搜索： a059860-编号：a0598600
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A000537号
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| 前n个立方体的总和；或第n个三角形数的平方。
（原名M4619 N1972）
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+10
183
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0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, 11025, 14400, 18496, 23409, 29241, 36100, 44100, 53361, 64009, 76176, 90000, 105625, 123201, 142884, 164836, 189225, 216225, 246016, 278784, 314721, 354025, 396900, 443556, 494209, 549081
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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n X n菱形中平行四边形的数量。-马蒂·德克雷恩（Matti DeCraene（AT）rug.ac.be），2000年5月14日
第n个三角数T（n）=Sum_{r=1..n}r=n（n+1）/2满足以下关系：（i）T（n”）+T（n-1）=n^2和（ii）T（n-）-T（n-1*（n+1）/2）^2-Lekraj Beedassy公司2004年5月14日
{0,1，…，n}中的四元组整数的数量，不重复，其最后一个分量严格大于其他分量。{1，…，n}中的四元组整数的数目，重复，其最后一个分量大于或等于其他分量。
{0,1，…，n}不重复的二元子集的有序对数。
具有重复的{1，…，n}的2元多子集的有序对数。
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3=（1+2+3+…+n）^2。
a（n）是通过已知n维黎曼流形（M，g）的所有二阶导数来了解其黎曼度量g所需的参数数量；尽管要知道曲率张量R需要（由于对称性）（n^2）*（n^2-1）/12个参数，但需要一个较小的数（和一个4维金字塔数）-乔纳森·沃斯邮报2006年5月5日
n个不同字母（ABCD…）的排列数，每个字母以4个和n-4个不动点出现两次-零入侵拉霍斯2006年11月9日
偏移量1=[1，8，19，18，6，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年12月3日
该序列与A000330号通过a（n）=n*A000330号（n） -和{i=0..n-1}A000330号（i） ：这是恒等式n*（n*（d*n-d+2）/2）-Sum_{i=0..n-1}i*（d*1i-d+2，/2=n*（n+1）*（2*d*n-2*d+3）/6中的情况d=1-布鲁诺·贝塞利2010年4月26日，2012年3月1日
对于正整数S（k，n）的幂和：=Sum_{j=1..n}j^k，一个有递推项S（k、n）=（n+1）*S（k-1，n）-Sum_{l=1..n{S（k-1,l），n>=1，k>=1。
Ibn al-Haytham将其用于k=4，以计算抛物面内部的体积。请参阅斯特里克的参考资料，其中显示了他使用的技巧，以及W·朗的链接。
这个技巧立即推广到任意幂k。对于k=3:a（n）=（n+1）*A000330号（n） -和{l=1..n}A000330号（l） 这与Berselli之前评论中给出的公式一致。（结束）
关于之前的贡献，另请参见Matem@ticamente公司在Links字段中，此注释以类似的顺序重复出现（n次方的部分和）-布鲁诺·贝塞利2013年6月24日
对于k=1到n，k^3的第r次连续求和的公式是（6*n^2+r*（6*n+r-1）*（n+r）！）/（（r+3）*（n-1）！），（古尔德）-加里·德特利夫斯2014年1月2日
请注意，这个序列及其公式是尼科马库斯已知的（也可能是尼科马库斯发现的），比伊本·海瑟姆早800年-查尔斯·格里特豪斯四世2014年4月23日
此序列中除了0和1之外没有多维数据集-阿尔图·阿尔坎2016年7月2日
同时也给出了完全二部图K_{n+1，n+1}中无弦圈的个数-埃里克·韦斯特因2018年1月2日
a（n）是乘法表[0..n]X[0..n]中元素的总和-米歇尔·马库斯2021年5月6日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第813页。
Avner Ash和Robert Gross，《总结》，普林斯顿大学出版社，2016年，第62页，等式（6.3），k=3。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，第110页及其后。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第155页。
约翰·H·康威和R·K·盖伊，《数字之书》，哥白尼出版社，第36、58页。
Clifford Pickover，“数字奇观，数学冒险，心智和意义”，牛津大学出版社，2001年，第325页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
H.K.Strick，Geschichten aus der Mathematik II，Spektrum Spezial 3/11，第13页。
D.Wells，《你是数学家》，“计算矩形中的矩形数”，第8H题，第240页；254，企鹅图书1995。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
马塞尔·伯杰，与几何仪相遇，第二部分，《美国数学学会通告》，第47卷，第3期，（2000年3月），第326-340页。[关于米哈埃尔·格罗莫夫的工作。]
比卡什·查克拉博蒂，无词证明：自然数幂和，arXiv:2012.11539[math.HO]，2020年。
萨米恩·艾哈迈德·汗，多边形数倒数的幂和《国际申请杂志》。数学。（2020）第33卷，第2期，265-282。
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配方奶粉
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a（n）=（n*（n+1）/2）^2=A000217号（n） ^2=和{k=1..n}A000578号（k） ，即1^3+2^3+3^3+…+n^3=（1+2+3+…+n）^2。
总尺寸：（x+4*x^2+x^3）/（1-x）^5-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=总和（总和（1+总和（6*n））），重新表述中的公式A000578号.-Xavier Acloque，2003年1月21日
这个序列可以从通式n*（n+1）*（n+2）*（n+3）**（n+k）*（n*（n+k）+（k-1）*k/6）/（（k+3）/6） k=1时-亚历山大·波沃洛茨基2008年5月17日
G.f.:x*f（3,3；1；x）-保罗·巴里2008年9月18日
和{k>0}1/a（k）=（4/3）*（Pi^2-9）-杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月20日
a（n）=求和{i=1..n}求和{j=1..nneneneep求和{k=1.n}最大值（i，j，k）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年2月26日
a（n）=-总和{j=1..3}j*斯特林1（n+1，n+1-j）*斯特林2（n+3-j，n）-米尔恰·梅卡2014年1月25日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*（3-4*log（2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月13日
例如：x*（4+14*x+8*x^2+x^3）*exp（x）/4。
Dirichlet g.f.：（zeta（s-4）+2*zeta（s3）+zeta（s2））/4。（结束）
a（n）=（伯努利（4，n+1）-Bernoulli（4，1））/4，n>=0，其中第n=4行的伯努利多项式B（4，x）A053382号/A053383例如，参见Ash-交叉参考，第62页，等式（6.3）中的k=3-沃尔夫迪特·朗2017年3月12日
a（n）=n*二项（n+2,3）+二项（n+2,4）+二项式（n+1，4）-托尼·福斯特三世2017年11月14日
另一个身份：。。。，a（3）=（1/2）*（1*（2+4+6）+3*（4+6）+5*6）=36，a）=225-J.M.贝戈2022年8月27日
前面的注释将a（n）表示为所有n X n乘法表数组项的总和。
例如，对于n=4：
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
4 8 12 16
此数组和可以拆分为以下内容：
+---+---------------+
| 0 | 1 2 3 4 | (0+1)*(1+2+3+4)
| +---+-----------+
| 0 | 2 | 4 6 8 | (1+2)*(2+3+4)
| | +---+-------+
| 0 | 3 | 6 | 9 12 | (2+3)*(3+4)
| | | +---+---+
| 0 | 4 | 8 |12 |16 | (3+4)*(4)
+---+---+---+---+---+
这种行+列总和被Ramanujan和其他人用来对Lambert级数求和。（结束）
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例子
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G.f.=x+9*x^2+36*x^3+100*x^4+225*x^5+441*x^6+-迈克尔·索莫斯2022年8月29日
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MAPLE公司
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a： =n->（n*（n+1）/2）^2：
seq（a（n），n=0..40）；
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数学
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表[CycleIndex[｛｛1，2，3，4｝，｛3，2，1，4｝，｛1，4，3，2｝，｛3，4，1，2｝｝，s]/。表[s[i]->n，{i，1，2}]，{n，0，30}](*杰弗里·克雷策2014年6月18日*）
线性递归[{5，-10，10，-5，1}，{0，1，9，36，100}，20](*埃里克·韦斯特因2018年1月2日*）
系数列表[级数[-（（x（1+4x+x^2））/（-1+x）^5），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2018年1月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（n*（n+1）/2）^2
（岩浆）[（n*（n+1）/2）^2:n in[0..50]]//韦斯利·伊万·赫特2014年6月6日
（哈斯克尔）a000537=a000290。a000217号--莱因哈德·祖姆凯勒2015年3月26日
（GAP）列表（[0..40]，n->（n*（n+1）/2）^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年12月5日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000332号,A000566号,A035287号,A039623号,A053382,A053383号,A059376号,A059827号,A059860号,A085582号,A127777号,A176271号.
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 81, 1296, 10000, 50625, 194481, 614656, 1679616, 4100625, 9150625, 18974736, 37015056, 68574961, 121550625, 207360000, 342102016, 547981281, 855036081, 1303210000, 1944810000, 2847396321, 4097152081, 5802782976, 8100000000, 11156640625, 15178486401
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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4维保持架组件的数量。
有关“笼数”的完整解释，请参阅C.Pickover的书《数字的奇迹》第61章“超空间监狱”
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参考文献
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Clifford A.Pickover，“数字的奇迹，数学、思维和意义的冒险”，牛津大学出版社，2001年，第325页。
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链接
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配方奶粉
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L（n）=（（n^m）（n+1）^m）/（2^m），其中m是尺寸，在本例中为4。
外径：-（1+72*x+603*x^2+1168*x^3+603*x^4+72*x^5+x^6）/（-1+x）^9-R.J.马塔尔2008年3月31日
和{n>=0}1/a（n）=160*Pi^2/3+16*Pi^4/45-560。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=560-640*log（2）-96*zeta（3）。（结束）
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例子
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1 = (1 + 1)/2, 81 = (33 + 129)/2, 1296 = (276 + 2316)/2, 10000 = (1300 + 18700)/2, ... -菲利普·德尔汉姆2015年5月25日
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MAPLE公司
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其中（combint）：seq（mul（stirling2（n+1，n），k=1..4），n=1..24）#零入侵拉霍斯2007年12月16日
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数学
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m=4；表[（（n^m）（n+1）^m）/（2^m），{n，1，30}]
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[stirling_number2（n+1，n）^4表示范围（1，25）内的n]#零入侵拉霍斯2009年3月14日
（PARI）{对于（n=0，1000，写入（“b059977.txt”，n，“”，（n+1）*（n+2）/2）^4）；）}\\哈里·史密斯，2009年6月30日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 729, 46656, 1000000, 11390625, 85766121, 481890304, 2176782336, 8303765625, 27680640625, 82653950016, 225199600704, 567869252041, 1340095640625, 2985984000000, 6327518887936, 12827693806929, 25002110044521, 47045881000000, 85766121000000, 151939915084881
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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6维保持架组件的数量。
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参考文献
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Clifford A.Pickover，“数字的奇迹，数学、思维和意义的冒险”，牛津大学出版社，2001年，第325页。
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（13，-78286，-7151287，-17161716，-1287715，-286,78，-13,1）。
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配方奶粉
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通用编号：（x^10+716*x^9+37257*x^8+450048*x^7+1822014*x^6+2864328*x^5+1822014*x^4+450048*x^3+37257*x^2+716*x+1）/（1-x）^13-科林·巴克2012年7月9日
G.f.：6F5（[3,3,3,3,3,3]，[1,1,1,1]，z）-本尼迪克特·欧文2016年3月14日
求和{n>=0}1/a（n）=2688*Pi^2+448*Pi^4/15+128*Pi^6/945-29568。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=29568-32256*log（2）-5376*zeta（3）-720*zeta。（结束）
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MAPLE公司
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与（组合）：seq（mul（stirling2（n+1，n），k=1..6），n=1..18）#零入侵拉霍斯2007年12月14日
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数学
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m=6；表[n^m（n+1）^m/2^m，{n，1，24}]
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2187, 279936, 10000000, 170859375, 1801088541, 13492928512, 78364164096, 373669453125, 1522435234375, 5455160701056, 17565568854912, 51676101935731, 140710042265625, 358318080000000, 860542568759296, 1962637152460137, 4275360817613091, 8938717390000000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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参考文献
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Clifford A.Pickover，“数字的奇迹，数学、思维和意义的冒险”，牛津大学出版社，2001年，第325页。
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（15，-105455，-13653003，-50056435，-6435505，-30031365，-15,1）。
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配方奶粉
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通用编号：-x*（x^12+2172*x^11+247236*x^10+6030140*x^9+49258935*x^8+163809288*x^7+242384856*x^6+1638098288*x^5+4925895*x^4+6030140*x^3+247236*x^2+2172*x+1）/（x-1）^15-科林·巴克2012年7月9日
通用名称：z*7F6（[3,3,3,1,3,3，3,3]，[1,1,1,1]，z）。
a（n）=n ^7*（1+n）^7/128。
（结束）
求和{n>=1}1/a（n）=219648-19712*Pi^2-3584*Pi^4/15-256*Pi^6/135。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=236544*log（2）+40320*zeta（3）+6720*zeta。（结束）
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数学
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m=7；表[（（n^m）（n+1）^m）/（2^m），{n，1，20}]
（次数@@@分区[范围[20]^7，2，1]）/2^7(*哈维·P·戴尔2017年8月20日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 6561, 1679616, 100000000, 2562890625, 37822859361, 377801998336, 2821109907456, 16815125390625, 83733937890625, 360040606269696, 1370114370683136, 4702525276151521, 14774554437890625, 42998169600000000, 117033789351264256, 300283484326400961
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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参考文献
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Clifford A.Pickover，“数字的奇迹，数学、思维和意义的冒险”，牛津大学出版社，2001年，第325页。
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（17，-136680，-23806188，-1237619448，-243024310，-1944812376，-6188236，-17,1）。
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配方奶粉
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通用编号：-x*（x^14+6544*x^13+1568215*x^12+72338144*x^11+1086859301*x^10+6727188848*x^9+19323413187*x^8+27306899520*x^7+1932343187*x^6+6727188848*x^5+108685301*x^4+723382144*x^3+1568215*x^2+6544*x+1）/（x-1）^17-科林·巴克2012年7月9日
a（n）=（n*（n+1）/2）^8。
求和{n>=1}1/a（n）=146432*Pi^2+5632*Pi ^4/3+2048*Pi^6/105+256*Pi^8/4725-1647360。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=1647360-1757184*log（2）-304128*zeta（3）-57600*zeta。（结束）
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数学
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m=8；表[n^m（n+1）^m/2^m，{n，1，18}]
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 32, 7776, 248832, 3200000, 24300000, 130691232, 550731776, 1934917632, 5904900000, 16105100000, 40074642432, 92389579776, 199690286432, 408410100000, 796262400000, 1488827973632, 2682916351776, 4678757435232, 7923516800000, 13069123200000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（11，-55，165，-330，462，-462，330，-165，55，-11，1）。
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配方奶粉
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总尺寸：32*x*（x^8+232*x^7+5158*x^6+27664*x^5+47290*x^4+27664*x^3+5158*x^2+232*x+1）/（1-x）^11（自A059860号).
和{n>=1}1/a（n）=126-35*Pi^2/3-Pi^4/9-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年9月25日
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MAPLE公司
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[序列（n^5*（n+1）^5，n=0..100）]；
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数学
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表[（n（n+1））^5，{n，0，70}]（*或*）系数列表[系列[32 x（x^8+232 x^7+5158 x^6+27664 x^5+47290 x^4+27664 x ^3+5158 x^2+232 x+1）/（1-x）^11，{x，0，30}]，x]
线性递归[{11，-55，165，-330，462，-462，330，-165，55，-11，1}，{0，32，7776，248832，3200000，24300000，130691232，550731776，1934917632，5904900000，16105100000}，20](*哈维·P·戴尔2017年4月23日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（n*（n+1））^5:n in[0..30]]；
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A091480号
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| 具有n（>=1）个节点和k（>=0）条边的多重图（按反对偶）表。每种类型的对象都从其自己的标签集中标记。 |
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+10
0
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 9, 6, 1, 0, 1, 27, 36, 10, 1, 0, 1, 81, 216, 100, 15, 1, 0, 1, 243, 1296, 1000, 225, 21, 1, 0, 1, 729, 7776, 10000, 3375, 441, 28, 1, 0, 1, 2187, 46656, 100000, 50625, 9261, 784, 36, 1, 0, 1, 6561, 279936, 1000000, 759375
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,9
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参考文献
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F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux，组合物种和树状结构，剑桥，1998年，第114页（2.4.44）。
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链接
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配方奶粉
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a（n，k）=二项式（n，2）^k。
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例子
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1 0 0 0 0 ...
1 1 1 1 1 ...
1 3 9 27 81 ...
1 6 36 216 1296 ...
1 10 100 1000 10000 ...
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交叉参考
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关键字
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作者
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经核准的
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