搜索： a038044-编号：a038045
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1、4、6、12、10、24、14、32、27、40、22、72、26、56、60、80、34、108、38、120、84、88、46、192、75、104、108、168、58、240、62、192、132、136、140、324、74、152、156、320、82、336、86、264、270、184、94、480、147、300、204、312、106、432、220、448、228、232、118
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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将n的所有分区的所有部分求和为相等部分-奥马尔·波尔2013年1月18日
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参考文献
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Tom M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第29页及其后。
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链接
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Jean Bougain、Sergei Konyagin和Igor Shparlinski。小子群陪集元素的分布及其应用，arXiv:1103.0567[math.NT]，2011年3月2日。
米哈伊尔·加布杜林（Mikhail R.Gabdullin）和维塔利·尤德利维奇（Vitalii V.Iudelevich），形式kf（k）的数字，arXiv:2201.09287[math.NT]（2022）。
Passawan Noppakaew和Prapanpong Pongsriam，一些多项式与算术函数的乘积，J.国际顺序。（2023）第26卷，第23.9.1条。
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配方奶粉
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Dirichlet g.f.：zeta（s-1）^2。
通用公式：和{n>=1}n*x^n/（1-x^n）^2-弗拉德塔·乔沃维奇2001年12月30日
求和{k=1..n}σ（gcd（n，k））。与a（p^e）相乘=（e+1）*p^e-弗拉德塔·乔沃维奇2001年10月30日
L.g.f.：和{k>=1}x^k/（1-x^k）=和{n>=1}a（n）*x^n/n-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月13日
通用公式：和{n>=1}q^（n^2）*（n^2+2*n*q^n-n^2*q^，（2*n））/（1-q^n）^2-彼得·巴拉2021年1月22日
a（n）=和{k=1..n}σ（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））-理查德·奥尔勒顿2021年5月7日
定义f（x）=#{n<=x:a（n）<=x}。Gabdullin和Iudelevich证明了f（x）~x/sqrt（log x）。也就是说，存在0<A<B，因此Ax/sqrt（log x）<f（x）<Bx/sqrt（log x）-查尔斯·格里特豪斯四世2022年3月15日
求和{k=1..n}a（k）~n^2*log（n）/2+（gamma-1/4）*n^2，其中gamma是欧拉常数(A001620号). -阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月25日
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例子
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对于n=6，6的等分为[6]，[3，3]，[2，2，2]，[1，1，1，1,1，1]。所有部分的总和是6+3+3+2+2+2+1+1+1+1+1+1=24，等于6的除数的6倍，因此a（6）=24-奥马尔·波尔2021年5月8日
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MAPLE公司
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数学
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程序
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（PARI）a（n）=如果（n<1，0，direculer（p=2，n，1/（1-p*X）^2）[n]）
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，polcoeff（sum（k=1，n，k*x^k/（x^k-1）^2，x*O（x^n）），n）/*迈克尔·索莫斯2005年1月29日*/
（PARI）a（n）=n*numdiv（n）\\米歇尔·马库斯2020年10月24日
（MuPAD）n*numlib:：tau（n）$n=1..90//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（哈斯克尔）
（Python）
从sympy导入divisor_count作为d
定义a（n）：返回n*d（n）
打印（[a（n）代表范围（1，60）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年3月15日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,多重
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作者
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状态
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经核准的
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A003095号
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| a（n）=a（n-1）^2+1表示n>=1，a（0）=0。
（原M1544）
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0, 1, 2, 5, 26, 677, 458330, 210066388901, 44127887745906175987802, 1947270476915296449559703445493848930452791205, 3791862310265926082868235028027893277370233152247388584761734150717768254410341175325352026
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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最右边的数字循环（0,1,2,5,6,7,0,1,2,5,6,1,7，…）-乔纳森·沃斯邮报2005年7月21日
和{n>=1}1/a（n）=1.7399408251747946210636285335916041018367182486941-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年1月30日
形成Herbrand的公式域：（x）（y）（z）（k）（P（x）∨Q（y）∧R（k））
其中：x->a
k->f（y，z）
我们得到：
H0=｛a｝
H1={a，f（a，a）}
H2={a，f（a，a），f（a，f（a，a）），f
...
每个域中的元素数遵循此顺序。
（结束）
这个序列是否满足Benford定律是一个悬而未决的问题[Berger-Hill，2017]-N.J.A.斯隆2017年2月7日
发件人彼得·巴拉，2022年10月31日：（开始）
设k为正整数。显然，通过减少a（n）模k得到的序列最终是周期的。推测：
1） 通过减少a（n）模2^k得到的序列最终具有周期2。
2） 通过将a（n）模减小到10^k而得到的序列最终是周期为6的周期序列（上文提到了k=1的情况）。
3） 将a（n）模减小为20^k得到的序列最终具有周期6。
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参考文献
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Mordechai Ben-Ari，《计算机科学的数学逻辑》，第三版，173-203。
S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第443-448页。
R.K.Guy，《如何计算数字》，Proc。第五届曼尼托巴省会议数字数学。，国会。编号16（1975），49-89。
R.Penrose，《皇帝的新思想》，牛津，1989年，第122页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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A.V.Aho和N.J.A.Sloane，一些双指数序列《斐波纳契季刊》，第11卷，第4期（1973年），第429-437页，备用链路.
A.Berger和T.P.Hill，什么是本福德定律？、通知、Amer。数学。《社会》，64:2（2017），132-134。
P.Flajolet和A.M.Odlyzko，限额分配多项式迭代系数及其在组合计数中的应用，数学。程序。外倾角。Phil.Soc.，96（1984），237-253。
Claudio Gentile、Fabio Vitale和Anand Rajagopalan，通过主动学习扁平化层次聚类，arXiv:1906.09458[cs.LG]，2019年。
斯宾塞·汉布伦（Spencer Hamblen）、拉夫·琼斯（Rafe Jones）和卡利亚尼·马杜（Kalyani Madhu），z^d+c轨道上素数的密度，arXiv:1303.6513[math.NT]，2013；出现，国际数学。Res.Not.，不适用。，约2015年。
R.Lamarche-Perrin、Y.Demazeau和J.-M.Vincent，求解特殊类型集合划分问题的通用算法框架《预印本105》，莱比锡自然科学研究院Max-Planck-Institut fur Mathematik，2014年。
达米亚诺·扎纳尔迪尼，计算逻辑，马德里大学计算机科学技术学院计算逻辑（EMCL）欧洲硕士。
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配方奶粉
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a（n）=B_{n-1}（1）其中B_n（x）=1+x*B_{n-1}（x）^2是高度<=n的树的生成函数。
a（n）是c^（2^n）的渐近形式，其中c=1.2259024435287485386279474959130085213…（参见A076949号). -贝诺伊特·克洛伊特2002年11月27日
c=b^（1/4），其中b是Bottomley公式中的常数A004019号.a（n）似乎对c^（2^n）-Sum_{k>=1}非常渐近A088674号（k） /（2*c^（2^n））^（2*k-1）-杰拉尔德·麦卡维，2007年11月17日
a（2n）mod 2=0；a（2n+1）mod 2=1-阿尔图·阿尔坎2015年10月4日
0=a（n）^2*（+a（n+1）+a（n+2））+a-迈克尔·索莫斯，2017年2月10日
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例子
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G.f.=x+2*x^2+5*x^3+26*x^4+677*x^5+458330*x^6+210066388901*x^7+。。。
发件人彼得·巴拉，2022年10月31日：（开始）
n a（6*n+1）mod 10^11
1 10066388901
2 72084948901
3 67988948901
4 61588948901
5 01588948901
6 01588948901
7 01588948901
... ...
A318135型开始于1、0、9、8、4、9、八、八、五、一、0、2。。。。（结束）
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MAPLE公司
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a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，0，a（n-1）^2+1）结束：
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数学
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嵌套列表[#^2+1&，0，10](*哈维·P·戴尔2010年12月17日*）
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程序
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，1+a（n-1）^2）}/*迈克尔·索莫斯2013年1月1日*/
（岩浆）
如果n等于0，则返回0；
端函数；
（SageMath）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A144324号
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| 当Dirichlet卷积（DC:（b，b）->A）应用k次时，方阵A（n，k），n>=1，k>=1由反对偶读取，其中A（1，k）=1，k列的序列A_k左移。 |
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 8, 16, 9, 1, 1, 16, 64, 70, 18, 1, 1, 32, 256, 540, 280, 40, 1, 1, 64, 1024, 4216, 4320, 1168, 80, 1, 1, 128, 4096, 33264, 67456, 35008, 4672, 168, 1, 1, 256, 16384, 264160, 1064448, 1083136, 280064, 18884, 340, 1, 1, 512, 65536
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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例子
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方形数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 1, 1, 1, 1, ...
2, 4, 8, 16, 32, ...
4, 16, 64, 256, 1024, ...
9, 70, 540, 4216, 33264, ...
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MAPLE公司
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使用（数字理论）：dc:=proc（b，c）proc（n）选项记忆；加法（b（d）*c（n/d），d=`if`（n<0，{}，除数（n）））结束：A:=proc（n，k）局部A，b，t；b[1]：=dc（a，a）；对于从2到k的t，dob[t]：=dc（b[t-1]，b[t-1'）od:a:=n->`如果`（n=1，1，b[k]（n-1））；a（n）结束：seq（seq（a（n，1+d-n），n=1..d），d=1..11）；
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数学
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dc[b_，c_]：=模[{proc}，proc[n_]：=proc[n]=和[b[d]*c[n/d]，{d，如果[n<0，{}，除数[n]]}]；程序]；A[n_，k_]：=模[{A，b，t}，b[1]=dc[A，A]；对于[t=2，t<=k，t++，b[t]=dc[b[t-1]，b[t-2]]；a=函数[m，如果[m==1，1，b[k][m-1]]；a[n]]；表[表[A[n，1+d-n]，{n，1，d}]，{d，1，11}]//扁平(*Jean-François Alcover公司，2013年12月20日，翻译自枫叶*）
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交叉参考
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作者
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状态
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经核准的
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A144823号
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| 当Dirichlet卷积与A_k（DC:（b，A_k）->A）进行k次卷积时，由反对偶读取的方阵A（n，k），其中A（1，k）=1，k列的序列A_k左移。 |
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 4, 9, 9, 1, 1, 5, 16, 30, 18, 1, 1, 6, 25, 70, 90, 40, 1, 1, 7, 36, 135, 280, 288, 80, 1, 1, 8, 49, 231, 675, 1168, 864, 168, 1, 1, 9, 64, 364, 1386, 3475, 4672, 2647, 340, 1, 1, 10, 81, 540, 2548, 8496, 17375, 18884, 7968, 698, 1, 1, 11, 100
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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例子
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方阵A（n，k）开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
9, 30, 70, 135, 231, 364, 540, 765, ...
18, 90, 280, 675, 1386, 2548, 4320, 6885, ...
40, 288, 1168, 3475, 8496, 18130, 35008, 62613, ...
80、864、4672、17375、50976、126910、280064、563517。。。
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MAPLE公司
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使用（数字理论）：dc:=proc（b，c）proc（n）选项记忆；加法（b（d）*c（n/d），d=`if`（n<0，{}，除数（n）））结束：A:=proc（n，k）局部A，b，t；b[1]：=dc（a，a）；对于从2到k的t，dob[t]：=dc（b[t-1]，a）od:a:=n->`如果`（n=1，1，b[k]（n-1））；a（n）结束：seq（seq（a（n，1+d-n），n=1..d），d=1..12）；
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数学
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dc[b_，c_]：=模块[｛proc｝，proc[n]：=proc[n]=和[b[d]*c[n/d]，｛d，If[n<0，｛｝，除数[n]]｝]；程序]；A[n_，k_]：=模[{A，b，t}，b[1]=dc[A，A]；对于[t=2，t<=k，t++，b[t]=dc[b[t-1]，a]]；a=函数[m，如果[m==1，1，b[k][m-1]]；a[n]]；表[表[A[n，1+d-n]，{n，1，d}]，{d，1，12}]//扁平(*Jean-François Alcover公司，2013年12月20日，翻译自枫叶*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A144374号
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| 三角形T（n，k），n>=1，1<=k<=n，按行读取，其中列k的序列a_k以（k+1）1开始，a_k（n）在狄利克雷卷积下向下移动k个位置。 |
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1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 9, 2, 2, 1, 1, 18, 5, 2, 2, 1, 1, 40, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 80, 12, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 168, 8, 6, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 340, 28, 6, 6, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 698, 17, 10, 4, 4, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 1396, 60, 13, 8, 4, 4, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 2844, 34, 16, 5, 6, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 5688
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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例子
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三角形开始：
1;
1, 1;
2、1、1；
4, 2, 1, 1;
9, 2, 2, 1, 1;
18, 5, 2, 2, 1, 1;
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MAPLE公司
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with（numtheory）：dck:=proc（b，c）proc（n，k）选项记住；加法（b（d，k）*c（n/d，k），d=`if`（n<0，{}，除数（n）））end-end:b:=dck（T，T）：T:=（n，k）->如果n<=k，则1其他b（n-k，k）fi:seq（seq（T（n，k），k=1..n），n=1.14）；
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数学
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dck[b_，c_][n_，k_]：=dck[b，c][n，k]=和[b[d，k]*c[n/d，k]，{d，如果[n<0，{}，除数[n]]}]；B=dck[T，T]；T[n_，k_]：=如果[n<=k，1，B[n-k，k]]；表[Table[n，k]，{k，1，n}]，{n，1，14}]//压扁(*Jean-François Alcover公司，2014年1月15日，翻译自Maple*）
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经核准的
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A341697飞机
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| a（1）=a（2）=1；a（n+1）=Sum_{d|n，d<n}a（n/d）*a（d）。 |
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1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 11, 11, 17, 17, 25, 29, 38, 38, 54, 54, 72, 80, 102, 102, 136, 140, 174, 186, 228, 228, 300, 300, 366, 388, 464, 480, 594, 594, 702, 736, 874, 874, 1068, 1068, 1250, 1324, 1528, 1528, 1828, 1844, 2144, 2220, 2534, 2534, 2982, 3026, 3464, 3572, 4028, 4028
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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数学
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a[1]=a[2]=1；a[n_]：=a[n]=和[如果[d<（n-1），a[（n-1）/d]a[d]，0]，{d，除数[n-1]}]；表[a[n]，{n，60}]
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程序
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A339755型
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| a（1）=1；a（n+1）=1+和{d|n}a（n/d）*a（d）。 |
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1, 2, 5, 11, 27, 55, 131, 263, 571, 1168, 2445, 4891, 10113, 20227, 40979, 82229, 165632, 331265, 665365, 1330731, 2666729, 5334769, 10679319, 21358639, 42740683, 85482096, 171004645, 342015001, 684113793, 1368227587, 2736633741, 5473267483, 10946869669, 21893763789, 43788190107
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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配方奶粉
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通用公式：x*（1/（1-x）+和{i>=1}和{j>=1}a（i）*a（j）*x^（i*j））。
a（n）~c*2^n，其中c=1.27442410710035207761153205319824525471684109894244650858415804185048310907298-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年12月16日
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MAPLE公司
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a： =proc（n）选项记忆；使用数字理论；
1+加法（a（d）*a（（n-1）/d），d=除数
结束时间：
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数学
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a[1]=1；a[n]：=a[n]=1+和[a[（n-1）/d]a[d]，{d，除数[n-1]}]；表[a[n]，{n，1，35}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A325303型
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| a（1）=1；a（n+1）=-求和{d|n}a（n/d）*a（d）。 |
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+10
三
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1, -1, 2, -4, 7, -14, 32, -64, 120, -244, 502, -1004, 1996, -3992, 8048, -16124, 32104, -64208, 128712, -257424, 514416, -1028960, 2058924, -4117848, 8233832, -16467713, 32939418, -65879316, 131750904, -263501808, 527020884, -1054041768, 2108050776, -4216103560, 8432271328
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1、3
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链接
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配方奶粉
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a（n）~-（-1）^n*c*2^n，其中c=0.245410823583396667908354210407104718986708517177206856531763635090205896729-瓦茨拉夫·科特索维奇，2019年9月9日
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数学
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a[n]：=a[n]=-和[a[（n-1）/d]a[d]，{d，除数[n-1]}]；a[1]=1；表[a[n]，{n，1，35}]
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程序
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（PARI）seq（n）={my（v=向量（n））；v[1]=1；对于（n=1，#v-1，v[n+1]=-sumdiv（n，d，v[d]*v[n/d]）；v}\\安德鲁·霍罗伊德2019年9月5日
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 4, 12, 24, 72, 192, 720, 1440, 4320, 11520, 43200, 103680, 362880, 1105920, 4665600, 9331200, 27993600, 74649600, 279936000, 671846400, 2351462400, 7166361600, 30233088000, 67184640000, 221709312000, 644972544000
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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注意阶乘1！，2!, 4!, 6!, 9! 可以从该序列的位置1,3,6,9,15（如果使用基于零的索引，则为2,4,7,10,16）中找到。我不知道序列中是否出现了更大的阶乘。
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链接
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MAPLE公司
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EIGENbyMASKCONV：=proc（upto_n）局部n，a，j，i，s，m；a:=[1]；对于i从0到upto_n做s：=0；m:=蒙面人（i）；n：=nops（m）；对于从1到n的j，dos：=s+（a[m[j]+1]*a[m[（n-j）+1]+1]）；od；a:=[操作（a），s]；od；返回（a）；结束；
掩码：=proc（n）局部a，b，u，i；a:=[]；b:=列表任务位（n）；u：=（2^nops（b））-1；对于从0到u的i，做a:=[op（a），sumby_mask_list（i，b）]；od；返回（a）；结束；
列表任务位：=进程（nn）局部n，a，x；n：=nn；x：=1；a:=[]；当（n>0）do if（1=（n mod 2）），则a:=[op（a），x]；fi；n:=地板（n/2）；x:=2*x；od；返回（a）；结束；
sum_by_mask_list:=进程（nn，a）局部n，i，s；n：=nn；s：=0；i:=1；当（n>0）do if（1=（n mod 2））then s:=s+a[i]；fi；n:=地板（n/2）；i:=i+1；od；申报表；结束；
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交叉参考
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关键词
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非n,特征
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作者
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Antti Karttunen，2001年6月12日
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状态
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经核准的
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A097417号
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| a（1）=1；a（n+1）=和{k=1..n}a（k）a（楼层（n/k））。 |
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+10
2
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1, 1, 2, 5, 13, 34, 90, 236, 621, 1629, 4274, 11193, 29337, 76818, 201173, 526730, 1379178, 3610804, 9453695, 24750281, 64798235, 169644626, 444138288, 1162770238, 3044180080, 7969770106, 20865148382, 54625676431, 143011928942
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1、3
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评论
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链接
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配方奶粉
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比率a（n+1）/a（n）似乎趋向于1+黄金比率=2.61803398…=1+A001622号.-马克·哈德森（mrmarkhudson（AT）hotmail.com），2004年8月23日
满足“部分线性递归”：a（素数（n）+1）=3*a（素数（n））-a（素数）-1）。这解释了为什么我们得到a（n+1）/a（n）->1+phi。此外，lim_{n->oo}a（n）/（1+phi）^n存在，但不应具有简单的闭合形式-贝诺伊特·克洛伊特2004年8月29日
极限{n->oo}a（n）/（1+phi）^n=0.10816562488620457098224431173075485284041543583990405146651275318889227986-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年5月28日
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MAPLE公司
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a[1]：=1：对于从1到50的n do:a[n+1]：=总和（a[k]*a[楼层（n/k）]，k=1..n）：od:seq（a[i]，i=1..51）#马克·哈德森，2004年8月21日
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数学
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a[1]=1；a[n_]：=a[n]=总和[a[k]*a[楼层[（n-1）/k]]，{k，n-1}]；表[a[n]，{n，29}](*罗伯特·威尔逊v2004年8月21日*）
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程序
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（PARI）{m=29；a=矢量（m）；print1（a[1]=1，“，”）；对于（n=1，m-1，print1（a[n+1]=sum（k=1，n，a[k]*a[floor（n/k）]），“，”）}\\克劳斯·布罗克豪斯2004年8月21日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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经核准的
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