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第页1
按降序反对偶读取的数组:T(n,k)是具有k个或更少颜色的n个珠子的无方向字符串数。
+10 33
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 3, 3, 1, 0, 1, 4, 6, 6, 1, 0, 1, 5, 10, 18, 10, 1, 0, 1, 6, 15, 40, 45, 20, 1, 0, 1, 7, 21, 75, 136, 135, 36, 1, 0, 1, 8, 28, 126, 325, 544, 378, 72, 1, 0, 1, 9, 36, 196, 666, 1625, 2080, 1134, 136, 1, 0, 1, 10, 45, 288, 1225, 3996, 7875, 8320, 3321, 272, 1, 0
评论
该数组的第k列是k,0,0,0,…的“BIK”(可逆、模糊、未标记)变换,。。。。
考虑输入序列(c_k(n):n>=1),g.f.c_k(x)=Sum_{n>=1}c_k。可以证明BIK(ck(n):n>=1)的g.f.是A_k(x)=(1/2)*(c_k(x)/(1-c_k。(顺序见注释A001224号.)
对于这个二维数组的k列,输入序列由c_k(1)=k和c_k。因此,C_k(x)=k*x,因此,k列的g.f.为(1/2)*(C_k*x))。
使用上述第一种形式的g.f.和展开式1/(1-y)=1+y+y^2+。。。,我们可以很容易地证明J.-F.Alcover的公式T(n,k)=(k^n+k^((n+mod(n,2))/2)。
(结束)
配方奶粉
T(n,k)=[n==0]+[n>0]*(k^n+k^上限(n/2))/2。[根据以下内容改编为T(0,k)=1罗伯特·拉塞尔2018年11月13日]
第n行的G.f:(总和{j=0..n}S2(n,j)*j*x^j/(1-x)^(j+1)+和{j=0..天花板(n/2)}S2(天花板(n/3),j)*j*x^j/(1-x)^(j+1))/2,其中S2是斯特林子集数A008277号.
第n>0行的G.f:x*Sum_{k=0..n-1}A145882号(n,k)*x^k/(1-x)^(n+1)。
例如,对于第n行:(总和{k=0..n}S2(n,k)*x^k+总和{k=0.天花板(n/2)}S2(天花板(n/3),k)*x^k)*exp(x)/2,其中S2是斯特林子集数A008277号.
T(0,k)=1;T(1,k)=k;T(2,k)=二项式(k+1,2);对于n>2,T(n,k)=k*(T(n-3,k)+T(n-2,k)-k*T(n-1,k))。
对于k>n,T(n,k)=Sum_{j=1..n+1}-二项式(j-n-2,j)*T(n、k-j)。(结束)
例子
数组以T(0,0)开头:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 ...
0 1 6 18 40 75 126 196 288 405 ...
0 1 10 45 136 325 666 1225 2080 3321 ...
0 1 20 135 544 1625 3996 8575 16640 29889 ...
0 1 36 378 2080 7875 23436 58996 131328 266085 ...
0 1 72 1134 8320 39375 140616 412972 1050624 2394765 ...
0 1 136 3321 32896 195625 840456 2883601 8390656 21526641 ...
0 1 272 9963 131584 978125 5042736 20185207 67125248 193739769 ...
0 1 528 29646 524800 4884375 30236976 141246028 536887296 1743421725 ...
...
数学
表[如果[n>0,((n-k)^k+(n-k罗伯特·拉塞尔2018年11月13日*)
黄体脂酮素
(PARI)对于(n=0,15,对于(k=0,n,print1(如果(n==0,1,(n-k)^k+(n-k,^ceil(k/2)),“,”))\\G.C.格鲁贝尔2018年11月15日
(PARI)T(n,k)={(k^n+k^ceil(n/2))/2}\\安德鲁·霍罗伊德2019年9月13日
(岩浆)[[n le 0 select 1 else((n-k)^k+(n-k)^Ceiling(k/2))/2:k in[0..n]]:n in[0..15]]//G.C.格鲁贝尔2018年11月15日
交叉参考
第0-20行是A000012号,A001477号,A000217号(三角形数字),A002411号(五边形金字塔数),A037270号,A168178号,A071232号,A168194号,A071231号,A168372号,A071236号,A168627号,A071235号,A168663号,A168664号,A170779号,A170780号,1970年,A170791号,A170801型,A170802号.
1, 4, 4, 16, 16, 64, 64, 256, 256, 1024, 1024, 4096, 4096, 16384, 16384, 65536, 65536, 262144, 262144, 1048576, 1048576, 4194304, 4194304, 16777216, 16777216, 67108864, 67108864, 268435456, 268435456, 1073741824, 1073741824, 4294967296
评论
使用最多四个不同符号的长度为n的回文数。
最多使用四种颜色的n种颜色的非关键行数-罗伯特·拉塞尔2018年11月9日
参考文献
M.R.Nester(1999)。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
配方奶粉
a(n)=4^层((n+1)/2)。
当n>1时,a(n)=4*a(n-2);a(0)=1,a(1)=4。
例子
长度n=1时,有a(1)=4个回文,a,B,C,D。
在长度n=2时,有a(2)=4个回文,AA,BB,CC,DD。
在长度n=3时,有a(3)=16个回文,AAA,BBB,CCC,DDD,ABA,BAB,疾病控制与预防中心。
数学
表[4^天花板[n/2],{n,0,40}](*或*)
系数列表[级数[(1+4x)/(1+2x)(1-2x)),{x,0,31}],x](*或*)
线性递归[{0,4},{1,4},40](*罗伯特·拉塞尔2018年11月7日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[(3*2^n-(-2)^n)/2:n in[0..31]];
(岩浆)[4^层((n+1)/2):n in[0..40]]//文森佐·利班迪2011年8月16日
最多使用四种不同颜色的n个珠子的可逆字符串结构的数量。
+10 13
1, 1, 2, 4, 11, 31, 107, 379, 1451, 5611, 22187, 87979, 350891, 1400491, 5597867, 22379179, 89500331, 357952171, 1431743147, 5726775979, 22906841771, 91626580651, 366505274027, 1466017950379, 5864067607211
评论
字符串及其反面被认为是等价的。排列颜色不会改变结构。因此,aabc、cbaa和bbac都被认为是相同的。
包含四个或更少非空子集的n个元素的无方向行的集合分区数-罗伯特·拉塞尔2018年10月28日
a(n)是具有n+6个顶点的(未标记的)4条路径的数量。(通过在包含现有4叶的现有4叶团附近迭代添加一个新的4叶(4度顶点),可以从5片团中构造一个顺序至少为6的4路。)
循环出现在Bickle、Eckhoff和Markenzon等人的论文中
参考文献
M.R.Nester(1999)。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
链接
J.Eckhoff,极值区间图,《图论》第17卷第1期(1993年),第117-127页。
L.Markenzon、O.Vernet和P.R.da Costa Pereira,标记k路径图的团差编码方案,离散应用。数学。156 (2008), 3216-3222.
配方奶粉
使用de Bruijn对参考文献中讨论的Polya枚举定理的推广。
对于n>0,a(n)=(16+(-2)^n+15*2^n+4^n)/48-科林·巴克2012年11月24日
总尺寸:(1-4x-3x^2+14x^3-5x^4)/(1-x)*(1-4x)*-科林·巴克,2012年11月24日[调整为抵消0罗伯特·拉塞尔2018年11月9日]
a(n)=总和{j=0..k}(S2(n,j)+Ach(n,j))/2,其中k=4是最大颜色数,S2是斯特林子集数A008277号和Ach(n,k)=[n>=0&n<2&n==k]+[n>1]*。
例子
对于a(4)=11,7种非手性模式为AAAA、AABB、ABAB、ABBA、ABCA、ABBC和ABCD。这4对手性对分别是AAAB-ABBB、AABA-ABAA、AABC-ABCC和ABAC-ABCB。
数学
Ach[n_,k_]:=Ach[n,k]=如果[n<2,Boole[n==k&&n>=0](*A304972型*)
k=4;表[Sum[StirlingS2[n,j]+Ach[n,j],{j,0,k}]/2,{n,0,40}](*罗伯特·拉塞尔2018年10月28日*)
线性递归[{5,0,-20,16},{1,1,2,4,11},40](*罗伯特·拉塞尔2018年10月28日*)
带有4种颜色的n个珠子的可逆串的数量。如果超过1个珠子,则不回文。
+10 5
4, 6, 24, 120, 480, 2016, 8064, 32640, 130560, 523776, 2095104, 8386560, 33546240, 134209536, 536838144, 2147450880, 8589803520, 34359607296, 137438429184, 549755289600, 2199021158400, 8796090925056, 35184363700224, 140737479966720, 562949919866880
评论
利用下面C.G.Bower网络链接中关于变换的公式,可以证明,对于k>=2,序列(C(n):n>=1)的BHK[k]变换具有G.f.C(x)=Sum_{n>=1}C(n(C(x)^{k-1}-C(x^2)^{(k-1)/2})如果k是奇数。对于k=1,Bower假设(c(n):n>=1)的BHK[k=1]变换是自身,这意味着输出序列的g.f.是c(x)。(并非所有数学家都接受这个假设,因为长度为1的序列不仅是可逆的,而且也是回文的。)
由于a(m)=BHK(c(n):n>=1)(m)=Sum_{k=1..m}BHK[k](c(n):n>=1),。。。,可以很容易地证明(使用无穷几何级数的和)BHK(c(n):n>=1)的g.f.是A(x)=(c(x)^2-c(x^2))/(2*(1-c(x。(额外的C(x)当然是由于为BHK[k=1]转换所做的特殊假设。)
这里,当变换是BHK并且输入序列是(c(n):n>=1)时,BHK(c(n):n>=1)(m)指示输出序列的第m个元素。类似地,BHK[k](c(n):n>=1)(m)表示当变换为BHK[k](即,使用k个框)且输入序列为(c(n):n>=1)时,输出序列的第m个元素。
对于当前序列,c(1)=4,对于所有n>=2,c(n)=0,因此,c(x)=4x。将A(x)代入上述公式中,进行代数运算,得到A(x)=2*x*(2-5*x-8*x^2+32*x^3)/((2*x+1)*(2*x-1)*(4*x-1R.J.马塔尔的公式如下。
(结束)
这个序列的a(n)的公式是拉尔夫·斯蒂芬的猜想72。伊丽莎白·威尔默(Elizabeth Wilmer)解决了这个问题(见以下链接之一中的提案1)。她不接受鲍尔关于长度为1的字符串不是回文的断言-Petros Hadjicostas公司2018年7月5日
配方奶粉
4,0,0,0,…的“BHK”(可逆,同一,未标记)变换。。。
a(2*n+1)=2^(4*n+1)-2^(2*n+1),a(2*n)=2^(4*n-1)-2^(2*n)+2^(2*n-1),a(1)=4。
当n>4时,a(n)=4*a(n-1)+4*a(n-2)-16*a(n-3)。
总尺寸:2*x*(-5*x+2-8*x^2+32*x^3)/(2*x+1)*(2*x-1)*(4*x-1。
(结束)
对于n>1和偶数,a(n)=2^(n-1)*(2^n-1)。
对于n>1和奇数,a(n)=2^(2*n-1)-2^n。
(结束)
黄体脂酮素
(PARI)Vec(2*x*(2-5*x-8*x^2+32*x^3)/(1-2*x)*(1+2*x)x(1-4*x))+O(x^30)\\科林·巴克2017年3月8日
0, 0, 0, 12, 120, 780, 4212, 20424, 93360, 409380, 1749780, 7338792, 30394560, 124705140, 508291812, 2061607224, 8332140720, 33585777060, 135116412660, 542785800072, 2178110589600, 8733345234900
参考文献
M.R.Nester(1999)。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
配方奶粉
总尺寸:12*x^4*(3*x+1)*(8*x^4-3*x^3-2*x^2-x+1)/马克西姆·沃兹尼(Voznyy(AT)mail.ru),2009年7月27日[更正人R.J.马塔尔,2009年9月16日]
a(n)=k!(S2(n,k)+S2(天花板(n/2),k))/2,其中k=4是颜色数,S2是斯特林子集数-罗伯特·拉塞尔2018年9月25日
例子
对于n=4,这12行是ABCD的12个排列,不包括任何相互反转。然后,12个手性对中的每一个,例如ABCD-DCBA,只计算一次-罗伯特·拉塞尔2018年9月25日
数学
k=4;表[(箍筋S2[i,k]+箍筋S2[天花板[i/2],k])k/2,{i,k,30}](*罗伯特·拉塞尔2017年11月25日*)
系数列表[级数[12 x ^3(3 x+1)(8 x ^4-3 x ^3-2 x ^2-x+1)/((x-1)(4 x-1)(*文森佐·利班迪2018年9月26日*)
0, 0, 0, 0, 60, 900, 8400, 63000, 417120, 2551560, 14804700, 82764900, 450518460, 2404510500, 12646078200, 65771496000, 339165516120, 1737486149760, 8855359634100, 44952367981500, 227475768907860, 1148269329527100, 5785013373810000, 29100047092479000
参考文献
M.R.Nester(1999)。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
链接
常系数线性递归的索引项,签名(13,-45,-75695,-575,319555954706,-14918216012840,-7200)。
配方奶粉
总尺寸:-60*x^5*(120*x^7-17*x^6-50*x^5-32*x^4+20*x^3+10*x^2-2*x-1)/。[科林·巴克2012年9月3日]
a(n)=k!(S2(n,k)+S2(天花板(n/2),k))/2,其中k=5是颜色数,S2是斯特林子集数-罗伯特·拉塞尔2018年9月25日
例子
对于n=5,60行是ABCDE的60个排列,不包括任何相互反转。60个手性对中的每一个,如ABCDE-EDCBA,然后只计算一次。
数学
k=5;表[(箍筋S2[i,k]+箍筋S2[天花板[i/2],k])k/2,{i,30}](*罗伯特·拉塞尔2017年11月25日*)改编
系数列表[级数[-60*x^4*(120*x^7-17*x^6-50*x^5-32*x^4+20*x^3+10*x^2-2*x-1)/((x-1)*(2*x-1(*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年9月29日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=60*(斯特林(n,5,2)+斯特林(ceil(n/2),5,2中))\\阿尔图·阿尔坎2018年9月27日
(岩浆)[60*(搅拌秒(n,5)+搅拌秒(天花板(n/2),5)):n in[1..30]]//文森佐·利班迪2018年9月30日
0, 0, 0, 0, 0, 360, 7560, 95760, 952560, 8217720, 64615680, 476515080, 3355679880, 22837101840, 151449674040, 984573656640, 6302070915840, 39847411326600, 249509384858160, 1550188410555960, 9570844671224760
参考文献
M.R.Nester(1999)。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
链接
常系数线性递归的索引项,签名(19,-117,81,1883,-5915,-6615,53235,-30394,-191744,264852,258804,-634248,43920,505440,-259200)。
配方奶粉
总尺寸:360*x^6*(8*x^2-x-1)*6*x^2-1))-科林·巴克2012年9月3日
a(n)=k!(S2(n,k)+S2(天花板(n/2),k))/2,其中k=6是颜色数,S2是斯特林子集数-罗伯特·拉塞尔2018年9月25日
例子
对于n=6,360行是ABCDEF的360个排列,不包括任何相互反转。然后,360个手性对中的每一个,例如ABCDEF-FEDCBA,只计算一次-罗伯特·拉塞尔2018年9月25日
数学
k=6;表[(箍筋S2[i,k]+箍筋S2[天花板[i/2],k])k/2,{i,k,30}](*罗伯特·拉塞尔2017年11月25日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=我的(k=6);k/2*(斯特林(n,k,2)+斯特林(ceil(n/2),k,2中))\\阿尔图·阿尔坎2018年9月27日
最多使用四种不同颜色的n个珠子的基本(非周期)可逆字符串数。
+10 三
4, 6, 36, 126, 540, 2034, 8316, 32760, 131544, 524250, 2099196, 8388450, 33562620, 134217594, 536903100, 2147483520, 8590065660, 34359735816, 137439477756, 549755813250, 2199025344348, 8796093020154
参考文献
M.R.Nester(1999)。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
4个元素的n元组数,不包括反向重复和仅由相同元素的重复组成的元组数。
+10 1
0, 0, 6, 36, 132, 540, 2076, 8316, 32892, 131580, 524796, 2099196, 8390652, 33562620, 134225916, 536903676, 2147516412, 8590065660, 34359869436, 137439477756, 549756338172, 2199025352700, 8796095119356, 35184380477436, 140737496743932
评论
此外,如果排除反向拷贝和同聚寡核苷酸(即相同核碱基的重复:aaa…、ccc…、ggg…和ttt…(或uuu…)),则长度为n的不同DNA或RNA序列的数量。
配方奶粉
当n>0时,a(n)=(2^(n-2)*((-1)^(n+1)+3)+2^(2*n-1)-4)。
总尺寸:6*x^2*(8*x^2-x-1)/((x-1)*(2*x+1)*(2%x-1)x(4*x-1))。
a(n)=5*a(n-1)-20*a(n-3)+16*a(-n4)-科林·巴克2018年11月14日
例子
a(2)=6,因为{a,c,g,t}给出了六个二元组(duples):{a,c},{a,g},},a,t},{c,t}.,{g,t{作为4:{a,a},g}被排除在外({c,a}是{a,c}等的副本),16个可能的2元组中只剩下6个。
数学
a[n]:=(2^(#-2)*((-1)^(#1)+3)+2^(2*#1)-4)范围@n; a[25](*或*)
系数列表[系列[6*(8*x^3-x^2-x)/(16*x^4-20*x^3+5*x-1),{x,0,20}],x]
线性递归[{5,0,-20,16},{0,0,6,36,132},30](*哈维·P·戴尔2023年3月20日*)
黄体脂酮素
(PARI)连接([0,0],Vec(6*x^2*(1+x-8*x^2)/(1-x)*(1-2*x)*\\科林·巴克2018年11月14日
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