%I M1544#186 2022年11月30日07:19:58

%S 0,1,2,5,26677458330210066388901412788774506175987802，

%电话：1947270476915296449559703445493848930452791205，

%电话：3791862310265926082868235028027893277370233152247388584761734150717768254410175325352026

%N a（N）=a（N-1）^2+1表示N>=1，a（0）=0。

%C高度小于或等于n的二叉树数量[由_Orson R.L.Peters修正，2020年1月3日]

%C最右边的数字循环（0,1,2,5,6,7,0,1,2,5,6,1，…）_Jonathan Vos Post，2005年7月21日

%C除初始术语外，A008318的子序列_Reinhard Zumkeller_，2008年1月17日

%C A001699的部分金额_Jonathan Vos Post，2010年2月17日

%C对应A119687的第二条和第二条最后对角线_John M.Campbell，2011年7月25日

%这是一个可除序列_Michael Somos，2013年1月1日

%C和{n>=1}1/a（n）=1.7399408251747946210636285335916041018367182486941….-_Vaclav Kotesovec_，2015年1月30日

%C摘自VVLADIMIR Vesic，2015年10月3日：（开始）

%C形成Herbrand的公式域：（x）（y）（z）（k）（P（x）∨Q（y）∧R（k））

%其中：x->a

%C k->f（y，z）

%C我们得到：

%C H0={a}

%C H1={a，f（a，a）}

%C H2={a，f（a，a），f（a，f（a，a）），f

%C。。。

%C每个域中的元素数遵循此顺序。

%C（结束）

%C该序列是否满足本福德定律（Berger-Hill，2017年）-N.J.A.Sloane，2017年2月7日，这是一个悬而未决的问题

%这是一个强可除序列；见A329429_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2019年11月13日

%C From _Peter Bala，2022年10月31日：（开始）

%设k是一个正整数。显然，通过减少a（n）模k得到的序列最终是周期性的。推测：

%C 1）通过减少a（n）模2^k得到的序列最终具有周期2。

%C 2）通过将a（n）模减小到10^k而得到的序列最终是周期为6的周期序列（上文提到了k=1的情况）。

%C 3）通过将a（n）模减少到20^k得到的序列最终是周期为6的周期序列。

%C 4）对于n>=floor（k/2）和1<=i<=6，a（6*n+i）mod 10^k的值是一个独立于n的常数。当从右向左读取时，这6个常数整数的数字分别是10进制数A318135（i=1）、A318136（i=2）、A318137（i=3）、A18138（i=4）、A38139（i=5）和A318140（i=6）的前k位。下面给出了一个示例。（结束）

%D Mordechai Ben-Ari，《计算机科学的数学逻辑》，第三版，173-203。

%D S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第443-448页。

%D R.K.Guy，《如何计算数字》，Proc。马尼托巴省第五届数学数学大会。，国会。编号16（1975），49-89。

%D R.Penrose，《皇帝的新思想》，牛津，1989年，第122页。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Alois P.Heinz，n的表格，n=0..13的a（n）</a>

%H A.V.Aho和N.J.A.Sloane，<A href=“https://www.fq.math.ca/Scanned/11-4/aho-a.pdf“>一些双指数序列，《斐波纳契季刊》，第11卷，第4期（1973年），第429-437页，<a href=”http://neilsloane.com/doc/doubly.html“>替代链接</a>。

%H A.Berger和T.P.Hill，<A href=“http://www.ams.org/publications/journals/notices/201702/rnoti-p132.pdf“>什么是本福德定律？</a>，通知，美国数学学会，64:2（2017），132-134。

%H Neil J.Calkin、Eunice Y.S.Chan和Robert M.Corless，<a href=“https://ojs.lib.uwo.ca/index.php/maple/article/view/14037“>关于Mandelbrot多项式的一些事实和猜想</a>，Maple Transactions（2021）Vol.1，No.1，Article 1。

%H P.Flajolet和A.M.Odlyzko，<A href=“http://algor.inria.fr/flajolet/Publications/publics.html“>多项式迭代系数的极限分布及其在组合枚举中的应用，《数学与程序》，Camb.Phil.Soc.，96（1984），237-253。

%H Claudio Gentile、Fabio Vitale和Anand Rajagopalan，<a href=“https://arxiv.org/abs/1906.09458“>通过主动学习扁平化层次聚类，arXiv:1906.09458[cs.LG]，2019。

%H Spencer Hamblen、Rafe Jones和Kalyani Madhu，<a href=“http://arxiv.org/abs/1303.6513“>z^d+c</a>轨道上素数的密度，arXiv:1303.6513[math.NT]，2013年；待发表，《国际数学研究杂志》，约2015年。

%H Dimitur Krustev，<a href=“http://meta2016.pereslavl.ru/papers/2016_Krustev__Simple_Programs_on_Binary_Trees_Testing_and_Decidable_Equivalence.pdf“>二叉树测试和可判定等价性的简单程序，2016年。

%H Robin Lamarche-Perrin，<a href=“https://arxiv.org/abs/1807.06874“>链路流有损压缩的信息论框架</a>，arXiv:1807.06874[cs.DS]，2018。

%H R.Lamarche Perrin、Y.Demazeau和J.-M.Vincent，<a href=“http://www.mis.mpg.de/prints/2014/print2014_105.pdf“>解决集合划分问题特殊版本的通用算法框架，预打印105，Max-Planck-Institut fur Mathematik in den Naturwissenschaften，Leipzig，2014。

%H C.Lenormand，见第6页。

%H Saad Mneimneh，<a href=“http://www.cs.hunter.cuny.edu/~saad/teaching/ToH.pdf“>《河内塔上的简单变奏曲》（Simple Variations on the Tower of Hanoi to Guide the Study of Recurrences and Proofs by Induction），纽约市立大学亨特学院计算机科学系，2019年。

%H Michael Penn，<a href=“https://www.youtube.com/watch？v=I7DDtwC0iB0“>时尚证明……</a>，YouTube视频，2021年。

%H R.P.Stanley，致N.J.a.Sloane的信，约1991年</a>

%H M.Tainiter，<a href=“https://doi.org/10.1016/S0021-9800（70）80022-9“>停止变量问题的代数方法：表示理论和应用，J.组合理论9 1970 148-161。

%H P.Tarau，<a href=“http://arxiv.org/abs/1507.06944“>Lambda术语、组合器、类型和基于树的算术计算的逻辑编程游乐场，arXiv预打印arXiv:1507.06944[cs.LO]，2015。

%H Stephan Wagner和Volker Ziegler，<a href=“https://arxiv.org/abs/2004.09353“>与多项式递归相关的增长常数的非理性</a>，arXiv:2004.09353[math.NT]，2020。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Herbrand_structure网站“>Herbrand结构</a>

%H Damiano Zanardini，<a href=“http://ocw.upm.es/ciencia-de-la-computacion-e-inteligencia-artific/computational-logic/contenios/04interpretation.pdf“>计算逻辑</a>，马德里计算机科学技术大学UPM欧洲计算逻辑硕士（EMCL）学院。

%H<a href=“/index/Aa#AHSL”>形式a（n+1）=a（n）^2+</a>

%H<a href=“/index/Di#divseq”>可除序列索引</a>

%H<a href=“/index/Be#Benford”>与Benford定律相关的序列索引条目</a>

%F a（n）=B_{n-1}（1），其中B_n（x）=1+x*B_{n-1}（x）^2是高度<=n的树的生成函数。

%F a（n）渐近于c ^（2^n），其中c=1.2259024435287485386279474959130085213…（参见A076949）_Benoit Cloitre_，2002年11月27日

%F c=b^（1/4），其中b是A004019中Bottomley公式中的常数。a（n）对c^（2^n）-和{k>=1}A088674（k）/（2*c^_Gerald McGarvey，2007年11月17日

%F a（n）=总和{i=1..n}A001699（i）.-_Jonathan Vos Post，2010年2月17日

%F a（2n）mod 2=0；a（2n+1）模块2=1.-_阿尔图格·阿尔坎，2015年10月4日

%F a（n）+a（n-1）=A213437（n）-_Peter Bala，2017年2月3日

%F 0=a（n）^2*（+a（n+1）+a（n+2））+a_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2017年2月10日

%当n>0时，F a（n）=A091980（2^（n-1））_Alois P.Heinz，2019年7月11日

%总资产=x+2*x^2+5*x^3+26*x^4+677*x^5+458330*x^6+210066388901*x^7+。。。

%e From _Peter Bala，2022年10月31日：（开始）

%e n a（6*n+1）模块10^11

%电子邮箱：10066388901

%电子邮箱：2 72084948901

%电子邮箱：3 67988948901

%电话：4 61588948901

%e 5 01588948901

%e 6 01588948901

%电子邮箱：7 0158894801

%e。。。

%e A318135开始1、0、9、8、4、9、八、8、5、1、0，2。。。。（结束）

%p a:=proc（n）选项记忆`如果`（n=0，0，a（n-1）^2+1）结束：

%p序列（a（n），n=0..10）；#_Alois P.Heinz，2019年7月11日

%t嵌套列表[#^2+1&，0,10]（*哈维·P·戴尔，2010年12月17日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，1+a（n-1）^2）}；/*_Michael Somos，2013年1月1日*/

%o（岩浆）

%o函数A003095（n）

%o如果n等于0，则返回0；

%否则返回1+A003095（n-1）^2；

%o结束条件：；返回A003095；

%o端函数；

%o[A003095（n）：[0..12]]中的n；//_G.C.Greubel，2022年11月29日

%o（SageMath）

%o定义A003095（n）：如果（n==0）其他1+A003099（n-1）^2，则返回0

%o[A003095（n）代表范围（13）内的n]#_G.C.Greubel_，2022年11月29日

%Y参见A001699、A004019、A038044、A056207、A076949、A077496、A091980、A143848。

%Y参见A143849、A213437、A247981、A248218、A24821、A318135、A318136、A318137。

%Y参见A318138、A318139、A318140、A355108。

%Y参考A137560，它列举了高度小于n且恰好为j个叶节点的二叉树_Robert Munafo_，2009年11月3日

%不，简单，好

%0、3

%A _N.J.A.Sloane和_Richard Stanley_

%E来自Cyrl Banderier的附加评论，2000年6月5日

%2014年10月4日，由_Vaclav Kotesovec_进行E小编辑

%E初始期限由_Clark Kimberling_于2019年11月13日澄清