显示找到的21个结果中的1-10个。
1, 0, 8190, 698880, -754790400, -131455134720, 90235527782400, 25034722952279040, -11631379080860106750, -4740180695347850188800, 1500620323887236434821120, 888527739621938585682240000, -181995668700704689414022799360, -164466129435036361896228722795520
参考文献
N.J.A.Sloane,《七个错开的序列》,《向一个花脸拼图机致敬》,E.Pegg Jr.、A.H.Schoen和T.Rodgers(编辑),A.K.Peters、Wellesley,马萨诸塞州,2009年,第93-110页。
链接
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,关于生成函数n次根的可积性,J.组合理论,A辑,113(2006),1732-1745。
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,关于生成函数n次根的可积性,arXiv:math/0509316[math.NT],2005-2006。
例子
更准确地说,水蛭晶格的θ级数(A008408号)开始于1+196560*q^4+16773120*q^6+398034000*q^8+4629381120*qq^10+。。。它的第24根是1+8190*q^4+698880*q^6-754790400*q^8-131455134720*q^10+。。。
数学
条款=14;s=(-45/16椭圆Theta[2,0,q]^8椭圆Theta[3,0,q]^8椭圆theta[4,0,q]^8+1/8(椭圆Theta[2],0,q]^8+椭圆Theta[3],0,q]^8+EllipticTheta[4,0,q]^8)^3)^(1/24)+O[q]^(2项);(*Jean-François Alcover公司,2017年7月7日,来自LatticeData(Leech)*)
0, 196560, 16773120, -18919981080, -3292295086080, 2312547886368720, 640457437563740160, -302667453389051314200, -123005476312830648176640, 39529719620247267255853008, 23306082528463942764630528000, -4849033309391159571741461446680
例子
1+196560*q^2+16773120*q^3+398034000*q^4+…=(1-q^2)^(-196560)*。
Ramanujan的tau函数(或Ramanujian数,或tau数)。 (原名M5153 N2237)
+10 206
1, -24, 252, -1472, 4830, -6048, -16744, 84480, -113643, -115920, 534612, -370944, -577738, 401856, 1217160, 987136, -6905934, 2727432, 10661420, -7109760, -4219488, -12830688, 18643272, 21288960, -25499225, 13865712, -73279080, 24647168
评论
全模组重量12的尖点形式的系数。
据推测,τ(n)从不为零(这一点已被验证为n<816212624008487344127999,见Derickx,van Hoeij,Zeng参考文献)。
M.J.Hopkins提到,唯一已知的tau(p)==1(mod p)为11、23和691的素数p,决定是否有无穷多这样的p是一个开放的问题,而在35000以下没有其他已知的p。西蒙·普劳夫(Simon Plouffe)目前已搜索到陶(314747),没有发现其他例子-N.J.A.斯隆2007年3月25日
Martin(1996)表一列出的74个eta商中排名第一。
利用Dedekind的eta函数和判别式Delta,我们可以得到eta(z)^24=Delta(z)/(2*Pi)^12=Sum_{m>=1}τ(m)*q^m,其中q=exp(2*Pi*i*z),z位于复上半平面,其中i是虚单位。Delta是Hecke算子T_n(n>=1)的本征函数,本征值为tau(n):T_n Delta=tau(n)Delta。由此得出以下公式部分中给出的τ(m)*τ(n)的公式。例如,参见Koecher-Krieg参考文献,Lemma和Satz,第212页。或第114页的Apostol参考文献,等式(3)和第131页的第6.13节第一部分-沃尔夫迪特·朗2016年1月26日
关于a(n)的Dirichlet级数F(s)满足的函数方程,Re(s)>7,见Hardy参考,第173页,(10.9.4)。它是(2*Pi)^(-s)*Gamma(s)*F(s)=。这归因于J.R.Wilton,1929年,第185页-沃尔夫迪特·朗2017年2月8日
参考文献
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链接
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配方奶粉
G.f.:x*Product_{k>=1}(1-x^k)^24=x*A(x)^8,带有A010816号.
G.f.是满足f(-1/t)=(t/i)^12f(t)的周期1傅立叶级数,其中q=exp(2pi i t)-迈克尔·索莫斯2011年7月4日
如果p是素数,abs(a(n))=O(n^(11/2+ε)),abs。这些都是Ramanujan推测的,并由Deligne证明。
扎吉尔说:这些公式的证明,如果从头开始写出来的话,估计有2000页;在他的书中,马宁引用了这一比率的可能记录:“证明长度:陈述长度”在整个数学中。
G.f.A(x)满足0=f(A(x,A(x^2),A(x ^4)),其中f(u,v,w)=u*w*(u+48*v+4096*w)-v^3-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
a(n)=τ(n)(τ(0)=0):τ(m)*tau(n)=Sum_{d|gcd(m,n)}d^11*tau。参见上文注释和Koecher-Krieg参考,第212页,等式(5)-沃尔夫迪特·朗2016年1月21日
Dirichlet级数作为乘积:和{n>=1}a(n)/n^s=product{n>=1}1/(1-a(素数(n))/prime(n)^s+素数(n)^(11-2*s))。请参阅Mordell链接,等式(2)-沃尔夫迪特·朗,2016年5月6日。另见哈代,第164页,等式(10.3.1)和(10.3.8)-沃尔夫迪特·朗2017年1月27日
G.f.eta(z)^24(q=exp(2*Pi*i*z))也是(E_4(q)^3-E_6(q)*2)/1728。参见哈代参考文献,第166页,等式(10.5.3),Q=E_4和R=E_6,见A004009号和A013973号分别是-沃尔夫迪特·朗2017年1月30日
通用公式:x*exp(-24*Sum_{k>=1}x^k/(k*(1-x^k)))-伊利亚·古特科夫斯基2018年2月5日
[-24,-24,-25,-24…]的欧拉变换-西蒙·普劳夫,2018年6月21日
例子
G.f.=q-24*q^2+252*q^3-1472*q^4+4830*q^5-6048*q^6-16744*q^7+84480*q^8-113643*q^9+。。。
35328=(-24)*(-1472)=a(2)*a(4)=a。参见上文关于T_n Delta=τ(n)Delta的注释-沃尔夫迪特·朗2016年1月21日
MAPLE公司
M:=50;t1:=系列(x*mul((1-x^k)^24,k=1..M),x,M);A000594号:=n->系数(t1,x,n);
数学
系数列表[Take[Expand[Product[(1-x^k)^24,{k,1,30}],30],x](*或*)
(*首先做*)需求[“数字理论`Ramanujan`”](*然后*)表[RamanujanTau[n],{n,30}](*迪安·希克森2003年1月3日*)
最大值=28;g[k_]:=-BernoulliB[k]/(2k)+和[DivisorSigma[k-1,n-1]*q^(n-1),{n,2,max+1}];系数列表[系列[8000*g[4]^3-147*g[6]^2,{q,0,max}],q]//静止(*Jean-François Alcover公司,2012年10月10日,来自模块化表单*)
RamanujanTau[Range[40]](*函数RamanujanTau现在是Mathematica核心语言的一部分,因此在使用之前不再需要加载NumberTheory `Ramanujian`)(*哈维·P·戴尔2012年10月12日*)
a[n_]:=级数系数[q QPochhammer[q]^24,{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*)
a[n_]:=具有[{t=Log[q]/(2Pi I)},系列系数[Series[DedekindEta[t]^24,{q,0,n}],{q、0,n{]];(*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*)
黄体脂酮素
(朱莉娅)
使用Nemo
函数DedekindEta(len,r)
R、 z=多项式环(ZZ,“z”)
e=eta_qexp(r,len,z)
[coeff(e,j)for j in 0:len-1]结束
RamanujanTauList(len)=DedekindEta(len,24)
RamanujanTauList(28)|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日
(Magma)M12:=模形式(Gamma0(1),12);t1:=基础(M12)[2];PowerSeries(t1[1],100);系数($1);
(岩浆)基础(CuspForms(Gamma1(1),12),100)[1]/*迈克尔·索莫斯,2014年5月27日*/
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,polceoff(x*eta(x+x*O(x^n))^24,n))};
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,polceoff(x*(总和(i=1,(平方(8*n-7)+1))\2,(-1)^i*(2*i-1)*x^((i^2-i)/2),O(x^n)))^8,n))};
(PARI)拉紧(p,e)={
如果(e==1,
(65*西格玛(p,11)+691*西格马(p,5)-691*252*总和(k=1,p-1,sigma(k,5)*sigma
,
my(t=拉紧(p,1));
总和(j=0,e\2,
(-1)^j*二项式(e-j,e-2*j)*p^(11*j)*t^(e-2*j)
)
)
};
a(n)=我的(f=系数(n));触头(i=1,#f[,1],拉紧(f[i,1]、f[i、2]);
(PARI)单独计算术语(Douglas Niebur,Ill.J.Math.,191975):
a(n)=n^4*σ(n)-24*和(k=1,n-1,(35*k^4-52*k^3*n+18*k^2*n^2)*sigma(k)*simma(n-k));
向量(33,n,a(n))\\乔格·阿恩特2015年9月6日
(鼠尾草)CuspForms(Gamma1(1),12,prec=100).0#迈克尔·索莫斯2013年5月28日
(鼠尾草)列表(delta_qexp(100))[1:]#更快彼得·卢什尼2016年5月16日
(红宝石)
定义s(n)
s=0
如果n%i==0},则为(1..n).each{|i|s+=i
秒
结束
ary=[1]
a=[0]+(1..n-1).map{i|s(i)}
(1..n-1).每个{i|ary<<(1..i).注入(0){s,j|s-24*a[j]*ary[-j]}/i}
ary系列
结束
(红宝石)
ary=[0,1]
(2..n)每个{|i|
s、 t,u=0,1,0
(1..n).每个{|j|
t+=9*j
u+=j
如果i<=u,则中断
s+=(-1)**(j%2+1)*(2*j+1)*(i-t)*ary[-u]
}
元<<s/(i-1)
}
数组[1..-1]
结束
(Python)
从symy导入divisorsigma
定义A000594号(n) :返回n**4*除数sigma(n)-24*((m:=n+1>>1)**2*#柴华湖2022年11月8日
(0)=24的怪物组的1A级McKay-Thompson级数。 (原名M5179)
+10 205
1, 24, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184
评论
“(j函数的)最自然的归一化是将常数项设置为24,即j函数系数的Rademacher无穷级数所给出的数字”。[博切尔群岛]
参考文献
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配方奶粉
a(n)~exp(4*Pi*sqrt(n))/(平方(2)*n^(3/4))-瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年6月28日
例子
G.f.=1/q+24+196884*q+21493760*q^2+86429970*q^3+20245856256*q^4+。。。
数学
连接[{1,24},列表@@Expand[Normal[Series[1728*KleinInvariantJ[tau],{tau,0,29}]/。tau->1]//删除[{{3},{5}}](*Jean-François Alcover公司2015年9月27日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<-1,0,polceoff(ellj(x+x^3*O(x^n))-720,n))}/*迈克尔·索莫斯2012年5月5日*/
(PARI){a(n)=局部(a);如果(n<-1,0,n++;a=eta(x+x*O(x^n))^24;polceoff((1+65520/691*(总和(k=1,n,sigma(k,11)*x^k)-x*a))/a,n))}/*迈克尔·索莫斯2012年5月5日*/
(PARI)q='q+O('q^66);向量(ellj(q)-720)\\乔格·阿恩特2016年4月24日
Pi^12/12!的十进制展开式!,水蛭晶格的绝对密度。
+10 12
0, 0, 1, 9, 2, 9, 5, 7, 4, 3, 0, 9, 4, 0, 3, 9, 2, 3, 0, 4, 7, 9, 0, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 3, 6, 8, 5, 9, 5, 7, 6, 4, 0, 1, 6, 8, 4, 7, 1, 8, 1, 5, 0, 0, 0, 3, 0, 3, 3, 5, 2, 2, 3, 4, 6, 4, 7, 6, 1, 7, 3, 3, 1, 4, 9, 5, 6, 3, 4, 2, 5, 0, 9, 8, 5, 5, 3, 1, 4, 8, 7
链接
亨利·科恩(Henry Cohn)、阿比纳夫·库马尔(Abhinav Kumar)、斯蒂芬·米勒(Stephen D.Miller)、丹妮洛·拉德琴科(Danylo Radchenko)和玛丽娜·维亚佐夫斯卡(Maryna Viazovska,24维球体堆积问题《数学年鉴》,185(2017),1017-1033;arXiv:1603.06518[math.NT],2016-2017年。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane,球形填料、格和群,Springer-Verlag,1998年(另见更正和更新),第4章,第11节。
例子
0.001929574309403923047903345563685957640168471815...
数学
真数字[N[Pi^12/12!,120]]//第一个(*迈克尔·德弗利格2015年11月12日*)
黄体脂酮素
(PARI){默认值(realprecision,50080);x=Pi^12/12!;对于(n=1100,d=楼层(x);x=(x-d)*10;打印1(d,“,”)}
1, 196560, 52416000, 6218175600, 565866362880, 45792819072000, 3486157968384000, 256206274225902000, 18422726047165440000, 1305984407917646096640, 91692325887531393024000
参考文献
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MAPLE公司
#极值θ级数:
带有(数字理论):B:=1:
#设置mu:
从1到10亩做
#设置最大度数:
md:=mu+3;
f:=1+240*add(sigma[3](i)*x^i,i=1..md);
f:=系列(f,x,md);
f:=系列(f^3,x,md);
g:=系列(x*mul((1-x^i)^24,i=1..md),x,md);
W0:=系列(f^mu,x,md):
h:=系列(g/f,x,md):
A:=系列(W0,x,md):
Z:=A:
因为我从1到mu do
Z:=系列(Z*h,x,md);
A:=系列(A-系数(A,x,i)*Z,x,md);
日期:
B:=B,系数(A,x,mu+1);
日期:
l打印(B);
数学
条款=11;Reap[For[mu=1,mu<=terms,mu++,md=mu+3;f=1+240*Sum[DivisorSigma[3,i]*x^i,{i,1,md}];f=系列[f,{x,0,md}];f=系列[f^3,{x,0,md}];g=系列[x*产品[(1-x^i)^24,{i,1,md}],{x,0,md}];W0=系列[f^mu,{x,0,md}];h=系列[g/f,{x,0,md}];A=系列[W0,{x,0,md}];Z=A;对于[i=1,i<=mu,i++,Z=级数[Z*h,{x,0,md}];A=系列[A-系列系数[A,{x,0,i}]*Z,{x、0,md}]];an=级数系数[A,{x,0,mu+1}];打印[an];母猪[an]][[2,1]](*Jean-François Alcover公司2017年7月8日,改编自枫叶*)
n维最大接吻数:可以接触另一个单位球体的最大单位球体数。
+10 5
评论
已知另外两个术语:a(8)=240,a(24)=196560[Odlyzko和Sloane;Levenstein]。
(5)之后的下限为40、72、126、240(精确)、306、500-N.J.A.斯隆2015年5月15日
看起来,当n是偶数时,a(n)的下界可以写成f(n)=(2n+2^n)-k(n)^2,其中k(2)=2,对于n>2,k(n)=2^(n/2)-q,q={2^t,3*2^t},t是整数,t>0,2<=q<=n,和f(n-谢尔盖·帕夫洛夫,2017年3月17日
看起来,当n是偶数时,a(n)的上界可以写成f(n)=(2n+2^n)-k(n)^2,其中k(2)=0,对于n>2,k(n)=2^(n/2)-q,q={2^t,3*2^t},t是整数,t>0,n<=q<=2n,f(n-谢尔盖·帕夫洛夫2017年3月19日
参考文献
J.H.Conway和N.J.A.Sloane,“球形填料、晶格和群”,Springer-Verlag出版社,第3期。编辑,第3章,特别是第22、23页等。
穆辛(Oleg Rustumovich Musin)。《二十五个球体的问题》,《俄罗斯数学调查》58.4(2003):794-795。
链接
Eiichi Bannai和N.J.A.Sloane,某些球面码的唯一性、加拿大。数学杂志。33(1981),第2期,437-449。
J.Leech,十三个球体的问题,数学。天然气。,40 (1956), 22-23.
V.I.Levenshtein,n维欧氏空间中填充的界杜克。阿卡德。恶心。,245 (1979), 1299-1303; 苏联数学中的英语翻译。Doklady,20(1979),417-421。
Hans D.Mittelmann和Frank Vallentin,亲吻数的高精度半定规划界,arXiv:0902.1105[math.OC],2009年;实验数学。(2009),第19期,174-178。
例子
对于a(2),可以触及一便士的最大便士数是6。
对于a(3),可以同时接触相同半径中心球体的球体最多为12个。
1, 16773120, 39007332000, 15281788354560, 2972108280960000, 406954241261568000, 45569082381053868000, 4499117081888292864000, 408472720963469499617280, 34975479259332252426240000
评论
尽管这些最初增加,但最终在约1700项(即尺寸约40800)时为负值-参见参考文献。
参考文献
J.H.Conway和N.J.A.Sloane,“球形填料、晶格和群”,Springer-Verlag。
链接
C.L.Mallows、A.M.Odlyzko和N.J.A.Sloane,模形式、格和码的上界,阿尔及利亚法学杂志。,36 (1975), 68-76.
C.L.Mallows和N.J.A.Sloane,自对偶码的一个上界《信息与控制》,22(1973),188-200。
G.Nebe、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,自对偶码与不变量理论柏林施普林格出版社,2006年。
E.M.Rains和N.J.A.Sloane,自对偶码,《编码理论手册》第177-294页,爱思唯尔出版社,1998年(摘要,pdf格式,秒).
数学
术语=10;收割[For[mu=1;打印[1];母猪[1],mu<terms,mu++,md=mu+3;f=1+240*总和[DivisorSigma[3,i]*x^i,{i,1,md}];f=系列[f,{x,0,md}];f=系列[f^3,{x,0,md}];g=系列[x*产品[(1-x^i)^24,{i,1,md}],{x,0,md}];W0=系列[f^mu,{x,0,md}];h=系列[g/f,{x,0,md}];A=系列[W0,{x,0,md}];Z=A;对于[i=1,i<=mu,i++,Z=Series[Z*h,{x,0,md}];A=系列[A-系列系数[A,{x,0,i}]*Z,{x、0,md}]];an=级数系数[A,{x,0,mu+2}];打印[an];母猪[an]][[2,1]](*Jean-François Alcover公司2017年7月8日,改编自Maple项目A034597号*)
权重为12的雅可比形式和与Leech晶格范数为2的(不存在)晶格矢量相关的指数1。
+10 2
1, 0, 0, -4, 6, 0, 0, 32736, 131076, 0, 0, 3669012, 9172952, 0, 0, 95691552, 188239518, 0, 0, 1142929524, 1959705000, 0, 0, 8506686816, 13293227112, 0, 0, 45763087664, 67073100864, 0, 0, 195387947712, 272567759508, 0, 0, 698077783656, 938807478318, 0, 0, 2176654050912
评论
设J(h)=E_8*E_{4,1}+(2h-60)*phi{12,1}是权重12的雅可比形式,指数1与Coxeter数h的Niemeier格的范数2向量相关。
设N(h,N)是格的范数2n的向量个数,如果h是Niemeier格的Coxeter数,则有N(h、N)=c(4n)+2*sum_{1<=r<=sqrt(4n”)}c(4n-r^2)。注意N(0,N)=a(4n)-2*和a(4n-r^2)=A008408号(n) ,为了水蛭格子!还应注意,除3外,a(3)<0和a(n)对于n<=1000为非负。
参考文献
艾希勒和扎吉尔,《雅可比形式理论》,比克豪泽,1985年。
配方奶粉
E_8*E_{4,1}-60*phi_{12,1}。E是Eisenstein-Jacobi级数,phi_{12,1}是权重12和指数1的唯一归一化Jacobi尖点形式。
作者
Kok Seng Chua(chuaks(AT)ihpc.nus.edu.sg),2000年7月16日
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 30, 35, 36, 39, 40, 42, 45, 48, 52, 54, 56, 60, 63, 65, 70, 72, 78, 80, 84, 90, 91, 104, 105, 108, 112, 117, 120, 126, 130, 135, 140, 144, 156, 168, 180, 182, 189, 195, 208, 210, 216, 234, 240, 252, 260, 270, 273, 280, 312, 315, 336, 351, 360, 364, 378, 390, 420, 432,455
评论
196560是水蛭格子的亲吻数(参见。A008408号). 这是“月亮号”调查中的一个著名数字。
链接
Eiichi Bannai和N.J.A.Sloane,某些球面码的唯一性、加拿大。数学杂志。33(1981),第2期,437-449。
J.H.Conway和S.P.Norton,怪诞的月亮,公牛。伦敦。数学。《社会分类》第11卷(1979年),第3期,308-339页。
数学
除数[196560](*保罗·沙萨,2024年7月1日*)
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