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按降序反对偶读取的数组：T（n，k）是具有k个或更少颜色的n个珠子的无方向字符串数。
+10
33
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 3, 3, 1, 0, 1, 4, 6, 6, 1, 0, 1, 5, 10, 18, 10, 1, 0, 1, 6, 15, 40, 45, 20, 1, 0, 1, 7, 21, 75, 136, 135, 36, 1, 0, 1, 8, 28, 126, 325, 544, 378, 72, 1, 0, 1, 9, 36, 196, 666, 1625, 2080, 1134, 136, 1, 0, 1, 10, 45, 288, 1225, 3996, 7875, 8320, 3321, 272, 1, 0
评论
该数组的第k列是k，0,0,0，…的“BIK”（可逆、模糊、未标记）变换，。。。。
考虑输入序列（c_k（n）：n>=1），g.f.c_k（x）=Sum_{n>=1}c_k。可以证明BIK（ck（n）：n>=1）的g.f.是A_k（x）=（1/2）*（c_k（x）/（1-c_k。（顺序见注释A001224号.)
对于这个二维数组的k列，输入序列由c_k（1）=k和c_k。因此，C_k（x）=k*x，因此，k列的g.f.为（1/2）*（C_k*x））。
使用上述第一种形式的g.f.和展开式1/（1-y）=1+y+y^2+。。。，我们可以很容易地证明J.-F.Alcover的公式T（n，k）=（k^n+k^（（n+mod（n，2））/2）。
（结束）
配方奶粉
T（n，k）=[n==0]+[n>0]*（k^n+k^上限（n/2））/2。[根据以下内容改编为T（0，k）=1罗伯特·拉塞尔2018年11月13日]
第n行的G.f:（总和{j=0..n}S2（n，j）*j*x^j/（1-x）^（j+1）+和{j=0..天花板（n/2）}S2（天花板（n/3），j）*j*x^j/（1-x）^（j+1））/2，其中S2是斯特林子集数A008277号.
第n>0行的G.f:x*Sum_{k=0..n-1}A145882号（n，k）*x^k/（1-x）^（n+1）。
例如，对于第n行：（总和{k=0..n}S2（n，k）*x^k+总和{k=0.天花板（n/2）}S2（天花板（n/3），k）*x^k）*exp（x）/2，其中S2是斯特林子集数A008277号.
T（0，k）=1；T（1，k）=k；T（2，k）=二项式（k+1,2）；对于n>2，T（n，k）=k*（T（n-3，k）+T（n-2，k）-k*T（n-1，k））。
对于k>n，T（n，k）=Sum_{j=1..n+1}-二项式（j-n-2，j）*T（n、k-j）。（结束）
例子
数组以T（0,0）开头：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 ...
0 1 6 18 40 75 126 196 288 405 ...
0 1 10 45 136 325 666 1225 2080 3321 ...
0 1 20 135 544 1625 3996 8575 16640 29889 ...
0 1 36 378 2080 7875 23436 58996 131328 266085 ...
0 1 72 1134 8320 39375 140616 412972 1050624 2394765 ...
0 1 136 3321 32896 195625 840456 2883601 8390656 21526641 ...
0 1 272 9963 131584 978125 5042736 20185207 67125248 193739769 ...
0 1 528 29646 524800 4884375 30236976 141246028 536887296 1743421725 ...
...
数学
表[如果[n>0，（（n-k）^k+（n-k罗伯特·拉塞尔2018年11月13日*）
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=0，15，对于（k=0，n，print1（如果（n==0，1，（n-k）^k+（n-k，^ceil（k/2）），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2018年11月15日
（PARI）T（n，k）={（k^n+k^ceil（n/2））/2}\\安德鲁·霍罗伊德2019年9月13日
（岩浆）[[n le 0 select 1 else（（n-k）^k+（n-k）^Ceiling（k/2））/2:k in[0..n]]：n in[0..15]]//G.C.格鲁贝尔2018年11月15日
交叉参考
第0-20行是A000012号,A001477号,A000217号（三角形数字），A002411号（五边形金字塔数），A037270号,A168178号,A071232号,A168194号,A071231号,A168372号,A071236号,A168627号,A071235号,A168663号,A168664号,A170779号,A170780号,1970年,A170791号,A170801型,A170802号.
1, 4, 4, 16, 16, 64, 64, 256, 256, 1024, 1024, 4096, 4096, 16384, 16384, 65536, 65536, 262144, 262144, 1048576, 1048576, 4194304, 4194304, 16777216, 16777216, 67108864, 67108864, 268435456, 268435456, 1073741824, 1073741824, 4294967296
评论
使用最多四个不同符号的长度为n的回文数。
最多使用四种颜色的n种颜色的非关键行数-罗伯特·拉塞尔2018年11月9日
参考文献
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
配方奶粉
a（n）=4^层（（n+1）/2）。
当n>1时，a（n）=4*a（n-2）；a（0）=1，a（1）=4。
例子
长度n=1时，有a（1）=4个回文，a，B，C，D。
在长度n=2时，有a（2）=4个回文，AA，BB，CC，DD。
在长度n=3时，有a（3）=16个回文，AAA，BBB，CCC，DDD，ABA，BAB，疾病控制与预防中心。
数学
表[4^天花板[n/2]，{n，0，40}]（*或*）
系数列表[级数[（1+4x）/（1+2x）（1-2x）），{x，0，31}]，x]（*或*）
线性递归[{0，4}，{1，4}，40](*罗伯特·拉塞尔2018年11月7日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[（3*2^n-（-2）^n）/2:n in[0..31]]；
（岩浆）[4^层（（n+1）/2）:n in[0..40]]//文森佐·利班迪2011年8月16日
最多使用四种不同颜色的n个珠子的可逆字符串结构的数量。
+10
13
1, 1, 2, 4, 11, 31, 107, 379, 1451, 5611, 22187, 87979, 350891, 1400491, 5597867, 22379179, 89500331, 357952171, 1431743147, 5726775979, 22906841771, 91626580651, 366505274027, 1466017950379, 5864067607211
评论
字符串及其反面被认为是等价的。排列颜色不会改变结构。因此，aabc、cbaa和bbac都被认为是相同的。
包含四个或更少非空子集的n个元素的无方向行的集合分区数-罗伯特·拉塞尔2018年10月28日
a（n）是具有n+6个顶点的（未标记的）4条路径的数量。（通过在包含现有4叶的现有4叶团附近迭代添加一个新的4叶（4度顶点），可以从5片团中构造一个顺序至少为6的4路。）
循环出现在Bickle、Eckhoff和Markenzon等人的论文中
参考文献
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
链接
J.Eckhoff，极值区间图，《图论》第17卷第1期（1993年），第117-127页。
L.Markenzon、O.Vernet和P.R.da Costa Pereira，标记k路径图的团差编码方案，离散应用。数学。156 (2008), 3216-3222.
配方奶粉
使用de Bruijn对参考文献中讨论的Polya枚举定理的推广。
对于n>0，a（n）=（16+（-2）^n+15*2^n+4^n）/48-科林·巴克2012年11月24日
总尺寸：（1-4x-3x^2+14x^3-5x^4）/（1-x）*（1-4x）*-科林·巴克，2012年11月24日[调整为抵消0罗伯特·拉塞尔2018年11月9日]
a（n）=总和{j=0..k}（S2（n，j）+Ach（n，j））/2，其中k=4是最大颜色数，S2是斯特林子集数A008277号和Ach（n，k）=[n>=0&n<2&n==k]+[n>1]*。
例子
对于a（4）=11，7种非手性模式为AAAA、AABB、ABAB、ABBA、ABCA、ABBC和ABCD。这4对手性对分别是AAAB-ABBB、AABA-ABAA、AABC-ABCC和ABAC-ABCB。
数学
Ach[n_，k_]：=Ach[n，k]=如果[n<2，Boole[n==k&&n>=0](*A304972型*)
k=4；表[Sum[StirlingS2[n，j]+Ach[n，j]，{j，0，k}]/2，{n，0，40}](*罗伯特·拉塞尔2018年10月28日*）
线性递归[{5，0，-20，16}，{1，1，2，4，11}，40](*罗伯特·拉塞尔2018年10月28日*）
带有4种颜色的n个珠子的可逆串的数量。如果超过1个珠子，则不回文。
+10
5
4, 6, 24, 120, 480, 2016, 8064, 32640, 130560, 523776, 2095104, 8386560, 33546240, 134209536, 536838144, 2147450880, 8589803520, 34359607296, 137438429184, 549755289600, 2199021158400, 8796090925056, 35184363700224, 140737479966720, 562949919866880
评论
利用下面C.G.Bower网络链接中关于变换的公式，可以证明，对于k>=2，序列（C（n）：n>=1）的BHK[k]变换具有G.f.C（x）=Sum_{n>=1}C（n（C（x）^{k-1}-C（x^2）^{（k-1）/2})如果k是奇数。对于k=1，Bower假设（c（n）：n>=1）的BHK[k=1]变换是自身，这意味着输出序列的g.f.是c（x）。（并非所有数学家都接受这个假设，因为长度为1的序列不仅是可逆的，而且也是回文的。）
由于a（m）=BHK（c（n）：n>=1）（m）=Sum_{k=1..m}BHK[k]（c（n）：n>=1），。。。，可以很容易地证明（使用无穷几何级数的和）BHK（c（n）：n>=1）的g.f.是A（x）=（c（x）^2-c（x^2））/（2*（1-c（x。（额外的C（x）当然是由于为BHK[k=1]转换所做的特殊假设。）
这里，当变换是BHK并且输入序列是（c（n）:n>=1）时，BHK（c（n）:n>=1）（m）指示输出序列的第m个元素。类似地，BHK[k]（c（n）：n>=1）（m）表示当变换为BHK[k]（即，使用k个框）且输入序列为（c（n）：n>=1）时，输出序列的第m个元素。
对于当前序列，c（1）=4，对于所有n>=2，c（n）=0，因此，c（x）=4x。将A（x）代入上述公式中，进行代数运算，得到A（x）=2*x*（2-5*x-8*x^2+32*x^3）/（（2*x+1）*（2*x-1）*（4*x-1R.J.马塔尔的公式如下。
（结束）
这个序列的a（n）的公式是拉尔夫·斯蒂芬的猜想72。伊丽莎白·威尔默（Elizabeth Wilmer）解决了这个问题（见以下链接之一中的提案1）。她不接受鲍尔关于长度为1的字符串不是回文的断言-Petros Hadjicostas公司2018年7月5日
配方奶粉
4，0，0，0，…的“BHK”（可逆，同一，未标记）变换。。。
a（2*n+1）=2^（4*n+1）-2^（2*n+1），a（2*n）=2^（4*n-1）-2^（2*n）+2^（2*n-1），a（1）=4。
当n>4时，a（n）=4*a（n-1）+4*a（n-2）-16*a（n-3）。
总尺寸：2*x*（-5*x+2-8*x^2+32*x^3）/（2*x+1）*（2*x-1）*（4*x-1。
（结束）
对于n>1和偶数，a（n）=2^（n-1）*（2^n-1）。
对于n>1和奇数，a（n）=2^（2*n-1）-2^n。
（结束）
黄体脂酮素
（PARI）Vec（2*x*（2-5*x-8*x^2+32*x^3）/（1-2*x）*（1+2*x）x（1-4*x））+O（x^30）\\科林·巴克2017年3月8日
0, 0, 0, 12, 120, 780, 4212, 20424, 93360, 409380, 1749780, 7338792, 30394560, 124705140, 508291812, 2061607224, 8332140720, 33585777060, 135116412660, 542785800072, 2178110589600, 8733345234900
参考文献
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
配方奶粉
总尺寸：12*x^4*（3*x+1）*（8*x^4-3*x^3-2*x^2-x+1）/马克西姆·沃兹尼（Voznyy（AT）mail.ru），2009年7月27日[更正人R.J.马塔尔，2009年9月16日]
a（n）=k！（S2（n，k）+S2（天花板（n/2），k））/2，其中k=4是颜色数，S2是斯特林子集数-罗伯特·拉塞尔2018年9月25日
例子
对于n=4，这12行是ABCD的12个排列，不包括任何相互反转。然后，12个手性对中的每一个，例如ABCD-DCBA，只计算一次-罗伯特·拉塞尔2018年9月25日
数学
k=4；表[（箍筋S2[i，k]+箍筋S2[天花板[i/2]，k]）k/2，{i，k，30}](*罗伯特·拉塞尔2017年11月25日*）
系数列表[级数[12 x ^3（3 x+1）（8 x ^4-3 x ^3-2 x ^2-x+1）/（（x-1）（4 x-1）(*文森佐·利班迪2018年9月26日*）
0, 0, 0, 0, 60, 900, 8400, 63000, 417120, 2551560, 14804700, 82764900, 450518460, 2404510500, 12646078200, 65771496000, 339165516120, 1737486149760, 8855359634100, 44952367981500, 227475768907860, 1148269329527100, 5785013373810000, 29100047092479000
参考文献
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
链接
常系数线性递归的索引项，签名（13，-45，-75695，-575，319555954706，-14918216012840，-7200）。
配方奶粉
总尺寸：-60*x^5*（120*x^7-17*x^6-50*x^5-32*x^4+20*x^3+10*x^2-2*x-1）/。[科林·巴克2012年9月3日]
a（n）=k！（S2（n，k）+S2（天花板（n/2），k））/2，其中k=5是颜色数，S2是斯特林子集数-罗伯特·拉塞尔2018年9月25日
例子
对于n=5，60行是ABCDE的60个排列，不包括任何相互反转。60个手性对中的每一个，如ABCDE-EDCBA，然后只计算一次。
数学
k=5；表[（箍筋S2[i，k]+箍筋S2[天花板[i/2]，k]）k/2，｛i，30｝](*罗伯特·拉塞尔2017年11月25日*）改编
系数列表[级数[-60*x^4*（120*x^7-17*x^6-50*x^5-32*x^4+20*x^3+10*x^2-2*x-1）/（（x-1）*（2*x-1(*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年9月29日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=60*（斯特林（n，5，2）+斯特林（ceil（n/2），5，2中））\\阿尔图·阿尔坎2018年9月27日
（岩浆）[60*（搅拌秒（n，5）+搅拌秒（天花板（n/2），5））：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2018年9月30日
0, 0, 0, 0, 0, 360, 7560, 95760, 952560, 8217720, 64615680, 476515080, 3355679880, 22837101840, 151449674040, 984573656640, 6302070915840, 39847411326600, 249509384858160, 1550188410555960, 9570844671224760
参考文献
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
链接
常系数线性递归的索引项，签名（19，-117，81，1883，-5915，-6615，53235，-30394，-191744，264852，258804，-634248，43920，505440，-259200）。
配方奶粉
总尺寸：360*x^6*（8*x^2-x-1）*6*x^2-1））-科林·巴克2012年9月3日
a（n）=k！（S2（n，k）+S2（天花板（n/2），k））/2，其中k=6是颜色数，S2是斯特林子集数-罗伯特·拉塞尔2018年9月25日
例子
对于n=6，360行是ABCDEF的360个排列，不包括任何相互反转。然后，360个手性对中的每一个，例如ABCDEF-FEDCBA，只计算一次-罗伯特·拉塞尔2018年9月25日
数学
k=6；表[（箍筋S2[i，k]+箍筋S2[天花板[i/2]，k]）k/2，{i，k，30}](*罗伯特·拉塞尔2017年11月25日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=我的（k=6）；k/2*（斯特林（n，k，2）+斯特林（ceil（n/2），k，2中））\\阿尔图·阿尔坎2018年9月27日
最多使用四种不同颜色的n个珠子的基本（非周期）可逆字符串数。
+10
三
4, 6, 36, 126, 540, 2034, 8316, 32760, 131544, 524250, 2099196, 8388450, 33562620, 134217594, 536903100, 2147483520, 8590065660, 34359735816, 137439477756, 549755813250, 2199025344348, 8796093020154
参考文献
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
4个元素的n元组数，不包括反向重复和仅由相同元素的重复组成的元组数。
+10
1
0, 0, 6, 36, 132, 540, 2076, 8316, 32892, 131580, 524796, 2099196, 8390652, 33562620, 134225916, 536903676, 2147516412, 8590065660, 34359869436, 137439477756, 549756338172, 2199025352700, 8796095119356, 35184380477436, 140737496743932
评论
此外，如果排除反向拷贝和同聚寡核苷酸（即相同核碱基的重复：aaa…、ccc…、ggg…和ttt…（或uuu…）），则长度为n的不同DNA或RNA序列的数量。
配方奶粉
当n>0时，a（n）=（2^（n-2）*（（-1）^（n+1）+3）+2^（2*n-1）-4）。
总尺寸：6*x^2*（8*x^2-x-1）/（（x-1）*（2*x+1）*（2%x-1）x（4*x-1））。
a（n）=5*a（n-1）-20*a（n-3）+16*a（-n4）-科林·巴克2018年11月14日
例子
a（2）=6，因为{a，c，g，t}给出了六个二元组（duples）：{a，c}，{a，g}，}，a，t}，{c，t}.，{g，t{作为4:{a，a}，g}被排除在外（{c，a}是{a，c}等的副本），16个可能的2元组中只剩下6个。
数学
a[n]：=（2^（#-2）*（（-1）^（#1）+3）+2^（2*#1）-4）范围@n; a[25]（*或*）
系数列表[系列[6*（8*x^3-x^2-x）/（16*x^4-20*x^3+5*x-1），{x，0，20}]，x]
线性递归[{5，0，-20，16}，{0，0，6，36，132}，30](*哈维·P·戴尔2023年3月20日*）
黄体脂酮素
（PARI）连接（[0,0]，Vec（6*x^2*（1+x-8*x^2）/（1-x）*（1-2*x）*\\科林·巴克2018年11月14日
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