显示找到的27个结果中的1-10个。
G.f.:产品{j>=1}产品{i>=1}(1+x^(i*j))。
+10 57
1, 1, 2, 4, 6, 10, 17, 25, 38, 59, 86, 125, 184, 260, 369, 524, 726, 1005, 1391, 1894, 2576, 3493, 4687, 6272, 8373, 11090, 14647, 19294, 25265, 32991, 42974, 55705, 72025, 92895, 119349, 152965, 195592, 249280, 316991, 402215, 508932, 642598, 809739, 1017850, 1276959, 1599015, 1997943, 2491874, 3102477, 3855165, 4782408, 5922954
评论
另外,将n的整数划分为区间的多集划分数,其中区间是一组相邻元素的所有差等于1的正整数。例如,a(1)=1到a(4)=6多集分区是:
{{1}} {{2}} {{3}} {{4}}
{{1},{1}} {{1,2}} {{1},{3}}
{{1},{2}} {{2},{2}}
{{1},{1},{1}} {{1},{1,2}}
{{1},{1},{2}}
{{1},{1},{1},{1}}
另外,n的整数分区到不同常量块的多集分区数。例如,a(1)=1到a(4)=6多集分区是:
{{1}} {{2}} {{3}} {{4}}
{{1,1}} {{1,1,1}} {{2,2}}
{{1},{2}} {{1},{3}}
{{1},{1,1}} {{1,1,1,1}}
{{2},{1,1}}
{{1},{1,1,1}}
另外,将n个整数分区的多集分区数划分为奇数长度的常量块。例如,a(1)=1到a(4)=6多集分区是:
{{1}} {{2}} {{3}} {{4}}
{{1},{1}} {{1,1,1}} {{1},{3}}
{{1},{2}} {{2},{2}}
{{1},{1},{1}} {{1},{1,1,1}}
{{1},{1},{2}}
{{1},{1},{1},{1}}
(结束)
链接
Lida Ahmadi、Ricardo Gómez Aíza和Mark Daniel Ward,配分函数族的统一处理,arXiv:2303.02240[math.CO],2023年。
配方奶粉
通用公式:A(x)=exp(和{n>=1}σ(n)*x^n/(1-x^(2n))/n)-保罗·D·汉纳2009年3月28日
猜想:log(a(n))~Pi*sqrt(n*log(n)/6)-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月29日
数学
nmax=50;系数列表[系列[乘积[(1+x^(i*j)),{i,1,nmax},{j,1,nmax/i}],{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月4日*)
nmax=50;系数列表[系列[乘积[(1+x^k)^除数Sigma[0,k],{k,1,nmax}],{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年3月23日*)
nmax=50;s=1+x;Do[s*=和[二项式[DivisorSigma[0,k],j]*x^(j*k),{j,0,nmax/k}];s=展开[s];s=取[s,Min[nmax+1,指数[s,x]+1,长度[s]],{k,2,nmax}];取[系数表[s,x],nmax+1](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月28日*)
sps[{}]:={{}};sps[set:{i_,___}]:=联接@@函数[s,前缀[#,s]和/@sps[Complement[set,s]]/@Cases[子集[set],{i,___}];
mps[set_]:=联合[Sort[Sort/@(#/.x_Integer:>set[[x]])]&/@sps[Range[Length[set]]];
chQ[y_]:=长度[y]<=1||并集[差异[y]]=={1};
表[Length[Select[Join@@mps/@Integer Partitions[n],And@@chQ/@#&]],{n,0,5}](*古斯·怀斯曼2022年9月13日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=polceoff(prod(k=1,n,prod(j=1,n\k,1+x^(j*k)+x*O(x^n)),n)/*保罗·D·汉纳*/
(PARI)N=66;x='x+O('x^N);gf=1/prod(j=0,N,eta(x^(2*j+1));gf=产品(j=1,N,(1+x^j)^numdiv(j));Vec(玻璃纤维)/*乔格·阿恩特2008年5月3日*/
(PARI){a(n)=if(n==0,1,polcoeff(exp(sum(m=1,n,sigma(m)*x^m/(1-x^(2*m)+x*O(x^n))/m)),n)}/*保罗·D·汉纳2009年3月28日*/
n的除数d之和,使得n/d是奇数。 (原名M0937 N0351)
+10 54
1, 2, 4, 4, 6, 8, 8, 8, 13, 12, 12, 16, 14, 16, 24, 16, 18, 26, 20, 24, 32, 24, 24, 32, 31, 28, 40, 32, 30, 48, 32, 32, 48, 36, 48, 52, 38, 40, 56, 48, 42, 64, 44, 48, 78, 48, 48, 64, 57, 62, 72, 56, 54, 80, 72, 64, 80, 60, 60, 96, 62, 64, 104, 64, 84, 96, 68, 72, 96, 96, 72
评论
Glaisher将此称为Delta’(n)或Delta’_1(n)-N.J.A.斯隆2018年11月24日
Cayley在第386条的开头写道“为了找到A的值,=8{q/(1-q)^2+q^3/(1-q^3)^2+/c.}”,其中A是这个序列的g.f.的8倍-迈克尔·索莫斯2011年8月1日
a(n)=2*(a(n-1)-a(n-4)+a(n-9)…+-a(n-i^2)…)直到最后一个正数n-i^2,如果n是一个正方形,那么a(0)应该替换为n/2(参见Halphen)-米歇尔·马库斯2012年10月14日
a(n)也是n分成相等部分的奇数部分的总数。
a(n)=n当n是2的幂时。
a(n)=n+1当n是奇素数时。(结束)
参考文献
A.Cayley,《关于椭圆函数的基本论述》,G.Bell and Sons,伦敦,1895年,第294页,第386条。
G.Chrystal,《代数:中学高年级和大学的初级教科书》,第6版,切尔西出版社,1959年,纽约,第二部分,第346页,练习二十一(18)。MR0121327(22#12066)
A.P.Prudnikov,Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev,“积分与级数”,第1卷:“初等函数”,第4章:“有限和”,纽约,Gordon和Breach科学出版社,1986-1992年,等式(5.1.29.3),(5.1.29.9)。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
H.H.Chan和C.Kratethaler,整数表示为平方和的研究进展,arXiv:math/00407061[math.NT],2004年。
配方奶粉
K(K^2)*(K(K*2)-E(K^ 2))/(2*Pi^2)的q次幂展开式,其中q是Jacobi的nome,K(),E()是完全椭圆积分-迈克尔·索莫斯2011年8月1日
如果p=2,则与a(p^e)=p^e相乘;(p^(e+1)-1)/(p-1)如果p>2-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
G.f.:A(x)满足0=f(A(x,A(x^2),A(x ^3),A)(x^6)),其中f(u1,u2,u3,u6)=2*u1*u6-u1-10*u2*u6+u2^2+2*u2*u3+9*u6^2-迈克尔·索莫斯2005年4月10日
G.f.:A(x)满足0=f(A(x,A(x^2),A(x ^3),B(x ^6)),其中f(u1,u2,u3,u6)=(u2-3*u6)^2-(u1-2*u2)*(u3-2*u6-迈克尔·索莫斯2005年9月6日
通用公式:和{n>=1}n*x^n/(1-x^(2*n))-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月16日
通用公式:和{k>0}x^(2*k-1)/(1-x^-迈克尔·索莫斯,2005年8月17日
G.f.:(1/8)*theta_4''(0)/theta_4(0)=(和{k>0}-(-1)^k*k^2q^(k^2))/(Z}(-1)中的和{k*q^。
G.f.:A(q)=Z'(0)*K^2/(2*Pi^2)=(K-E)*K/(2*Pi^2),其中Z(u)是Jacobi Zeta函数,K,E是完全椭圆积分-迈克尔·索莫斯2005年9月6日
Dirichlet g.f.:zeta(s)*zeta(s-1)*(1-1/2^s)-迈克尔·索莫斯2003年4月5日
L.g.f.:求和{k>0}atanh(x^k)=求和{n>0}(a(n)/n)*x^n-本尼迪克特·欧文2016年7月5日
通用公式:A(x)=(1/2)*Sum_{n=-oo..oo}x^(2*n+1)/(1-x^。
A(x)=和{n=-oo..oo}x^(4*n+1)/(1-x^。
a(2*n)=2*a(n);a(2*n+1)=A008438号(n) ●●●●。(结束)
(-1/2)x(d phi(-x)/dx)/phi(-x)的x次幂展开式,其中phi()是Ramanujan theta函数-迈克尔·索莫斯2023年7月1日
例子
G.f.=q+2*q^2+4*q^3+4*q^4+6*q^5+8*q^6+8*q^7+8*q^8+13*q^9+。。。
6的除数是1、2、3和6。只有6/2和6/6是奇数。因此,a(6)=2+6=8。
正如120=15*2^3,其中15是奇数,2^3是2除以120的最大幂,a(120)=σ(15)*2^3=24*8=192-大卫·A·科内斯2019年8月12日
对于n=6,6的等分为[6]、[3,3]、[2,2,2]、[1,1,1,1]。有8个奇数部分,因此a(6)=8-奥马尔·波尔2019年11月26日
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a: =proc(n)局部e;
e: =2^padic:-ordp(n,2);
e*数量理论:-σ(n/e)
结束进程:
数学
a[n_]:=如果[n<1,0,DivisorSum[n,#/GCD[#,2]&]](*迈克尔·索莫斯2011年8月1日*)
a[n_]:=使用[{m=反椭圆NomeQ@q},级数系数[(1/8)椭圆K[m](椭圆K[m]-椭圆E[m])/(Pi/2)^2,{q,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2011年8月1日*)
表[Total[Select[Divisors[n],OddQ[n/#]&]],{n,80}](*哈维·P·戴尔2015年6月5日*)
a[n_]:=级数系数[With[{m=Inverse EllipticNomeQ[q]},(1/2)(Elliptic K[m]/Pi)^2(D[JacobiZeta[Jacobi振幅[x,m],m]、x]/.x->0)],{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2017年3月17日*)
f[2,e_]:=2^e;f[p_,e_]:=(p^(e+1)-1)/(p-1);a[1]=1;a[n_]:=倍@@f@@FactorInteger[n];数组[a,100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月21日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,方向(p=2,n,(1-(p<3)*X)/(1-X)*(1-p*X))[n])}/*迈克尔·索莫斯2003年4月5日*/
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,sumdiv(n,d,d/gcd(d,2)))}/*迈克尔·索莫斯2003年4月5日*/
(PARI)a(n)=我的(v=估价(n,2));西格玛(n>>v)<<v\\大卫·A·科内斯2019年8月12日
(哈斯克尔)
a002131 n=总和[d | d<-[1..n],mod n d==0,奇数$div n d]
(岩浆)[&+[d:d in Divisor(m)|IsOdd(Floor(m/d))]:m in[1..75]]//马吕斯·A·伯蒂2019年8月12日
(Python)
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A002131号(n) :return prod(p**e if p==2 else(p**(e+1)-1)//(p-1)for p,e in factorint(n).items()))#柴华武2021年12月17日
1, 1, 4, 8, 21, 39, 92, 170, 360, 667, 1316, 2393, 4541, 8100, 14824, 26071, 46422, 80314, 139978, 238641, 408201, 686799, 1156062, 1920992, 3189144, 5238848, 8589850, 13963467, 22641585, 36447544, 58507590, 93334008, 148449417, 234829969, 370345918
评论
这也是Symm(n)中排列f,g,h的有序三元组的数量,它们都是上下班的,除以n!。这是由推测得出的富兰克林·T·亚当斯-沃特斯,2006年1月16日,并于2012年由J.R.Britnell证明。
根据“Allan”在博客页面上的一条消息(参见秘密博客研讨会链接),似乎a(n)=Symm(n)中交换有序对的共轭类数。
链接
Lida Ahmadi、Ricardo Gómez Aíza和Mark Daniel Ward,配分函数族的统一处理,arXiv:2303.02240[math.CO],2023年。
塔德·怀特,计算自由阿贝尔作用,arXiv:1304.2830[math.CO],2013年。
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G.f.:产品{k=1..infinity}(1-x^k)^(-sigma(k))。a(n)=1/n*Sum_{k=1..n}a(n-k)*b(k),n>1,a(0)=1,b(k。A001001号.
通用公式:exp(总和{n>=1}σ(n)*x^n/(1-x^n)^2/n)。[保罗·D·汉纳,2009年3月28日]
通用公式:exp(总和{n>=1}σ_2(n)*x^n/(1-x^n)/n)。[弗拉德塔·乔沃维奇,2009年3月28日]
G.f.:prod(n>=1,E(x^n)^n),其中E(x)=prod(k>=1,1-x^k)。[乔格·阿恩特2013年4月12日]
a(n)~exp((3*Pi)^(2/3)*Zeta(3)^)*n^(47/72)),其中a是Glaisher-Kinkelin常数A074962号. -瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年3月23日
例子
1+x+4*x^2+8*x^3+21*x^4+39*x^5+92*x^6+170*x^7+360*x^8+。。。
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带有(数字理论):
a: =proc(n)选项记忆`如果`(n=0,1,添加(add(
d*西格玛(d),d=除数(j))*a(n-j),j=1.n)/n)
结束时间:
数学
nn=30;b=表[DivisorSigma[1,n],{n,nn}];系数列表[系列[产品[1/(1-x^m)^b[[m],{m,nn}],{x,0,nn}],x](*T.D.诺伊2012年6月18日*)
nmax=40;系数列表[系列[产品[1/QPochhammer[x^k]^k,{k,1,nmax}],{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月29日*)
黄体脂酮素
(PARI)N=66;x='x+O('x^N);gf=1/prod(j=1,N,eta(x^j)^j);Vec(玻璃纤维)/*乔格·阿恩特2008年5月3日*/
(PARI){a(n)=如果(n==0,1,polcoeff(exp(总和(m=1,n,σ(m)*x^m/(1-x^m+x*O(x^n))^2/m)),n))}/*保罗·D·汉纳2009年3月28日*/
乘积的展开式_{k>=1}(1+x^k)^phi(k),其中phi()是欧拉总函数(A000010号).
+10 12
1, 1, 1, 3, 4, 8, 11, 19, 30, 44, 69, 103, 157, 229, 341, 491, 722, 1038, 1488, 2128, 3015, 4267, 5989, 8407, 11713, 16289, 22523, 31097, 42729, 58569, 80003, 108957, 147983, 200383, 270693, 364631, 490105, 656961, 878775, 1172653, 1561626, 2074982, 2751648, 3641536, 4810009, 6341365, 8344967
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a(n)~exp(3^(5/3)*Zeta(3)^(1/3)*n^-瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年3月23日
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b: =proc(n,i)选项记忆`如果`(n=0,1,`如果`(i<1,0,添加(
二项式(数值[phi](i),j)*b(n-i*j,i-1),j=0..n/i))
结束时间:
a: =n->b(n$2):
数学
nmax=46;系数列表[系列[产品[(1+x^k)^EulerPhi[k],{k,1,nmax}],{x,0,nmax}],x]
a[n_]:=a[n]=如果[n==0,1,Sum[Sum[(-1)^(k/d+1)d EulerPhi[d],{d,除数[k]}]a[n-k],{k,1,n}]/n];表[a[n],{n,0,46}]
G.f.:产品{i>=1,j>=1}1/(1-x^(i*j))^(i*j)。
+10 11
1, 1, 5, 11, 33, 67, 180, 366, 871, 1782, 3927, 7885, 16637, 32763, 66469, 128938, 253871, 484034, 930959, 1747304, 3292730, 6092664, 11282364, 20596790, 37568653, 67736175, 121886533, 217261372, 386216073, 681119439, 1197524035, 2091091902, 3639519280
链接
Lida Ahmadi、Ricardo Gómez Aíza和Mark Daniel Ward,配分函数族的统一处理,arXiv:2303.02240[math.CO],2023年。
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log(a(n))~(3/2)^(2/3)*Zeta(3)^-瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年8月28日
数学
nmax=50;系数列表[系列[乘积[1/(1-x^(i*j))^(i*j),{i,1,nmax},{j,1,nmax}],{x,0,nmax}],x]
nmax=50;s=1-x;Do[s*=和[二项式[k*除数Sigma[0,k],j]*(-1)^j*x^(j*k),{j,0,nmax/k}];s=展开[s];s=取[s,Min[nmax+1,指数[s,x]+1,长度[s]],{k,2,nmax}];系数列表[系列[1/s,{x,0,nmax}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月27日*)
G.f.:产品{i>=1,j>=1}(1+x^(i*j))^(i*j)。
+10 11
1, 1, 4, 10, 24, 52, 125, 253, 549, 1126, 2290, 4525, 8987, 17259, 33174, 62669, 117425, 217295, 399904, 726984, 1314257, 2354807, 4191671, 7405590, 13009916, 22696115, 39384232, 67937488, 116584833, 199001304, 338076500, 571507377, 961855945, 1611567819
链接
Lida Ahmadi、Ricardo Gómez Aíza和Mark Daniel Ward,配分函数族的统一处理,arXiv:2303.02240[math.CO],2023年。
配方奶粉
推测:log(a(n))~3*Zeta(3)^(1/3)*log(n)^(1/3)*n^(2/3)/2^(4/3)-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月29日
数学
nmax=50;系数列表[系列[乘积[(1+x^(i*j))^(i*j),{i,1,nmax},{j,1,nmax}],{x,0,nmax{],x]
nmax=50;s=1+x;Do[s*=和[二项式[k*DivisorSigma[0,k],j]*x^(j*k),{j,0,nmax/k}];s=展开[s];s=取[s,Min[nmax+1,指数[s,x]+1,长度[s]],{k,2,nmax}];系数列表[s,x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月27日*)
产品扩展{k>=1}(1+x^k)^(sigma_2(k))。
+10 11
1, 1, 5, 15, 41, 107, 286, 700, 1735, 4162, 9803, 22673, 51822, 116376, 258548, 567197, 1230763, 2642958, 5622616, 11850537, 24769248, 51353095, 105662389, 215838649, 437890022, 882562763, 1767741732, 3519599996, 6967592060, 13717874719, 26865949075
配方奶粉
a(0)=1,a(n)=(1/n)*和{k=1..n}A288419型(k) *a(n-k),对于n>0。
a(n)~exp(2^(5/4)*(7*Zeta(3))^(1/4)*Pi*n^(3/4)/^(5/8))-瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年3月23日
G.f.:产品{i>=1,j>=1}(1+x^(i*j))^(j^2)-伊利亚·古特科夫斯基2018年8月26日
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使用(数字理论):seq(系数(系列(mul((1+x^k)^(sigma[2](k)),k=1..n),x,n+1),x、n),n=0。。30); #穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月31日
数学
nmax=40;系数列表[系列[乘积[(1+x^k)^除数Sigma[2,k],{k,1,nmax}],{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年6月9日*)
黄体脂酮素
(PARI)m=40;x='x+O('x^m);Vec(prod(k=1,m,(1+x^k)^sigma(k,2))\\G.C.格鲁贝尔2018年10月30日
(岩浆)m:=40;R<q>:=PowerSeriesRing(基本原理(),m);系数(R!((&*[(1+q^k)^除数Sigma(2,k):[1..m]]中的k))//G.C.格鲁贝尔2018年10月30日
产品扩展{k>=1}((1+x^k)/(1-x^k))^(sigma(k))。
+10 11
1, 2, 8, 22, 62, 154, 392, 914, 2136, 4776, 10544, 22626, 47982, 99538, 204100, 411714, 821130, 1616170, 3148812, 6066338, 11579954, 21893214, 41045780, 76306030, 140783060, 257789064, 468783092, 846697340, 1519599658, 2710476106, 4806507720, 8475250510
配方奶粉
a(n)~exp((3*Pi)^(2/3)*(7*Zeta(3))^(2^(13/18)*3^(47/72)*Pi^(11/72)*n^(47/72)),其中a是Glaisher-Kinkelin常数A074962号.
G.f.:产品{i>=1,j>=1}((1+x^(i*j))/(1-x^-伊利亚·古特科夫斯基2018年8月29日
数学
nmax=50;系数列表[系列[产品[((1+x^k)/(1-x^k))^DivisiorSigma[1,k],{k,1,nmax}],{x,0,nmax}],x]
产品扩展{k>=1}(1+x^k)^(sigma_3(k))。
+10 10
1, 1, 9, 37, 137, 487, 1749, 5901, 19695, 63832, 202905, 632689, 1941394, 5860868, 17448558, 51255292, 148726841, 426605755, 1210569740, 3400427281, 9460683203, 26083933370, 71300381025, 193313191005, 520057831035, 1388722752205, 3682100198763
配方奶粉
a(0)=1,a(n)=(1/n)*和{k=1..n}A288420型(k) *a(n-k),对于n>0。
a(n)~exp(5*Pi^(4/5)*Zeta(5)^(1/5)*n^(5/5)/2^-瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年3月23日
G.f.:产品{i>=1,j>=1}(1+x^(i*j))^(j^3)-伊利亚·古特科夫斯基2018年8月26日
MAPLE公司
使用(数字理论):seq(系数(系列(mul((1+x^k)^(sigma[3](k)),k=1..n),x,n+1),x、n),n=0。。30); #穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月31日
数学
nmax=40;系数列表[系列[乘积[(1+x^k)^除数Sigma[3,k],{k,1,nmax}],{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年6月9日*)
黄体脂酮素
(PARI)m=40;x='x+O('x^m);Vec(prod(k=1,m,(1+x^k)^sigma(k,3))\\G.C.格鲁贝尔2018年10月30日
(岩浆)m:=40;R<q>:=PowerSeriesRing(基本原理(),m);系数(R!((&*[(1+q^k)^除数Sigma(3,k):[1..m]]中的k))//G.C.格鲁贝尔2018年10月30日
例如:exp(总和{n>=1}σ(n)*x^n)。
+10 8
1, 1, 7, 43, 409, 3841, 50431, 648187, 10347793, 170363809, 3200390551, 62855417131, 1371594161257, 31147757782753, 768384638386639, 19814802390611131, 545309251861956001, 15661899520801953217, 475833949719419469223, 15042718034104688144299
评论
序列项的形式为6*m+1。
模数为10的序列似乎具有周期5。更一般地,我们推测对于k=2,3,4,。。。序列a(n+k)-a(n)可被k整除:如果为真,那么对于每个k,取模k的序列a(n)将是周期的,精确的周期除以k
上述推测是正确的。请参阅Bala链接。
a(7*n+2)==0(mod 7);a(11*n+9)==0(11模);a(13*n+11)==0(mod 13)。(结束)
配方奶粉
a(0)=1和a(n)=(n-1)!*和{k=1..n}k*A000203号(k) *a(n-k)/(n-k)!对于n>0。
例如:产品{k>=1}exp(k*x^k/(1-x^k))-伊利亚·古特科夫斯基2017年11月27日
a(n)~Pi^(1/3)*exp((3*Pi)^(2/3)*n^(2/3)/2-3^(1/3)*n ^(1/3)/(2*Pi^-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年9月4日
数学
nmax=20;系数列表[Series[Exp[Sum[DivisorSigma[1,k]*x^k,{k,1,nmax}]],{x,0,nmax{],x]*Range[0,nmax]!(*瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年9月4日*)
黄体脂酮素
(PARI)N=66;x='x+O('x^N);Vec(serlaplace(exp(sum(k=1,N,sigma(k)*x^k)))
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