尔2010年8月15日
猜想：a（n）是最小的m>0，这样A007814号(A000108号（m） ）=n，其中A000108号给出了加泰罗尼亚数字和A007814号（x） 是x的2元估值（参见。A048881号). -L.埃德森·杰弗里2015年11月26日
此外，“规则645”定义的二维细胞自动机从角落到第n个生长阶段原点的对角线的十进制表示，基于5细胞von Neumann邻域，在第0阶段用单个黑色（on）细胞初始化-罗伯特·普莱斯，2017年7月19日
参考文献
S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第170页。
链接
文森佐·利班迪，n=0..1000时的n，a（n）表
N.J.A.斯隆，元胞自动机中On单元数的研究，arXiv:1503.01168[math.CO]，2015年。
埃里克·魏斯坦的数学世界，初等细胞自动机
S.Wolfram，一种新的科学
Wolfram研究公司，Wolfram简单程序地图集
与细胞自动机相关的序列的索引项
二维五邻域元胞自动机索引
基本元胞自动机索引
常系数线性递归的索引项，签名（3，-2）。
配方奶粉
G.f.：（1-x+2*x^2）/（（1-x）*（1-2*x））。
a（n）=A000918号（n+1），n>=1。
a（n）=2*2^n-2+0^n；a（n）＝3*a（n-1）-2*a（n-2）。
对于n>1，a（0）=1，a（1）=2，a（n）=2*a（n-1）+2-菲利普·德尔汉姆2006年9月28日
a（n）=和{k=0..n}2^k*A123110型（n，k）-菲利普·德尔汉姆2007年2月9日
对于n>4，a（n）=5*a（n-2）-4*a-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月13日
例如：1+2*exp（x）*（exp（x）-1）-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年2月25日
MAPLE公司
ZL:=[S，{S=Prod（B，B），B=Set（Z，1<=card）}，标记]：seq（combstruct[计数]（ZL，大小=n），n=1..31）#零入侵拉霍斯2007年3月13日
对于k，从1到31做2*（2^k-1）；od；
数学
联接[{1}，线性递归[{3，-2}，{2，6}，50]](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2012年2月24日*）
联接[{1}，嵌套列表[2#+2&，2，40]](*哈维·P·戴尔2013年12月25日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[2+4*2^（n-1）+（二项式（2*n，n）mod 2）：[0..40]]中的n//文森佐·利班迪2015年8月14日
（PARI）Vec（（1-x+2*x^2）/（（1-x）*（1-2*x））+O（x^40））\\米歇尔·马库斯2015年8月14日
（PARI）向量（100，n，n--；如果（n==0，1，2*2^n-2））\\阿尔图·阿尔坎2015年11月26日
交叉参考
囊性纤维变性。A000108号,A000225号,A000918号,A002783号,A007814号,A048881号,A123110型,A127509号,A151821号,A175654号.
的行总和A131108号,A132046号,A153861号、和A193815号.
关键词
容易的,非n
作者
保罗·巴里2004年5月28日
扩展
编辑人N.J.A.斯隆2007年4月25日
状态
经核准的
A153861号 行读取三角形，三角形的二项式变换153860英镑. +10
5
1, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 6, 4, 1, 4, 10, 10, 5, 1, 5, 15, 20, 15, 6, 1, 6, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 7, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 8, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 9, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 10, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
评论
行总和=A095121号: (1, 2, 6, 14, 30, 62, 126,...).
三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，由[1,1，-1,1,0,0,,0,0，…]DELTA[1,0，-1,1,1,00,0,1,0,10,0…]给出，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2009年1月3日
123110英镑*A007318号作为无穷下三角矩阵-菲利普·德尔汉姆2009年1月6日
A153861号是多项式序列p（n，x）=x^n+x^（n-1）+…的融合+x+1和q（n，x）=（x+1）^n；看见A193722号用于定义融合-克拉克·金伯利2011年8月6日
链接
G.C.格雷贝尔，前46行的n、a（n）表
配方奶粉
按行读取三角形，A007318号*153860英镑.删除帕斯卡三角形左边的两列并附加（1、1、2、3、4、5…）。
举例来说，作为递归操作，第3行=（3，6，4，1）=
[1,1,1,0]*（翻转的帕斯卡三角形矩阵）=[1,3,3,1]
[1, 2, 1, 0]
[1, 1, 0, 0]
[1, 0, 0, 0].
（参见中的类似操作A130405型，但在A153861号线性乘数=[1,1,1，…，0]。）
T（n，k）=2*T（n-1，k）+T（n-l，k-1）-T（n-2，k）-T-菲利普·德尔汉姆，2013年12月15日
通用公式：（1-x+x^2+x^2*y）/（（x-1）*（-1+x+x*y））-R.J.马塔尔2015年8月11日
例子
三角形的前几行是：
1;
1, 1;
2, 3, 1;
3, 6, 4, 1;
4, 10, 10, 5, 1;
5, 15, 20, 15, 6, 1;
6, 21, 35, 35, 21, 7, 1;
7, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1;
8, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1;
9, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1;
...
数学
z=10；c=1；d=1；
p[0，x_]：=1
p[n，x_]：=x*p[n-1，x]+1；p[n，0]：=p[n，x]/。x->0；
q[n，x_]：=（c*x+d）^n
t[n_，k_]：=系数[p[n，x]，x^k]；t[n，0]：=p[n，x]/。x->0；
w[n，x_]：=和[t[n，k]*q[n+1-k，x]，{k，0，n}]；w[-1，x_]：=1
g[n_]：=系数列表[w[n，x]，{x}]
TableForm[表格[反向[g[n]]，{n，-1，z}]]
压扁[表格[反向[g[n]]，{n，-1，z}]](*A193815号*)
表格形式[表格[g[n]，{n，-1，z}]]
扁平[表[g[n]，{n，-1，z}]](*A153861号*)
(*克拉克·金伯利2011年8月6日*）
交叉参考
囊性纤维变性。153860英镑,A095121号,A130405型.
这是A137396号没有起始列，也没有符号。
关键词
非n,表
作者
加里·亚当森2009年1月3日
状态
经核准的
A193818号 三角阵列：由P（n，x）=x^n+x^（n-1）+…+给出的多项式序列P和Q的融合x+1和q（n，x）=（2x+1）^n。 +10
三
1, 2, 1, 4, 6, 2, 8, 16, 12, 3, 16, 40, 40, 20, 4, 32, 96, 120, 80, 30, 5, 64, 224, 336, 280, 140, 42, 6, 128, 512, 896, 896, 560, 224, 56, 7, 256, 1152, 2304, 2688, 2016, 1008, 336, 72, 8, 512, 2560, 5760, 7680, 6720, 4032, 1680, 480, 90, 9, 1024, 5632 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
评论
请参见A193722号用于定义两个多项式序列或三角形阵列的融合。
三角形T（n，k），按行读取，由（2,0，-2,2,0,0,00,0,1,0,0，…）DELTA（1,1，-1,1,0,10,0_0,0，..）给出，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2011年10月5日
链接
n，a（n）的表，n=0..56。
配方奶粉
T（n，k）=A193815号（n，k）*2（n-k）。
T（n，k）=2*T（n-1，k）+2*T（n-1，k-1）-2*T-菲利普·德尔汉姆，2013年12月15日
G.f.：（1-x*y+2*x^2*y+x^2*y^2）/（（-1+2*x+x*y）*（x*y-1））-R.J.马塔尔2015年8月11日
例子
前六行：
1;
2, 1;
4, 6, 2;
8, 16, 12, 3;
16, 40, 40, 20, 4;
32, 96, 120, 80, 30, 5;
数学
z=10；c=2；d=1；
p[0，x_]：=1
p[n，x_]：=x*p[n-1，x]+1；p[n，0]：=p[n，x]/。x->0；
q[n，x_]：=（c*x+d）^n
t[n_，k_]：=系数[p[n，x]，x^k]；t[n，0]：=p[n，x]/。x->0；
w[n，x_]：=和[t[n，k]*q[n+1-k，x]，{k，0，n}]；w[-1，x_]：=1
g[n_]：=系数列表[w[n，x]，{x}]
TableForm[表格[反向[g[n]]，{n，-1，z}]]
压扁[表格[反向[g[n]]，{n，-1，z}]](*A193818号*)
表格形式[表格[g[n]，{n，-1，z}]]
扁平[表[g[n]，{n，-1，z}]](*193819年*)
交叉参考
囊性纤维变性。A084938号,A193815号,A193722号,A193819号.
关键词
非n,表
作者
克拉克·金伯利2011年8月6日
状态
经核准的
A233316型 a（n）=n>=0时的分子（二项式（n+2，2）*Bernoulli（n，1）），n<0时为0。 +10
2
0, 0, 1, 3, 1, 0, -1, 0, 2, 0, -3, 0, 5, 0, -691, 0, 140, 0, -10851, 0, 219335, 0, -1222277, 0, 1709026, 0, -1181820455, 0, 538845489, 0, -23749461029, 0, 68926730208040, 0, -84802531453387, 0, 270657225128535, 0, -26315271553053477373, 0, 380899208799402670, 0, -1827579029475143854357 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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-2,4
评论
0，0的分子，后跟A000217号（n）*A164555号（n）/A027642号（n） ●●●●。
（1）（Br0（n）=）之后的第三部分自动序列A164555号/A027642号和（2）Br（n）=A229979型/（c（n）=1,1,1,2,1,6，…=1与交错A006955号或1，后跟A050932号; 多亏了Jean-François Alcover公司). 因此
Br2（n）=0，0，1，3/2，1，0，-1/2，0，2/3，0，-3/2，0,5，0，-691/30。。。，第二个互补伯努利数。
Br2（n）差异表：
0, 0, 1, 3/2, 1, 0, -1/2, ...
0, 1, 1/2, -1/2, -1, -1/2, 1/2, ...
1, -1/2, -1, -1/2, 1/2, 1, 1/6, ...
-3/2, -1/2, 1/2, 1, 1/2, -5/6, -3/2, ...
1, 1, 1/2, -1/2, -4/3, -2/3, 2, ...
0, -1/2, -1, -5/6, 2/3, 8/3, 4/3, ...
-1/2, -1/2, 1/6, 3/2, 2, -4/3, -8, ... .
主对角线是第一条上对角线的两倍。然后，自序列（它的反二项式变换是有符号序列）是第二类。注意，Br0（n）是第二类自序列，Br（n）是第一类自序列。
第一贝努利多项式，即对于B（1）=-1/2，A196838号/A196839号，用0代替空格：
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
-1/2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
1/6, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
0, 1/2, -3/2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, ...
-1/30, 0, 1, -2, 1, 0, 0, 0, 0, ...
0, -1/6, 0, 5/3, -5/2, 1, 0, 0, 0, ...
1/42, 0, -1/2, 0, 5/2, -3, 1, 0, 0, ...
0, 1/6, 0, -7/6, 0, 0, -7/2, 1, 0, ...
-1/30, 0, 2/3, 0, -7/3, 0, 14/3, -4, 10, ... .
第一列：A164555号/A027642号用-1/2代替1/2，A027641号/A027642号.
第二列：A229979型/c（n）带-1而不是1，中的第一列A229979型.
第三列：Br2（n），带-3/2而不是3/2，第一个数组的第一列。
等。
用于Brp（n）的序列。对于p=1，使用Br（n）。
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... =A001477号,
0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ...
0, 0, 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, ... . 请参见A052553号.
对于每个序列A164555号/A027642号从1开始。
（溴（n）、溴（n）、溴2（n）和溴3（n）。。。导致A193815号.)
链接
n，a（n）的表，n=-2..40。
例子
a（2）=1*1=1，
a（3）＝3*1/2＝3/2，
a（4）＝6/6＝1，
a（5）=10*0=0，
a（6）=-15/30=-1/2。
数学
b[-2]=b[-1]=0；b[1]=1/2；b[n_]：=贝努利b[n]；a[n]：=（n+1）*（n+2）/2*b[n]//分子；表[a[n]，{n，-2，40}](*Jean-François Alcover公司2013年12月9日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A190339号（数组）。A000012号对于Br0（n），A000217号对于Br（n）=A229979型/c（n），A000217号对于Br2（n），A000292号对于Br3（n）。
关键词
签名,压裂,表,未经编辑的
作者
保罗·柯茨2013年12月7日
扩展
更正和扩展人Jean-François Alcover公司2013年12月9日
状态
经核准的
A233508型 多项式系数P（0，x）=1，2*P（n）=（1+x）*（（1+x）^（n-1）+x^（n-1））三角形的分子。第一个数组的A133135号. +10
2
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 5, 5, 5, 3, 1, 1, 3, 15, 10, 15, 7, 1, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 4, 1, 1, 4, 14, 28, 35, 28, 14, 9, 1, 1, 9, 18, 42, 63, 63, 42, 18, 5, 1, 1, 5, 45, 60, 105, 126, 105, 60, 45, 11, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,5
评论
通过欧拉多项式发现A060096型（n）/A060097号（n） ●●●●。
分数序列是1，1，1、1/2、3/2、1、1/2，3/2，2，1，1/2，2，3，5/2，1=a（n）/b（n）。伯努利多项式（*）有一个相应的序列。
链接
n，a（n）的表，n=0..65。
配方奶粉
a（n）=减少133138英镑（n）/A007395号.
例子
1,
1, 1,
1, 3, 1,
1, 3, 2, 1,
1, 2, 3, 5, 1,
1,5,5,5,1等。
数学
p[n]：=（1+x）*（（1+x）^（n-1）+x^（n-1））/2；t[n_，k_]：=系数[p[n]，x，k]//分子；表[t[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司，2013年12月16日*）
交叉参考
参考（*）A193815号.
关键词
非n,表,压裂
作者
保罗·柯茨2013年12月11日
状态
经核准的
A233808型 前自动排序A198631号（n）/A006519号（n+1）。分子。 +10
2
0, 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, -3, -3, 121, 121, -1261, -1261, 20583, 20583, -888403, -888403, 24729925, 24729925, -862992399, -862992399, 36913939769, 36913939769, -1899853421885, -1899853421885 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
分数为g（n）=0、0、1、3/2、3/2和5/4、5/4、7/4、7/4、-3/8、121/8、-121/8、-1261/8、-1261/8、20583/8、888403/16、-888403/16。分母是1，1，然后是A053644号（n+1）。
g（n+2）-g（n+1）=A198631号（n）/A006519号（n+1）。
g（n）的相应分数为f（n）inA165142号（n） ●●●●。
g（n）差异表：
0, 0, 1, 3/2, 3/2, 5/4,
0, 1, 1/2, 0, -1/4, 0,
1，-1/2，-1/2，-1/4，1/4，1/2，欧拉双数（新），
-3/2, 0, 1/4, 1/2, 1/4, -1,
3/2, 1/4, 1/4, -1/4, -5/4, -5/8,
-5/4、0、-1/2、-1、5/8、13/2等。
喜欢A198631号（n）/A006519号（n+1），g（n）是第二类自动序列。
如果我们继续，这里是欧拉多项式，如A233565型对于伯努利多项式，我们得到
1)133138英镑（n）/A007395号（n） （未简化形式）或
2)A233508型（n）/A232628型（n） （简化形式），中的第一个数组A133135号.
伯努利对应于1）的分数为A193815号（n）/(A003056号（n） 使用1而不是0）。
链接
n，a（n）的表（n=0..26）。
配方奶粉
a（n）=0，0，后跟（-1）^n*A141424号（n） ●●●●。
数学
最大值=27；p[0]=1；p[n]：=（1+x）*（（1+x）^（n-1）+x^（n-1））/2；t=表[系数[p[n]，x，k]，{n，0，max+2}，{k，0，最大+2}]；a[n_]：=（-1）^n*逆[t][[n，2]]//分子；a[0]=0；表[a[n]，{n，0，max}](*Jean-François Alcover公司2016年1月11日*）
交叉参考
囊性纤维变性。2015年5月16日/A051717号，伯努利孪生数。
关键词
签名,压裂
作者
保罗·柯茨2013年12月16日
状态
经核准的
A233565型 Br（n）之前的自动序列的分子=A229979型（n） /（1后跟A050932号（n） ）。 +10
1
0, 0, 0, 1, 2, 5, 5, 7, 7, 5, 5, 11, 11, 91, 91, -9, -9, 1207, 1207, -10849, -10849, 65879, 65879, -783127, -783127, 61098739, 61098739, -2034290233, -2034290233, 72986324461, 72986324461 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,5
评论
Br（n）=0，1，1，1/2，0，-1/6，0，1/6，0，-3/10，0-，5/6，0-691/210，0。
a（n）是Bp2（n。Bp2（n）是一个类似于Br（n）的自动序列。
利用未来可能的序列，我们可以编写阵列PB
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
1, 3/2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
1, 5/3, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0,
1, 5/3, 5/2, 5/2, 1, 0, 0, 0, 0,
1, 49/30, 5/2, 7/2, 3, 1, 0, 0, 0,
1, 49/30, 7/3, 7/2, 14/3, 7/2, 1, 0, 0,
1, 58/35, 7/3, 3, 14/3, 6, 4, 1, 0,
1、58/35、5/2、3、7/2、6、15/2、9/2、1等。
第一列是A000012号.第二个A165142号（n+1）/（1后跟A100650型（n） ）。第三个是Bp2（n+1）。下一个是用同样的方法建造的。从第二个开始，每个列都基于A164555号（n）/A027642号（n） ●●●●。
对于第（2*n+2）条负对角线，没有0的数组就是三角形NPB。每一行的总和为
1, 0, 1/2, -1/3, 1/3, -11/30, 11/30, -12/35, 12/35, -79/210, 79/210,... .
请参见A176250型（n+2）/A100650型（n） ●●●●。
NPB的倒数为A193815号（n）/(A003056号（n） 使用1而不是0）。
链接
n，a（n）的表，n=0..30。
例子
a（0）=a（1）=0，a（i）=0+Br（0）=0，0+Br（1）=1，1+Br（2）=2，2+Br（3）=5/2，5/2+Br（4）=5/2的分子。
数学
nmax=30；Br[0]=0；Br[1]=Br[2]=1；Br[n_]：=分子[2*n*BernoulliB[n-1]]/分母[n*BernuulliB[n-1]]；Bp2=连接[{0，0}，表[Br[n]，{n，0，nmax-2}]//累加]；a[n_]：=分子[Bp2[[n+1]]；表[a[n]，{n，0，nmax}](*Jean-François Alcover公司2013年12月18日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A233316型.
关键词
签名
作者
保罗·柯茨2013年12月13日
扩展
a（17）-a（30）来自Jean-François Alcover公司2013年12月18日
状态
经核准的
第页1

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