搜索： a038048-编号：a038049
|
| |
|
|
A057625号
|
| a（n）=n！*总和1/k！其中，总和是除以n的所有正整数k的总和。 |
|
+10
31
|
|
|
|
1, 3, 7, 37, 121, 1201, 5041, 62161, 423361, 5473441, 39916801, 818959681, 6227020801, 130784734081, 1536517382401, 32256486662401, 355687428096001, 10679532671808001, 121645100408832001, 3770998783116364801, 59616236292028416001, 1686001119824999577601
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
条目为1，。。。，n、 最多列排列。例如，a（4）=37矩阵的不等表示为：
一个1 X 4矩阵：
[1234]
12 2 X 2矩阵：
[12] [12] [13] [13] [14] [14] [23] [23] [24] [24] [34] [34]
[34] [43] [24] [42] [23] [32] [14] [41] [13] [31] [12] [21]
和24个4 X 1矩阵：
[1][1][1][1][1][1][2][2][2][2][2][2][3][3][3][3][3][3][4][4][4][4][4][4]
[2][2][3][3][4][4][1][1][3][3][4][4][1][1][2][2][4][4][1][1][2][2][3][3]
[3][4][2][4][2][3][3][4][1][4][1][3][2][4][1][4][1][2][2][3][1][3][1][2]
[4][3][4][2][3][2][4][3][4][1][3][1][4][2][4][1][2][1][3][2][3][1][2][1]
总计1+12+24=37。
（完）
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
|
|
|
例子
|
a（4）=4！(1 + 1/2! + 1/4!) = 24 (1 + 1/2 + 1/24) = 37.
|
|
|
数学
|
a[n]：=n！除数和[n，1/#！&]；数组[a，22](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2015年12月23日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=n！*sumdiv（n，d，1/d！）/*乔格·阿恩特2012年10月7日*/
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 2, 3, 13, 25, 301, 721, 10921, 60481, 740881, 3628801, 106777441, 479001601, 12462690241, 134399865601, 2833553923201, 20922789888001, 892191453753601, 6402373705728001, 268633265290790401, 3652732042831872001, 102181898422712908801, 1124000727777607680001
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
例如：Sum_{k>0}（exp（x^k）-1）/k=-Sum_{k>0}log（1-x ^k）/k！。
|
|
|
数学
|
数组[n\[函数]除数总和[n，（n-1）！/（#-1）！&]，25]（*J.Mulder（jasper.Mulder（AT）planet.nl），2010年1月25日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=汇总（n，d，（n-1）/（d-1）！）\\乔格·阿恩特2013年5月21日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
来自J.Mulder（jasper.Mulder（AT）planet.nl）的更多术语，2010年1月25日
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 3, 1, 8, 9, 1, 42, 59, 18, 1, 144, 450, 215, 30, 1, 1440, 3394, 2475, 565, 45, 1, 5760, 30912, 28294, 9345, 1225, 63, 1, 75600, 293292, 340116, 147889, 27720, 2338, 84, 1, 524160, 3032208, 4335596, 2341332, 579369, 69552, 4074, 108, 1, 6531840, 36290736, 57773700, 38049920, 11744775, 1857513, 154350, 6630, 135, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
以意大利数学家弗朗西斯科·弗洛雷斯·达凯斯（1849-1927）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月13日
|
|
|
参考文献
|
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第159页。
F.D’Arcais，Dédevelopment en série，Intermédiaire Math。，第20卷（1913年），第233-234页。
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
G.f.：和{1<=k<=n}T（n，k）*u^k*T^n/n！=（（1-t）*（1-t^2）*（1-t^3）…）^（-u）。
次数n D'Arcais多项式T（n；u）=Sum_{k=1..n}T（n，k）*u^k的递归性由T（n：u）=Sum_{k=1..n{（n-1）给出/（n-k）*σ（k）*u*T（n-k；u），T（0；u）=1-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月11日
T（n；u）=n*求和{pi}乘积{i=1..n}二项式（u+k（i）-1，k（i）），其中pi遍历k（1）+2*k（2）+的所有非负解+n*k（n）=n-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月11日
T（n，k）=（n！/k！）*Sum_{i_1，i_2，…，i_k>0和i_1+i_2+…+i_k=n}乘积_{j=1.k}西格玛（i_j）/i_j-Seiichi Manyama先生2020年11月9日。
|
|
|
例子
|
exp（总和{n>0}σ（n）*u*x^n/n）=1+u*x/1+（3*u+u^2）*x^2/2+（8*u+9*u^2+u^3）*x^3/3+（42*u+59*u^2+18*u^3+u^4）*x^4/4!+...
三角形开始：
1:
3, 1;
8, 9, 1;
42, 59, 18, 1;
144, 450, 215, 30, 1;
1440, 3394, 2475, 565, 45, 1;
5760, 30912, 28294, 9345, 1225, 63, 1;
75600, 293292, 340116, 147889, 27720, 2338, 84, 1;
...
T（4；u）=4*（二项式（u+3,4）+二项式（u+1,2）*二项式。
|
|
|
MAPLE公司
|
P:=过程（n）：如果n=0，则1，否则P（n）:=（1/n）*（加上（x（n-k）*P（k），k=0..n-1））fi；结束：with（numtheory）：x:=proc（n）：sigma（n）*x结束：Q:=prog（n）:n*P（n）端：T:=过程（n，k）：系数（Q（n），x，k）端：seq（seq（T（n，k），k=1..n），n=1..10）#约翰内斯·梅耶尔2016年7月8日
|
|
|
数学
|
t[0][u_]=1；t[n_][u_]：=t[n][u]=和[（n-1）！/（n-k）！*除数Sigma[1，k]*u*t[n-k][u]，{k，1，n}]；row[n_]：=系数列表[t[n][u]，u]//静止；表[行[n]，{n，1，10}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年10月3日之后弗拉德塔·乔沃维奇*)
|
|
|
黄体脂酮素
|
#添加列1，0，0。。。在三角形的左边。
（PARI）行（n）={局部（P（n）=如果（n，总和（k=0，n-1，σ（n-k）*x*P（k））/n，1）-M.F.哈斯勒2016年7月13日
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，（n-1）*西格玛（n））；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 5, 31, 265, 2621, 31621, 426595, 6574961, 111673945, 2092318021, 42552808871, 937495160185, 22150499622421, 559765402811525, 15039597200385451, 428293292251548001, 12875707199330296625, 407547173842501629061
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
|
|
|
数学
|
nmax=30；系数列表[系列[1/E*Exp[产品[1/（1-x^k），{k，1，nmax}]]，{x，0，nmax{]，x]*范围[0，nmax]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月19日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）
N=66；q='q+O（'q^N）；
f=exp（1/prod（n=1，n，1-q^n）-1）；
egf=塞拉普拉斯（f）；
Vec（表皮生长因子）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 4, 14, 69, 367, 2284, 15430, 115146, 924555, 7991892, 73547322, 718621516, 7410375897, 80405501540, 914492881330, 10873902417225, 134808633318271, 1738734267608613, 23282225008741565, 323082222240744379, 4638440974576329923, 68794595993688306903
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
指数变换[EXP]将输入序列b（n）转换为输出序列a（n）。EXP变换是对数变换[LOG]的倒数，参见Weisstein链接和Sloane和Plouffe参考。这种关系称为里德尔公式。有关对数转换的信息，请参见74805加元。EXP变换与多项式变换有关，请参见A274760型和第二个公式。
EXP变换的定义，见第二个公式，显示n>=1。对于偏移量为0的序列b（n），为了在n>=0时保持单位LOG[EXP[b（n。
我们观察到a（0）=1，并且没有提供关于b（n）的任何值的信息，尽管通常以a（0”=1开始a（n）序列。
Maple程序可用于生成序列的指数变换。第一个程序使用了Alois P.Heinz发现的公式，请参见A007446号和第一个公式。第二个程序使用指数变换的定义，请参阅Weisstein链接和第二个公式。第三个程序使用有关指数变换逆运算的信息，请参见A274805型.
|
|
|
参考文献
|
Frank Harary和Edgar M.Palmer，《图形计数》，1973年。
罗伯特·詹姆斯·里德尔，《对凝聚理论的贡献》，论文，密歇根大学，安娜堡，1951年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，1995年，第18-23页。
|
|
|
链接
|
M.Bernstein和N.J.A.Sloane，一些标准整数序列《线性代数及其应用》，第226-228卷（1995年），第57-72页。勘误表320（2000），210。[链接到arXiv版本]
M.Bernstein和N.J.A.Sloane，整数的一些正则序列，线性算法。应用，226-228（1995），57-72；勘误表320（2000），210。[链接到Lin.Alg.Applic.version以及省略的数字]
Eric W.Weisstein数学世界，指数变换.
|
|
|
公式
|
a（n）=和{j=1..n}（二项式（n-1，j-1）*b（j）*a（n-j）），n>=1，a（0）=1，其中b（n）=A000203号（n） =西格玛（n）。
例如，exp（总和{n>=1}（b（n）*x^n/n！）b（n）=σ（n）=A000203号（n） ●●●●。
|
|
|
例子
|
a（0）=1
a（1）=x（1）
a（2）=x（1）^2+x（2）
a（3）=x（1）^3+3*x（一）*x（2）+x（3）
a（4）=x（1）^4+6*x（1
a（5）=x（1）^5+10*x（1
|
|
|
MAPLE公司
|
nmax:=21:with（numtheory）：b:=proc（n）：西格玛（n）end:a:=proc（n）选项记住；如果n=0，则1另外加上（二项式（n-1，j-1）*b（j）*a（n-j），j=1..n）fi:end:seq（a（n），n=0..nmax）；#结束第一个EXP程序。
nmax:=21：使用（数字理论）：b:=proc（n）：sigma（n）end:t1:=exp（加（b（n）*x^n/n！，n=1…nmax+1））：t2：=系列（t1，x，nmax+1）：a：=进程（n）：n*系数（t2，x，n）结束：seq（a（n），n=0..nmax）；#结束第二个EXP程序。
nmax:=21:with（numtheory）：b:=proc（n）：西格玛（n）end:f:=series（log（1+add（q（n）*x^n/n！，n=1…nmax+1）），x，nmax+1）：d：=进程（n）：n*系数（f，x，n）结束：a（0）：=1:q（0）:=1:a（1）：=b（1）:q结束第三个EXP计划。
|
|
|
数学
|
a[0]=1；a[n]：=a[n]=和[二项式[n-1，j-1]*除数Sigma[1，j]*a[n-j]，{j，1，n}]；表[a[n]，{n，0，30}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2017年2月22日*）
nmax=20；系数列表[Series[Exp[Sum[DivisorSigma[1，k]*x^k/k！，{k，1，nmax}]]，{x，0，nmax{]，x]*范围[0，nmax]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2021年6月8日*）
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A177208号,2009年1月17日,A006351号,A197505型,A144180号,A256180型,A033462号,A198046号,134954英镑,A145460型,A188489号,A005432号,A029725号,A124213号,A002801号.
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 2, 4, 18, 48, 480, 1440, 20160, 120960, 1451520, 7257600, 239500800, 958003200, 24908083200, 348713164800, 6538371840000, 41845579776000, 2134124568576000, 12804747411456000, 729870602452992000, 9731608032706560000, 204363768686837760000, 2248001455555215360000, 206816133911079813120000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
例如：求和{k>=1}求和{j>=1}x^（j*k）/（j*k）。
例如：-log（产品{k>=1}（1-x^k）^（1/k））。
a（p^k）=（k+1）*（p^k-1）！，其中p是素数。
|
|
|
数学
|
表[（n-1）！除数Sigma[0，n]，{n，1，24}]
nmax=24；Rest[CoefficientList[Series[Sum[Sum[x^（j k）/（j k），｛j，1，nmax｝]，｛k，1，nmax｝]，｛x，0，nmax｝]，x]范围[0，nmax]！]
nmax=24；Rest[CoefficientList[Series[-Log[Product[（1-x^k）^（1/k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]范围[0，nmax]！]
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=（n-1）*numdiv（n）\\米歇尔·马库斯，2018年8月22日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A265024型
|
| a（n）=n！*d（n+1）}（-1）^（d+1）*（n+1”）/d中的和{d，d（n）n的除数。 |
|
+10
10
|
|
|
|
1, 1, 8, 6, 144, 480, 5760, 5040, 524160, 2177280, 43545600, 159667200, 6706022400, 49816166400, 2092278988800, 1307674368000, 376610217984000, 4623936565248000, 128047474114560000, 729870602452992000, 77852864261652480000, 613091306060513280000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
例如：d/dx log（产品{k>=1}（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年10月15日
|
|
|
数学
|
Rest[CoefficientList[Series[Log[QPochhammer[-1，x]/2]，{x，0，20}]，x]*范围[0，20]！](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年10月15日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（鼠尾草）
25024英镑=λn：阶乘（n）*和（（-1）^（d+1）*（n+1）/d，d在除数（n+1
（PARI）a（n）=n*sumdiv（n+1，d，（-1）^（d+1）*（n+1）/d）\\米歇尔·马库斯2016年1月26日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A356010型
|
| a（n）=n！*总和{k=1..n}楼层（n/k）/k。 |
|
+10
9
|
|
|
|
1, 5, 23, 134, 814, 6324, 50028, 475824, 4806576, 54597600, 644119200, 8847100800, 121718332800, 1853505158400, 29894856364800, 518855607244800, 9197155541145600, 179420609436364800, 3537039053405491200, 75849875285280768000, 1670700245252548608000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
例如：（1/（1-x））*Sum_{k>0}x^k/（k*（1-x^k））。
例如：-（1/（1-x））*Sum_{k>0}log（1-x^k）。
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=n*总和（k=1，n，n\k/k）；
（PARI）我的（N=30，x='x+O（'x^N））；Vec（serlaplace（总和（k=1，N，x^k/（k*（1-x^k）））/（1-x））
（PARI）我的（N=30，x='x+O（'x^N））；Vec（serlaplace（-sum（k=1，N，log（1-x^k））/（1-x））
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A330353型
|
| 例如f.和{k>=1}的展开（exp（x）-1）^k/（k*（1-（exp。 |
|
+10
8
|
|
|
|
1, 4, 18, 112, 810, 7144, 73458, 850672, 11069370, 161190904, 2575237698, 44571447232, 836188737930, 16970931765064, 368985732635538, 8524290269083792, 208874053200038490, 5428866923032585624, 149250273758730282978, 4318265042184721248352
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
例如：-Sum_{k>=1}log（1-（exp（x）-1）^k）。
G.f.：求和{k>=1}（k-1）！*σ（k）*x^k/产品{j=1..k}（1-j*x），其中σ=A000203号.
exp（和{n>=1}a（n）*log（1+x）^n/n！）=分区数的g.f(A000041号).
a（n）=总和{k=1..n}箍筋2（n，k）*（k-1）！*西格玛（k）。
a（n）~n！*Pi^2/（12*（对数（2））^（n+1））-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年12月14日
|
|
|
数学
|
nmax=20；系数列表[Series[Sum[（Exp[x]-1）^k/（k（1-（Exp[x]-1）^k）），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]Range[0，nmax]！//休息
表[Sum[StirlingS2[n，k]（k-1）！除数Sigma[1，k]，{k，1，n}]，{n，1，20}]
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000041号,A000203号,A000629号,A002745美元,A008277号,A038048型,A167137号,A308555型,A330351型,A330352型,A330354型.
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A330354型
|
| 例如，求和{k>=1}log（1+x）^k/（k*（1-log（1+x）^k））的展开。 |
|
+10
8
|
|
|
|
1, 2, 1, 21, -122, 1752, -21730, 309166, -4521032, 70344768, -1173530712, 21642745704, -448130571696, 10352684535840, -260101132095888, 6921279885508848, -191813249398678272, 5502934340821289088, -163695952380982280832, 5078687529186002247552
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
例如：-Sum_{k>=1}log（1-log（1+x）^k）。
exp（和{n>=1}a（n）*（exp（x）-1）^n/n！）=分区数的g.f(A000041号).
a（n）=总和{k=1..n}箍筋1（n，k）*（k-1）！*西格玛（k），其中西格玛=A000203号.
猜测：a（n）~n！*（-1）^n*Pi^2*exp（n）/（24*（exp（1）-1）^（n+1））-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年12月16日
|
|
|
数学
|
nmax=20；系数列表[Series[Sum[Log[1+x]^k/（k（1-Log[1+x]^k）），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]Range[0，nmax]！//休息
表[Sum[StirlingS1[n，k]（k-1）！除数Sigma[1，k]，{k，1，n}]，{n，1，20}]
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000041号,A000203号,A002743号,A008275号,A038048型,A089064号,A306042型,A330351,A330352型,A330353,A330494型.
|
|
|
关键词
|
签名
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.016秒内完成
|
