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3, 8, 23, 30, 51, 86, 95, 140, 151, 214, 247, 302, 379, 392, 431, 496, 595, 686, 701, 818, 923, 1066, 1083, 1134, 1219, 1338, 1503, 1522, 1675, 1732, 1827, 2022, 2209, 2342, 2513
评论
此部分和的平方开始：2209=47^2。这个部分和中的素数开始于：3，23，151，379，431，701。
例子
a（19）=3+5+15+7+21+35+9+45+11+63+33+55+77+13+39+65+99+91+15=701。
0, 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, 162, 200, 242, 288, 338, 392, 450, 512, 578, 648, 722, 800, 882, 968, 1058, 1152, 1250, 1352, 1458, 1568, 1682, 1800, 1922, 2048, 2178, 2312, 2450, 2592, 2738, 2888, 3042, 3200, 3362, 3528, 3698, 3872, 4050, 4232, 4418
评论
“如果周期系统中的每个周期都以稀有气体结束……，则一个周期中元素的数量可以通过以下公式从该周期的序数n中求得：L=（（2n+3+（-1）^n）^2）/8……”——《自然》，1951年6月9日；《自然》411（2001年6月7日），第648页。这就产生了现在的序列。
设z（1）=i=sqrt（-1），z（k+1）=1/（z（k）+2i）；则a（n）=（-1）*图像（z（n+1））/实数（z（n+1））-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月6日
成对三角数的算术平均值：（1+3）/2，（6+10）/2，，（15+21）/2-阿玛纳斯·穆尔西2005年8月5日
这些数字在乌拉姆螺旋上形成了类似于三角形数字的图案G.Roda，2010年10月20日
具有有理边的等腰直角三角形的积分面积（边为2n，当n>0时三角形是非退化的）-里克·L·谢泼德2009年9月29日
按照美国国旗分布时的恒星数量：n行n+1颗星，每对之间有一行n颗星（即其中的n-1），即n*（n+1）+（n-1）*n=2*n^2=A001105号（n） ●●●●-塞萨尔·埃利乌德·洛扎达，2012年9月17日
显然，具有半长度n+3和奇数个峰值的Dyck路径的数量以及具有高度n-3的中心峰值-大卫·斯卡布勒2013年4月29日
B_n和C_n型根系中的根数（当n>1时）-汤姆·埃德加2013年11月5日
a（n）表示连续整数之和中的第一项，该整数等于（2n+1）^3-帕特里克·麦克纳布2016年12月24日
同时给出了（n+4）三角形蜂窝钝骑士图中3个圈的个数-埃里克·韦斯特因2017年7月29日
以数字B为基数的回文242表示的数字，包括B=2（二进制）、3（三元）和4:242（2）=18、242（3）=32、242。。。242(9)=200, 242(10)=242, ... -罗恩·诺特2017年11月14日
a（n）是等腰直角三角形斜边的平方，其边等于n-托马斯·M·格林2019年8月20日
发件人伯纳德·肖特，2021年8月31日和2021年9月16日：（开始）
证明：每n=2^q*（2k+1），q，k>=0，则2*n^2=2^（2q+1）*（2k+1）^2；现在，gcd（2，2k+1）=1，tau（2^（2q+1））=2q+2，而tau（（2k+1。
2^（2q+1）的2q+2除数是{1，2，2^2，2|3，…，2^，（2q*1）}，所以2^。
结论：这两个2q+1偶数除数是由（2k+1）^2的2u+1奇数除数精确地生成（2q+1）*（2u+1）2*n^2的偶数除法，并且（2q+1）*（2 u+1）是奇数。（结束）
n＞0的a（n）是保加利亚和曼卡拉纸牌的周期长度为2的数字-保罗·魏森霍恩2022年1月29日
L1距离处的点数=2，距离Z^n中的任何给定点-谢尔·卡潘2023年2月25日
参考文献
Arthur Beiser，《现代物理概念》，第二版，McGraw-Hill，1973年。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《数学巨著，经典难题，悖论和问题》，第2章，题为“有限差分的微积分”，W.W.Norton and Company，纽约，2001年，第12-13页。
L.B.W.Jolley，《系列综述》，多佛出版社，1961年，第44页。
阿兰·罗伯特（Alain M.Robert），《p-adic分析课程》，斯普林格·弗拉格出版社，2000年，第213页。
链接
Milan Janjić，限制性三元词和插入词，arXiv:1905.04465[math.CO]，2019年。
米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇，计数函数，arXiv:1301.4550[math.CO]，2013年-N.J.A.斯隆2013年2月13日
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv:1406.3081[math.CO]，2014年。
配方奶粉
总尺寸：2*x*（1+x）/（1-x）^3。
对于n>0，在1/（cos（x）+n-1）的Maclaurin展开式中，a（n）=1/x^2的系数-弗朗切斯科·达迪2011年8月4日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-阿图尔·贾辛斯基2011年11月24日
a（n）=楼层（1/（1-cos（1/n））），n>0-克拉克·金伯利2014年10月8日
a（n）=总和{j=1..n}总和{i=1..nneneneep上限（（i+j-n+4）/3）-韦斯利·伊万·赫特2015年3月12日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sqrt（2）*sinh（Pi/sqrt（3））/Pi。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=sqrt（2）*sin（Pi/sqrt（1））/Pi。（结束）
例子
a（3）=18；因为2（3）=6有3个分区，正好有两部分：（5,1），（4,2），（3,3）。将所有部分相加，我们得到：1+2+3+4+5=18-韦斯利·伊万·赫特2013年6月1日
数学
线性递归[{3，-3，1}，{2，8，18}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年7月28日*）
2多边形编号[4，范围[0，20]](*埃里克·韦斯特因2017年7月28日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[0..50]]中的[2*n^2:n//文森佐·利班迪2011年4月30日
（哈斯克尔）
a001105=a005843。a000290号--莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月12日
（鼠尾草）[2*n^2代表n in（0..20）]#G.C.格鲁贝尔2019年2月22日
（GAP）列表（[0..50]，n->2*n^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年2月24日
作者
伯恩德。沃尔特（AT）法兰克福.netsurf.de
5, 13, 17, 25, 29, 37, 41, 53, 61, 65, 65, 73, 85, 85, 89, 97, 101, 109, 113, 125, 137, 145, 145, 149, 157, 169, 173, 181, 185, 185, 193, 197, 205, 205, 221, 221, 229, 233, 241, 257, 265, 265, 269, 277, 281, 289, 293, 305, 305, 313, 317, 325, 325, 337, 349, 353, 365, 365
评论
原始勾股三元组（a，b，c）中最大的成员“c”，通过增加c来排序。
这些是a^2+b^2形式的数字，其中gcd（b-a，2*a*b）=1-M.F.哈斯勒2010年4月4日
等价地，形式为a^2+b^2的数，其中gcd（a，b）=1，a和b都不是奇数。为了避免重复计算，需要a>b>0-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2015年3月15日
半径平方为a（n）的圆中这些点的密度为~Pi*a（n”）。限制为a>b>0会将其减少1/8；要求gcd（a，b）=1提供了6/Pi^2的因子；a，b都不是奇数，是2/3的因子。（2/3，而不是3/4，因为情况a和b都已经被消除了。）乘法时，a（n）*Pi*1/8*6/Pi^2*2/3是a（n”/（2*Pi）。但n大约是这个点数，所以a（n）~2*Pi*n由大卫·W·威尔逊，证明人富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2015年3月15日
这个序列的不同项似乎构成了序列的一个子集，定义为a（n）=（-1）^n+6*n表示n>=1-亚历山大·波沃洛茨基2015年3月15日
这个序列中的项由f（m，n）=m^2+n^2给出，其中m和n是满足m>1，n<m的任意两个整数，m和n的最大公约数是1，并且m和n都不是奇的。例如，f（m，n）=f（2,1）=2^2+1^2=4+1=5-阿戈拉·基西拉·奥德罗2016年4月29日
参考文献
M.de Frénicle，“排除问题的解决方案”，载于：“Divers ouvrages de matiques et de physique，par Messieurs de l'Academie royale des sciences”，巴黎，1693年，第1-44页。
数学
t={}；做[Do[a=Sqrt[c^2-b^2]；如果[a>b，则中断[]]；如果[IntegerQ[a]&GCD[a，b，c]==1，AppendTo[t，c]]，{b，c-1，3，-1}]，{c，400}]；吨(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2012年1月21日*）
f[c]：=块[{a=1，b，lst={}}，而[b=Sqrt[c^2-a^2]；a<b，如果[IntegerQ@b&&GCD[a，b，c]==1，AppendTo[lst，a]]；a++]；第一次]
连接@@表[ConstantArray[n，长度@f@n] ，{n，1400，4}](*罗伯特·威尔逊v2014年3月16日；已由更正安德烈·扎博洛茨基2019年10月31日*）
黄体脂酮素
（PARI）{my（c=0，new=[]）；for（b=1，99，for（a=1，b-1，gcd（b-a，2*a*b）==1&&new=concat（new，a^2+b^2））；new=vecsort（new）；for；新=[]）}\\M.F.哈斯勒2010年4月4日
原始毕达哥拉斯三元组（具有多重性）的偶数腿按递增斜边排序。
+10
5
4, 12, 8, 24, 20, 12, 40, 28, 60, 16, 56, 48, 36, 84, 80, 72, 20, 60, 112, 44, 88, 24, 144, 140, 132, 120, 52, 180, 104, 176, 168, 28, 84, 156, 140, 220, 60, 208, 120, 32, 96, 264, 260, 252, 160, 240, 68, 136, 224, 312, 308, 36, 204, 288, 180, 272, 76, 364, 252, 152, 352, 340, 228
评论
主要的关键是斜边的长度增加，A020882美元如果斜边有多个解，（次要的）排序键是（递增的）偶数段，也就是说，这些项按递增顺序排列。[由更正安德烈·扎博洛茨基2019年10月31日]
仅列出了gcd（a，b，c）=1，a^2+b^2=c^2，a=q^2-p^2，b=2*p*q，c=q^2+p^2和gcd（p，q）=1的约化三角形的偶数腿“b”。
1, 2, 7, 3, 10, 17, 4, 22, 5, 31, 16, 27, 6, 38, 19, 49, 32, 7, 45, 58, 8, 71, 52, 25, 42, 9, 82, 59, 28, 97, 76, 47, 10, 93, 66, 110, 85, 127, 52, 11, 104, 34, 123, 57, 142, 12, 115, 161, 80, 37, 136, 103, 13, 126, 178, 87, 149, 199, 112, 67, 14, 172, 137, 94, 195, 43, 162, 218, 72, 15, 241
评论
似乎所有的正整数都包括在内。
每个项都等于（d-1）/2，其中d=2*u*v-v^2，半周长s=（h+b+c）/2=u*v，其中b>c，h^2=b^2+c^2，u<v<2*u，v奇数（见Witcosky定理3）。
例子
前10项A081872号是4、12、15、24、21、35、40、45、60、63；
因此，前10个奇数分支是3、5、15、7、21、35、9、45、11、63；
所以前10项是1、2、7、3、10、17、4、22、5、31。（结束）
数学
（*列表a0*必须在*之前准备）
opPT={a020882，a046087，a0460186，a020882+a046087+a0460186}；
topPT=转座[opPT]；stopPT=排序依据[topPT，{#[[4]]}&]；
tstopPT=转座[stopPT]；nopPT=tstopPT；
Do[If[OddQ[tstopPT[[2]][[k]]]，nopPT[2][[k]]=tstopPT[2]][[k]]；
nopPT[[3]][[k]]=tstopPT[[3]][[k]]，nopPT[2][[k]]=tstopPT[[3]][k]]；
nopPT[[3]][[k]]=tstopPT[[2]][[k]]]，{k，10000}]；（无PT[[2]]-1）/2
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