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搜索: a192065-编号:a192066
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
G.f.:产品{j>=1}产品{i>=1}(1+x^(i*j))。
+10
57
1, 1, 2, 4, 6, 10, 17, 25, 38, 59, 86, 125, 184, 260, 369, 524, 726, 1005, 1391, 1894, 2576, 3493, 4687, 6272, 8373, 11090, 14647, 19294, 25265, 32991, 42974, 55705, 72025, 92895, 119349, 152965, 195592, 249280, 316991, 402215, 508932, 642598, 809739, 1017850, 1276959, 1599015, 1997943, 2491874, 3102477, 3855165, 4782408, 5922954
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0,3
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发件人古斯·怀斯曼2022年9月13日:(开始)
另外,将n的整数划分为区间的多集划分数,其中区间是一组相邻元素的所有差等于1的正整数。例如,a(1)=1到a(4)=6多集分区是:
{{1}} {{2}} {{3}} {{4}}
{{1},{1}} {{1,2}} {{1},{3}}
{{1},{2}} {{2},{2}}
{{1},{1},{1}} {{1},{1,2}}
{{1},{1},{2}}
{{1},{1},{1},{1}}
间隔按A001227号,排名依据A073485型.
初始版本为A007294号.
严格的版本是A327731型.
无间隙多集而不是间隔的版本是A356941型.
严格分区的情况是A356957型.
另外,n的整数分区到不同常量块的多集分区数。例如,a(1)=1到a(4)=6多集分区是:
{{1}} {{2}} {{3}} {{4}}
{{1,1}} {{1,1,1}} {{2,2}}
{{1},{2}} {{1},{3}}
{{1},{1,1}} {{1,1,1,1}}
{{2},{1,1}}
{{1},{1,1,1}}
常量多集的计数方式为A000005号,排名依据A000961号.
非严格版本是A006171号.
未标记的版本为A089259号.
非恒定块版本为A261049型.
两部分的版本是1979年6月,因子分解A296131型.
另外,将n个整数分区的多集分区数划分为奇数长度的常量块。例如,a(1)=1到a(4)=6多集分区是:
{{1}} {{2}} {{3}} {{4}}
{{1},{1}} {{1,1,1}} {{1},{3}}
{{1},{2}} {{2},{2}}
{{1},{1},{1}} {{1},{1,1,1}}
{{1},{1},{2}}
{{1},{1},{1},{1}}
严格的版本是A327731型(同时)。
(结束)
链接
瓦茨拉夫·科特索维奇,n=0..10000时的n,a(n)表
Lida Ahmadi、Ricardo Gómez Aíza和Mark Daniel Ward,配分函数族的统一处理,arXiv:2303.02240[math.CO],2023年。
N.J.A.斯隆,变换
配方奶粉
欧拉变换A001227号.
的加权变换A000005号.
G.f.满足:log(A(x))=Sum_{n>=1}A109386号(n) /n*x^n,其中A109386号(n) =求和{d|n}d*求和{m|d}(m mod 2)-保罗·D·汉纳2005年6月26日
通用公式:A(x)=exp(和{n>=1}σ(n)*x^n/(1-x^(2n))/n)-保罗·D·汉纳2009年3月28日
G.f.:产品{n>=1}Q(x^n)其中Q(x)是的G.fA000009号. -乔格·阿恩特,2014年2月27日
a(0)=1,a(n)=(1/n)*和{k=1..n}A109386号(k) *a(n-k),对于n>0-Seiichi Manyama先生2017年6月4日
猜想:log(a(n))~Pi*sqrt(n*log(n)/6)-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月29日
数学
nmax=50;系数列表[系列[乘积[(1+x^(i*j)),{i,1,nmax},{j,1,nmax/i}],{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月4日*)
nmax=50;系数列表[系列[乘积[(1+x^k)^除数Sigma[0,k],{k,1,nmax}],{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年3月23日*)
nmax=50;s=1+x;Do[s*=和[二项式[DivisorSigma[0,k],j]*x^(j*k),{j,0,nmax/k}];s=展开[s];s=取[s,Min[nmax+1,指数[s,x]+1,长度[s]],{k,2,nmax}];取[系数表[s,x],nmax+1](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月28日*)
sps[{}]:={{}};sps[set:{i_,___}]:=联接@@函数[s,前缀[#,s]和/@sps[Complement[set,s]]/@Cases[子集[set],{i,___}];
mps[set_]:=联合[Sort[Sort/@(#/.x_Integer:>set[[x]])]&/@sps[Range[Length[set]]];
chQ[y_]:=长度[y]<=1||并集[差异[y]]=={1};
表[Length[Select[Join@@mps/@Integer Partitions[n],And@@chQ/@#&]],{n,0,5}](*古斯·怀斯曼2022年9月13日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=polceoff(prod(k=1,n,prod(j=1,n\k,1+x^(j*k)+x*O(x^n)),n)/*保罗·D·汉纳*/
(PARI)N=66;x='x+O('x^N);gf=1/prod(j=0,N,eta(x^(2*j+1));gf=产品(j=1,N,(1+x^j)^numdiv(j));Vec(玻璃纤维)/*乔格·阿恩特2008年5月3日*/
(PARI){a(n)=if(n==0,1,polcoeff(exp(sum(m=1,n,sigma(m)*x^m/(1-x^(2*m)+x*O(x^n))/m)),n)}/*保罗·D·汉纳2009年3月28日*/
交叉参考
产品{k>=1}(1+x^k)^sigma_m(k):此序列(m=0),A192065型(m=1),A288414型(m=2),288年(m=3)时,A301548型(m=4),A301549型(m=5),A301550型(m=6),A301551型(m=7),A301552型(m=8)。
A000041号计数整数分区,严格A000009号.
A000110号counts设置分区。
A072233号按总和和长度计算分区数。
关键字
容易的,非n
作者
扩展
更多术语来自保罗·D·汉纳2005年6月26日
状态
经核准的
n的除数d之和,使得n/d是奇数。
(原名M0937 N0351)
+10
54
1, 2, 4, 4, 6, 8, 8, 8, 13, 12, 12, 16, 14, 16, 24, 16, 18, 26, 20, 24, 32, 24, 24, 32, 31, 28, 40, 32, 30, 48, 32, 32, 48, 36, 48, 52, 38, 40, 56, 48, 42, 64, 44, 48, 78, 48, 48, 64, 57, 62, 72, 56, 54, 80, 72, 64, 80, 60, 60, 96, 62, 64, 104, 64, 84, 96, 68, 72, 96, 96, 72
抵消
1,2
评论
Glaisher将此称为Delta’(n)或Delta’_1(n)-N.J.A.斯隆2018年11月24日
等于三角形的行和A143119号. -加里·亚当森2008年7月26日
Cayley在第386条的开头写道“为了找到A的值,=8{q/(1-q)^2+q^3/(1-q^3)^2+/c.}”,其中A是这个序列的g.f.的8倍-迈克尔·索莫斯2011年8月1日
a(n)=2*(a(n-1)-a(n-4)+a(n-9)…+-a(n-i^2)…)直到最后一个正数n-i^2,如果n是一个正方形,那么a(0)应该替换为n/2(参见Halphen)-米歇尔·马库斯2012年10月14日
发件人奥马尔·波尔2019年11月26日:(开始)
a(n)也是n分成相等部分的奇数部分的总数。
a(n)=n当n是2的幂时。
a(n)=n+1当n是奇素数时。(结束)
参考文献
A.Cayley,《关于椭圆函数的基本论述》,G.Bell and Sons,伦敦,1895年,第294页,第386条。
G.Chrystal,《代数:中学高年级和大学的初级教科书》,第6版,切尔西出版社,1959年,纽约,第二部分,第346页,练习二十一(18)。MR0121327(22#12066)
A.P.Prudnikov,Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev,“积分与级数”,第1卷:“初等函数”,第4章:“有限和”,纽约,Gordon和Breach科学出版社,1986-1992年,等式(5.1.29.3),(5.1.29.9)。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
H.H.Chan和C.Kratethaler,整数表示为平方和的研究进展,arXiv:math/00407061[math.NT],2004年。
J.W.L.Glaisher,关于数字表示为2、4、6、8、10和12平方和的问题,夸脱。数学杂志。38(1907),1-62(见第4页和第8页)。
G.-H.哈尔芬,Sur les sommes des diviseurs des nombres entiers et les décompositions en deux carrés双人舞组合,公牛。数学。法国南部,6(1877-1878),119-120。
P.A.MacMahon,分划理论中的数字除数及其延续,程序。伦敦数学。《社会学杂志》,19(1921),75-113。
配方奶粉
K(K^2)*(K(K*2)-E(K^ 2))/(2*Pi^2)的q次幂展开式,其中q是Jacobi的nome,K(),E()是完全椭圆积分-迈克尔·索莫斯2011年8月1日
如果p=2,则与a(p^e)=p^e相乘;(p^(e+1)-1)/(p-1)如果p>2-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
a(n)=西格玛(n)-西格玛(n/2),对于偶数n和=西格玛(n),否则其中西格玛(n)是n的除数之和(A000203号). -瓦莱里·利斯科维茨2002年4月7日
G.f.:A(x)满足0=f(A(x,A(x^2),A(x ^3),A)(x^6)),其中f(u1,u2,u3,u6)=2*u1*u6-u1-10*u2*u6+u2^2+2*u2*u3+9*u6^2-迈克尔·索莫斯2005年4月10日
G.f.:A(x)满足0=f(A(x,A(x^2),A(x ^3),B(x ^6)),其中f(u1,u2,u3,u6)=(u2-3*u6)^2-(u1-2*u2)*(u3-2*u6-迈克尔·索莫斯2005年9月6日
通用公式:和{n>=1}n*x^n/(1-x^(2*n))-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月16日
通用公式:和{k>0}x^(2*k-1)/(1-x^-迈克尔·索莫斯,2005年8月17日
G.f.:(1/8)*theta_4''(0)/theta_4(0)=(和{k>0}-(-1)^k*k^2q^(k^2))/(Z}(-1)中的和{k*q^。
G.f.:A(q)=Z'(0)*K^2/(2*Pi^2)=(K-E)*K/(2*Pi^2),其中Z(u)是Jacobi Zeta函数,K,E是完全椭圆积分-迈克尔·索莫斯2005年9月6日
Dirichlet g.f.:zeta(s)*zeta(s-1)*(1-1/2^s)-迈克尔·索莫斯2003年4月5日
莫比乌斯变换是A026741号.
a(n)=n*Sum_{c|n}1/c,其中c是奇数(A005408号)划分n.a(n)=A069359号(n) +编号a(n)=A000035号(n) (*)A000027号(n) ,其中操作(*)表示Dirichlet卷积,即类型为:a(n)=Sum_{d|n}b(d)*c(n/d)=Sum _{d*n}的卷积A000035号(d)*A000027号(n/d)-雅罗斯拉夫·克里泽克2013年11月7日
L.g.f.:求和{k>0}atanh(x^k)=求和{n>0}(a(n)/n)*x^n-本尼迪克特·欧文2016年7月5日
a(n)=A006519号(n)*A000203号(n)/A006519号(n) )-罗伯特·伊斯雷尔2016年7月5日
求和{k=1..n}a(k)~Pi^2*n^2/16-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年2月1日
a(n)=(A000203号(n)+A000593号(n) )/2-阿米拉姆·埃尔达尔2019年8月12日
发件人彼得·巴拉,2021年1月6日:(开始)
通用公式:A(x)=(1/2)*Sum_{n=-oo..oo}x^(2*n+1)/(1-x^。
A(x)=和{n=-oo..oo}x^(4*n+1)/(1-x^。
a(2*n)=2*a(n);a(2*n+1)=A008438号(n) ●●●●。(结束)
(-1/2)x(d phi(-x)/dx)/phi(-x)的x次幂展开式,其中phi()是Ramanujan theta函数-迈克尔·索莫斯2023年7月1日
例子
G.f.=q+2*q^2+4*q^3+4*q^4+6*q^5+8*q^6+8*q^7+8*q^8+13*q^9+。。。
6的除数是1、2、3和6。只有6/2和6/6是奇数。因此,a(6)=2+6=8。
正如120=15*2^3,其中15是奇数,2^3是2除以120的最大幂,a(120)=σ(15)*2^3=24*8=192-大卫·A·科内斯2019年8月12日
对于n=6,6的等分为[6]、[3,3]、[2,2,2]、[1,1,1,1]。有8个奇数部分,因此a(6)=8-奥马尔·波尔2019年11月26日
MAPLE公司
a: =proc(n)局部e;
e: =2^padic:-ordp(n,2);
e*数量理论:-σ(n/e)
结束进程:
地图(a,[1..100]美元)#罗伯特·伊斯雷尔2016年7月5日
数学
a[n_]:=总[Cases[Divisors[n],d_/;奇数Q[n/d]];表[a[n],{n,1,71}](*Jean-François Alcover公司2011年3月18日*)
a[n_]:=如果[n<1,0,DivisorSum[n,#/GCD[#,2]&]](*迈克尔·索莫斯2011年8月1日*)
a[n_]:=使用[{m=反椭圆NomeQ@q},级数系数[(1/8)椭圆K[m](椭圆K[m]-椭圆E[m])/(Pi/2)^2,{q,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2011年8月1日*)
表[Total[Select[Divisors[n],OddQ[n/#]&]],{n,80}](*哈维·P·戴尔2015年6月5日*)
a[n_]:=级数系数[With[{m=Inverse EllipticNomeQ[q]},(1/2)(Elliptic K[m]/Pi)^2(D[JacobiZeta[Jacobi振幅[x,m],m]、x]/.x->0)],{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2017年3月17日*)
f[2,e_]:=2^e;f[p_,e_]:=(p^(e+1)-1)/(p-1);a[1]=1;a[n_]:=倍@@f@@FactorInteger[n];数组[a,100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月21日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,方向(p=2,n,(1-(p<3)*X)/(1-X)*(1-p*X))[n])}/*迈克尔·索莫斯2003年4月5日*/
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,sumdiv(n,d,d/gcd(d,2)))}/*迈克尔·索莫斯2003年4月5日*/
(PARI)a(n)=我的(v=估价(n,2));西格玛(n>>v)<<v\\大卫·A·科内斯2019年8月12日
(哈斯克尔)
a002131 n=总和[d | d<-[1..n],mod n d==0,奇数$div n d]
--莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月14日
(岩浆)[&+[d:d in Divisor(m)|IsOdd(Floor(m/d))]:m in[1..75]]//马吕斯·A·伯蒂2019年8月12日
(Python)
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A002131号(n) :return prod(p**e if p==2 else(p**(e+1)-1)//(p-1)for p,e in factorint(n).items()))#柴华武2021年12月17日
交叉参考
关键字
非n,美好的,容易的,多重
状态
经核准的
sigma(n)的欧拉变换,参见。A000203号.
+10
46
1, 1, 4, 8, 21, 39, 92, 170, 360, 667, 1316, 2393, 4541, 8100, 14824, 26071, 46422, 80314, 139978, 238641, 408201, 686799, 1156062, 1920992, 3189144, 5238848, 8589850, 13963467, 22641585, 36447544, 58507590, 93334008, 148449417, 234829969, 370345918
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0,3
评论
这也是Symm(n)中排列f,g,h的有序三元组的数量,它们都是上下班的,除以n!。这是由推测得出的富兰克林·T·亚当斯-沃特斯,2006年1月16日,并于2012年由J.R.Britnell证明。
根据“Allan”在博客页面上的一条消息(参见秘密博客研讨会链接),似乎a(n)=Symm(n)中交换有序对的共轭类数。
约翰·麦凯(电子邮件至N.J.A.斯隆(2013年4月23日)观察到A061256号A006908号出现了数量惊人的术语,并要求解释-N.J.A.斯隆2013年5月19日
链接
Seiichi Manyama,n=0..10000时的n,a(n)表(术语0..1000来自T.D.Noe)
Lida Ahmadi、Ricardo Gómez Aíza和Mark Daniel Ward,配分函数族的统一处理,arXiv:2303.02240[math.CO],2023年。
J.R.Britnell,涉及置换交换三元组的形式恒等式,arXiv:1203.5079[math.CO],2012年。
J.R.Britnell,涉及置换交换三元组的形式恒等式2012年预印本-N.J.A.斯隆2012年6月13日
J.R.Britnell,涉及置换交换三元组的形式恒等式《组合理论杂志》,A辑,第120卷,第4期,2013年5月。
E.Marberg,如何计算有限Coxeter系统单幂特征的Frobenius-Schur指示符,arXiv预印本arXiv:1202.1311[math.RT],2012-N.J.A.斯隆2012年6月10日
秘密博客研讨会,一种特殊的数值巧合.
N.J.A.斯隆,变换
塔德·怀特,计算自由阿贝尔作用,arXiv:1304.2830[math.CO],2013年。
配方奶粉
a(n)=A072169号(n) /n!。
G.f.:产品{k=1..infinity}(1-x^k)^(-sigma(k))。a(n)=1/n*Sum_{k=1..n}a(n-k)*b(k),n>1,a(0)=1,b(k。A001001号.
通用公式:exp(总和{n>=1}σ(n)*x^n/(1-x^n)^2/n)。[保罗·D·汉纳,2009年3月28日]
通用公式:exp(总和{n>=1}σ_2(n)*x^n/(1-x^n)/n)。[弗拉德塔·乔沃维奇,2009年3月28日]
G.f.:prod(n>=1,E(x^n)^n),其中E(x)=prod(k>=1,1-x^k)。[乔格·阿恩特2013年4月12日]
a(n)~exp((3*Pi)^(2/3)*Zeta(3)^)*n^(47/72)),其中a是Glaisher-Kinkelin常数A074962号. -瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年3月23日
例子
1+x+4*x^2+8*x^3+21*x^4+39*x^5+92*x^6+170*x^7+360*x^8+。。。
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带有(数字理论):
a: =proc(n)选项记忆`如果`(n=0,1,添加(add(
d*西格玛(d),d=除数(j))*a(n-j),j=1.n)/n)
结束时间:
seq(a(n),n=0..40)#阿洛伊斯·海因茨2017年6月8日
数学
nn=30;b=表[DivisorSigma[1,n],{n,nn}];系数列表[系列[产品[1/(1-x^m)^b[[m],{m,nn}],{x,0,nn}],x](*T.D.诺伊2012年6月18日*)
nmax=40;系数列表[系列[产品[1/QPochhammer[x^k]^k,{k,1,nmax}],{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月29日*)
黄体脂酮素
(PARI)N=66;x='x+O('x^N);gf=1/prod(j=1,N,eta(x^j)^j);Vec(玻璃纤维)/*乔格·阿恩特2008年5月3日*/
(PARI){a(n)=如果(n==0,1,polcoeff(exp(总和(m=1,n,σ(m)*x^m/(1-x^m+x*O(x^n))^2/m)),n))}/*保罗·D·汉纳2009年3月28日*/
交叉参考
产品{k>=1}1/(1-x^k)^sigma_m(k):A006171号(m=0),该序列(m=1),A275585型(m=2),A288391型(m=3)时,A301542型(m=4),A301543型(m=5),A301544型(m=6),A301545型(m=7),A301546型(m=8),A301547型(m=9)。
关键字
容易的,非n
作者
扩展
条目修订人N.J.A.斯隆2012年6月13日
状态
经核准的
乘积的展开式_{k>=1}(1+x^k)^phi(k),其中phi()是欧拉总函数(A000010号).
+10
12
1, 1, 1, 3, 4, 8, 11, 19, 30, 44, 69, 103, 157, 229, 341, 491, 722, 1038, 1488, 2128, 3015, 4267, 5989, 8407, 11713, 16289, 22523, 31097, 42729, 58569, 80003, 108957, 147983, 200383, 270693, 364631, 490105, 656961, 878775, 1172653, 1561626, 2074982, 2751648, 3641536, 4810009, 6341365, 8344967
抵消
0,4
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..5000时的n、a(n)表
N.J.A.斯隆,变换
配方奶粉
G.f.:产品{k>=1}(1+x^k)^A000010号(k) ●●●●。
a(n)~exp(3^(5/3)*Zeta(3)^(1/3)*n^-瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年3月23日
MAPLE公司
b: =proc(n,i)选项记忆`如果`(n=0,1,`如果`(i<1,0,添加(
二项式(数值[phi](i),j)*b(n-i*j,i-1),j=0..n/i))
结束时间:
a: =n->b(n$2):
seq(a(n),n=0..50)#阿洛伊斯·海因茨2018年3月9日
数学
nmax=46;系数列表[系列[产品[(1+x^k)^EulerPhi[k],{k,1,nmax}],{x,0,nmax}],x]
a[n_]:=a[n]=如果[n==0,1,Sum[Sum[(-1)^(k/d+1)d EulerPhi[d],{d,除数[k]}]a[n-k],{k,1,n}]/n];表[a[n],{n,0,46}]
交叉参考
关键字
非n
作者
状态
经核准的
G.f.:产品{i>=1,j>=1}1/(1-x^(i*j))^(i*j)。
+10
11
1, 1, 5, 11, 33, 67, 180, 366, 871, 1782, 3927, 7885, 16637, 32763, 66469, 128938, 253871, 484034, 930959, 1747304, 3292730, 6092664, 11282364, 20596790, 37568653, 67736175, 121886533, 217261372, 386216073, 681119439, 1197524035, 2091091902, 3639519280
抵消
0,3
链接
瓦茨拉夫·科特索维奇,n=0..10000时的n,a(n)表
Lida Ahmadi、Ricardo Gómez Aíza和Mark Daniel Ward,配分函数族的统一处理,arXiv:2303.02240[math.CO],2023年。
配方奶粉
G.f.:乘积{k>=1}1/(1-x^k)^(k*d(k)),其中d(k)=k的除数(A000005号). -伊利亚·古特科夫斯基2018年8月26日
log(a(n))~(3/2)^(2/3)*Zeta(3)^-瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年8月28日
数学
nmax=50;系数列表[系列[乘积[1/(1-x^(i*j))^(i*j),{i,1,nmax},{j,1,nmax}],{x,0,nmax}],x]
nmax=50;s=1-x;Do[s*=和[二项式[k*除数Sigma[0,k],j]*(-1)^j*x^(j*k),{j,0,nmax/k}];s=展开[s];s=取[s,Min[nmax+1,指数[s,x]+1,长度[s]],{k,2,nmax}];系数列表[系列[1/s,{x,0,nmax}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月27日*)
关键字
非n
作者
状态
经核准的
G.f.:产品{i>=1,j>=1}(1+x^(i*j))^(i*j)。
+10
11
1, 1, 4, 10, 24, 52, 125, 253, 549, 1126, 2290, 4525, 8987, 17259, 33174, 62669, 117425, 217295, 399904, 726984, 1314257, 2354807, 4191671, 7405590, 13009916, 22696115, 39384232, 67937488, 116584833, 199001304, 338076500, 571507377, 961855945, 1611567819
抵消
0,3
链接
瓦茨拉夫·科特索维奇,n=0..10000时的n,a(n)表
Lida Ahmadi、Ricardo Gómez Aíza和Mark Daniel Ward,配分函数族的统一处理,arXiv:2303.02240[math.CO],2023年。
配方奶粉
G.f.:乘积{k>=1}(1+x^k)^(k*d(k)),其中d(k)=k的除数(A000005号). -伊利亚·古特科夫斯基,2018年8月26日
推测:log(a(n))~3*Zeta(3)^(1/3)*log(n)^(1/3)*n^(2/3)/2^(4/3)-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月29日
数学
nmax=50;系数列表[系列[乘积[(1+x^(i*j))^(i*j),{i,1,nmax},{j,1,nmax}],{x,0,nmax{],x]
nmax=50;s=1+x;Do[s*=和[二项式[k*DivisorSigma[0,k],j]*x^(j*k),{j,0,nmax/k}];s=展开[s];s=取[s,Min[nmax+1,指数[s,x]+1,长度[s]],{k,2,nmax}];系数列表[s,x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月27日*)
关键字
非n
作者
状态
经核准的
产品扩展{k>=1}(1+x^k)^(sigma_2(k))。
+10
11
1, 1, 5, 15, 41, 107, 286, 700, 1735, 4162, 9803, 22673, 51822, 116376, 258548, 567197, 1230763, 2642958, 5622616, 11850537, 24769248, 51353095, 105662389, 215838649, 437890022, 882562763, 1767741732, 3519599996, 6967592060, 13717874719, 26865949075
抵消
0,3
链接
配方奶粉
a(0)=1,a(n)=(1/n)*和{k=1..n}A288419型(k) *a(n-k),对于n>0。
a(n)~exp(2^(5/4)*(7*Zeta(3))^(1/4)*Pi*n^(3/4)/^(5/8))-瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年3月23日
G.f.:产品{i>=1,j>=1}(1+x^(i*j))^(j^2)-伊利亚·古特科夫斯基2018年8月26日
MAPLE公司
使用(数字理论):seq(系数(系列(mul((1+x^k)^(sigma[2](k)),k=1..n),x,n+1),x、n),n=0。。30); #穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月31日
数学
nmax=40;系数列表[系列[乘积[(1+x^k)^除数Sigma[2,k],{k,1,nmax}],{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年6月9日*)
黄体脂酮素
(PARI)m=40;x='x+O('x^m);Vec(prod(k=1,m,(1+x^k)^sigma(k,2))\\G.C.格鲁贝尔2018年10月30日
(岩浆)m:=40;R<q>:=PowerSeriesRing(基本原理(),m);系数(R!((&*[(1+q^k)^除数Sigma(2,k):[1..m]]中的k))//G.C.格鲁贝尔2018年10月30日
交叉参考
囊性纤维变性。A275585型,A288389型,228419英镑.
产品{k>=1}(1+x^k)^sigma_m(k):A107742号(m=0),A192065型(m=1),该序列(m=2),288年(m=3)。
关键字
非n
作者
Seiichi Manyama先生2017年6月8日
状态
经核准的
产品扩展{k>=1}((1+x^k)/(1-x^k))^(sigma(k))。
+10
11
1, 2, 8, 22, 62, 154, 392, 914, 2136, 4776, 10544, 22626, 47982, 99538, 204100, 411714, 821130, 1616170, 3148812, 6066338, 11579954, 21893214, 41045780, 76306030, 140783060, 257789064, 468783092, 846697340, 1519599658, 2710476106, 4806507720, 8475250510
抵消
0,2
评论
链接
配方奶粉
a(n)~exp((3*Pi)^(2/3)*(7*Zeta(3))^(2^(13/18)*3^(47/72)*Pi^(11/72)*n^(47/72)),其中a是Glaisher-Kinkelin常数A074962号.
G.f.:产品{i>=1,j>=1}((1+x^(i*j))/(1-x^-伊利亚·古特科夫斯基2018年8月29日
数学
nmax=50;系数列表[系列[产品[((1+x^k)/(1-x^k))^DivisiorSigma[1,k],{k,1,nmax}],{x,0,nmax}],x]
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A061256号,A192065型.
关键字
非n
作者
状态
经核准的
产品扩展{k>=1}(1+x^k)^(sigma_3(k))。
+10
10
1, 1, 9, 37, 137, 487, 1749, 5901, 19695, 63832, 202905, 632689, 1941394, 5860868, 17448558, 51255292, 148726841, 426605755, 1210569740, 3400427281, 9460683203, 26083933370, 71300381025, 193313191005, 520057831035, 1388722752205, 3682100198763
抵消
0,3
链接
配方奶粉
a(0)=1,a(n)=(1/n)*和{k=1..n}A288420型(k) *a(n-k),对于n>0。
a(n)~exp(5*Pi^(4/5)*Zeta(5)^(1/5)*n^(5/5)/2^-瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年3月23日
G.f.:产品{i>=1,j>=1}(1+x^(i*j))^(j^3)-伊利亚·古特科夫斯基2018年8月26日
MAPLE公司
使用(数字理论):seq(系数(系列(mul((1+x^k)^(sigma[3](k)),k=1..n),x,n+1),x、n),n=0。。30); #穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月31日
数学
nmax=40;系数列表[系列[乘积[(1+x^k)^除数Sigma[3,k],{k,1,nmax}],{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年6月9日*)
黄体脂酮素
(PARI)m=40;x='x+O('x^m);Vec(prod(k=1,m,(1+x^k)^sigma(k,3))\\G.C.格鲁贝尔2018年10月30日
(岩浆)m:=40;R<q>:=PowerSeriesRing(基本原理(),m);系数(R!((&*[(1+q^k)^除数Sigma(3,k):[1..m]]中的k))//G.C.格鲁贝尔2018年10月30日
交叉参考
囊性纤维变性。A288391型,A288392型,A288420型.
产品{k>=1}(1+x^k)^sigma_m(k):A107742号(m=0),A192065型(m=1),A288414型(m=2),该序列(m=3)。
关键字
非n
作者
Seiichi Manyama先生2017年6月9日
状态
经核准的
例如:exp(总和{n>=1}σ(n)*x^n)。
+10
8
1, 1, 7, 43, 409, 3841, 50431, 648187, 10347793, 170363809, 3200390551, 62855417131, 1371594161257, 31147757782753, 768384638386639, 19814802390611131, 545309251861956001, 15661899520801953217, 475833949719419469223, 15042718034104688144299
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0,3
评论
发件人彼得·巴拉2017年11月14日:(开始)
序列项的形式为6*m+1。
模数为10的序列似乎具有周期5。更一般地,我们推测对于k=2,3,4,。。。序列a(n+k)-a(n)可被k整除:如果为真,那么对于每个k,取模k的序列a(n)将是周期的,精确的周期除以k
发件人彼得·巴拉,2022年3月28日:(开始)
上述推测是正确的。请参阅Bala链接。
a(7*n+2)==0(mod 7);a(11*n+9)==0(11模);a(13*n+11)==0(mod 13)。(结束)
配方奶粉
a(0)=1和a(n)=(n-1)!*和{k=1..n}k*A000203号(k) *a(n-k)/(n-k)!对于n>0。
例如:产品{k>=1}exp(k*x^k/(1-x^k))-伊利亚·古特科夫斯基2017年11月27日
a(n)~Pi^(1/3)*exp((3*Pi)^(2/3)*n^(2/3)/2-3^(1/3)*n ^(1/3)/(2*Pi^-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年9月4日
数学
nmax=20;系数列表[Series[Exp[Sum[DivisorSigma[1,k]*x^k,{k,1,nmax}]],{x,0,nmax{],x]*Range[0,nmax]!(*瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年9月4日*)
黄体脂酮素
(PARI)N=66;x='x+O('x^N);Vec(serlaplace(exp(sum(k=1,N,sigma(k)*x^k)))
交叉参考
例如:exp(总和{n>=1}σ_k(n)*x^n):A294363型(k=0)、该序列(k=1),A294362号(k=2)。
关键字
非n,容易的
作者
Seiichi Manyama先生2017年10月29日
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年9月21日11:40。包含376084个序列。(在oeis4上运行。)