搜索： a002696-编号：a002696
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A092392号
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| 按行读取三角形：T（n，k）=C（2*n-k，n），0<=k<=n。 |
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+10
27
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1, 2, 1, 6, 3, 1, 20, 10, 4, 1, 70, 35, 15, 5, 1, 252, 126, 56, 21, 6, 1, 924, 462, 210, 84, 28, 7, 1, 3432, 1716, 792, 330, 120, 36, 8, 1, 12870, 6435, 3003, 1287, 495, 165, 45, 9, 1, 48620, 24310, 11440, 5005, 2002, 715, 220, 55, 10, 1, 184756, 92378, 43758, 19448, 8008, 3003, 1001, 286, 66, 11, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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作为平方数组[二项式（2*n+k，n+k）]n，k>=0，这是Bala链接意义上的广义Riordan数组（1/sqrt（1-4*x），c（x）），其中c（xA000108号。
方阵分解为（1/（2-c（x）），x*c（xA100100号平方帕斯卡矩阵[二项式（n+k，k）]n，k>=0。请参阅下面的示例。（完）
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链接
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Ik-Pyo Kim、Michael J.Tsatsomeros、，夏皮罗开放式问题中的逆向关系，arXiv:1707.06590[math.CO]，2017年。见第7页。
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配方奶粉
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第k列的G.f.：2^k/[sqrt（1-4*x）*（1+sqrt（1-4*x））^k]。
作为数字三角形，这是Riordan数组（1/sqrt（1-4*x），x*c（x）），c（xA000108号. -保罗·巴里2005年6月24日
G.f.:A（x，y）=1/sqrt（1-4*x）/（1-y*x*C（x）），其中C（x）是加泰罗尼亚数字的G.f-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年3月19日
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例子
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发件人保罗·巴里，2009年10月14日：（开始）
三角形开始
1,
2, 1,
6、3、1，
20, 10, 4, 1,
70, 35, 15, 5, 1,
252, 126, 56, 21, 6, 1,
924, 462, 210, 84, 28, 7, 1,
3432, 1716, 792, 330, 120, 36, 8, 1
生产阵列是
2, 1,
2, 1, 1,
2, 1, 1, 1,
2, 1, 1, 1, 1,
2, 1, 1, 1, 1, 1,
2, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
2、1、1、1,1、1、1,1,1（结束）
/1 1 1 1 ...\ / 1 \/1 1 1 1 ...\
|2 3 4 5 ...| | 1 1 ||1 2 3 4 ...|
|6 10 15 21 ...| = | 3 2 1 ||1 3 6 10 ...|
|20 35 56 84 ...| |10 6 3 1 ||1 4 10 20 ...|
|70 ... | |35 ... ||1 ... |
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MAPLE公司
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二项式（2*n-k，n-k）；
结束进程：
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数学
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表[二项式[2n-k，n]，{n，0，10}，{k，0，n}]//平展(*迈克尔·德弗利格，2016年3月19日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a092392 n k=a092392_tab！！（n-1）！！（k-1）
a092392_row n=a092392表格！！（n-1）
a092392_tabl=地图背面a046899_tabl
（最大值）
C（x）：=（1平方（1-4*x））/2；
A（x，y）：=（1/sqrt（1-4*x））/（1-y*C（x））；
（PARI）对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（二项式（2*n-k，n），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年11月22日
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（2*n-k，n）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//G.C.格鲁贝尔2017年11月22日
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交叉参考
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第0-14行是A000984美元,A001700号,A001791号,A002054号,A002694号,A003516号,A002696号,A030053型,A004310号,A030054型,A004311号,A030055型,A004312号,A030056号,A004313号。
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关键词
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作者
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扩展
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对角线总和注释由更正保罗·巴里2010年4月14日
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状态
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经核准的
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A100257号
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| 2^（k-1）*x^k在T（n，x）方面的展开三角形，在T的递减次数n中，T是切比雪夫多项式。 |
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+10
18
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1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 4, 0, 3, 1, 0, 5, 0, 10, 0, 1, 0, 6, 0, 15, 0, 10, 1, 0, 7, 0, 21, 0, 35, 0, 1, 0, 8, 0, 28, 0, 56, 0, 35, 1, 0, 9, 0, 36, 0, 84, 0, 126, 0, 1, 0, 10, 0, 45, 0, 120, 0, 210, 0, 126, 1, 0, 11, 0, 55, 0, 165, 0, 330, 0, 462, 0, 1, 0, 12, 0, 66, 0, 220, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,9
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第795页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
Daniel J.Greenhoe，框架和底座：结构和设计，0.20版，信号处理ABC系列（2019）第4卷，见第175页。
Daniel J.Greenhoe，一本关于变换的书第0.10版，信号处理ABC系列（2019）第5卷，见第97页。
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例子
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x^0=T（0，x）
x^1=T（1，x）+0T（0，x）
2x^2=T（2，x）+0T（1，x）+1T（0，x）
4x^3=T（3，x）+0T（2，x）+3T（1，x）+0T（0，x）
8x^4=T（4，x）+0T（3，x）+4T（2，x）+0T（1，x）+3T（0，x）
16x^5=T（5，x）+0T（4，x）+5T（3，x）+8T（2，x）+10T（1，x）/0T（0，x）
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数学
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a[k_，n_]：=如果[k==1，1，如果[EvenQ[n]|k<0|n>k，0，如果[n>=k-1，二项式[2*Floor[k/2]，Floor[k/2]]/2，二项法[k-1，Floor[2]]]]；
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黄体脂酮素
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（PARI）a（k，n）=if（k==1，1，if（n%2==0||k<0||n>k，0，if，（n>=k-1，二项式（2*楼层（k/2），楼层（k/3））/2，二项法（k-1，楼层（n/2）））
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交叉参考
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对角线是（带交错零）两次A001700号,A001791号,A002054号,A002694号,A003516号,A002696号,A030053型,A004310美元,A030054型,A004311号,A030055型,A004312号,A030056号,A004313号。
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 5, 1, 14, 8, 2, 42, 45, 25, 7, 1, 132, 220, 198, 112, 44, 12, 2, 429, 1001, 1274, 1092, 700, 352, 140, 42, 9, 1, 1430, 4368, 7280, 8400, 7460, 5392, 3262, 1664, 716, 256, 74, 16, 2, 4862, 18564, 38556, 56100, 63648, 59670, 47802, 33338, 20466, 11115
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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还有[n]与k交叉的排列数（见Corteel，命题4）。
此外，广义模式13-2（可选：2-13、2-31或31-2）中恰好出现k次（可能重叠）的[n]排列数-阿洛伊斯·海因茨2015年11月14日
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链接
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S.Corteel，排列的交叉和排列，高级申请。数学38（2007）149-163。
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配方奶粉
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例子
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三角形开始：
0 : 1;
1 : 1;
2 : 2;
3 : 5, 1;
4 : 14, 8, 2;
5 : 42, 45, 25, 7, 1;
6 : 132, 220, 198, 112, 44, 12, 2;
7 : 429, 1001, 1274, 1092, 700, 352, 140, 42, 9, 1;
...
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MAPLE公司
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b： =proc（u，o）选项记住；
`如果`（u+o=0，1，加上（b（u-j，o+j-1），j=1..u）+
加（展开（b（u+j-1，o-j）*x^（j-1）），j=1..o））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n，0））：
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数学
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b[u_，o_]：=b[u，o]=如果[u+o==0，1，总和[b[u-j，o+j-1]，{j，1，u}]+总和[Expand[b[u+j-1，o-j]*x^（j-1）]，{j，1，o}]]；T[n_]：=函数[p，表[系数[p，x，i]，{i，0，指数[p，x]}][b[n，0]]；表[T[n]，{n，0，10}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2016年1月31日之后阿洛伊斯·海因茨*)
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交叉参考
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k=0-10列给出：A000108号,A002696号,A094218号,A094219号,A120812号,2013年1月,A120814号,A120815号,A120816号,A264496型,A264497型。
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关键词
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非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1、1、2、1、4、6、1、6、15、20、1、8、28、56、70、1、10、45、120、210、252、1、12、66、220、495、792、924、1、14、91、364、1001、2002、3003、3432、1、16、120、560、1820、4368、8008、11440、12870、1、18、153、816、3060、8568、18564、31824、43758、48620
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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三角形a（n，k）出现在公式F（2*1+1）^（2*n）=（总和（a（n）*l（2*（n-k）*（2*l+1）），k=0..n-1）+a（n、n））/5^n，n>=0，l>=0中，其中F=A000045号（斐波那契）和L=A000032号（卢卡斯）。
符号三角形（n，k）：=a（n，k）*（-1）^k出现在公式F（2*l）^（2*n）=（总和（如（n，x）*l（4*（n-k）*l），k=0..n-1）+如（n、n））/5^n，n>=0，l>=0。利用F和L的Binet-de-Moivre公式和二项式公式进行证明。（完）
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链接
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配方奶粉
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a（n，k）=（n，k-1）*（2n+1）/k-1），其中a（n、0）=1。
总面积：1/（（1-sqrt（1-4*x*y））^4/（16*x*y^2）+sqrt-弗拉基米尔·克鲁奇宁2021年1月26日
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例子
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行开始
(1),
(1,2),
(1,4,6),
(1,6,15,20)
等。
行n=2，（1,4,6）：
F（2*l+1）^4=（1*l（4*（2*l+1））+4*l（2*（2*l+1））+6）/25，
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数学
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压扁[表[二项式[2 n，k]，｛n，0，20｝，｛k，0，n｝]](*G.C.格鲁贝尔，2018年6月28日*）
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黄体脂酮素
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（极大值）create_list（二项式（2*n，k），n，0，12，k，0，n）；/*伊曼纽尔·穆纳里尼，2011年3月11日*/
（PARI）对于（n=0，20，对于（k=0，n，print1（二项式（2*n，k），“，”））\\G.C.格鲁贝尔，2018年6月28日
（岩浆）[[二项式（2*n，k）：k in[0..n]]：n in[0..20]]//G.C.格鲁贝尔，2018年6月28日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A213345型
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| N>=3自旋1/2粒子体系中的3-量子跃迁，按组合指数列示。 |
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+10
三
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1, 8, 40, 5, 160, 60, 560, 420, 21, 1792, 2240, 336, 5376, 10080, 3024, 84, 15360, 40320, 20160, 1680, 42240, 147840, 110880, 18480, 330, 112640, 506880, 532224, 147840, 7920, 292864, 1647360, 2306304, 960960, 102960
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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3,2
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评论
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这个a（n）表示三重量子跃迁（q=3）。
它列出了扁平三角形T（3；N，k），行N=3,5，。。。柱k=0..层（（N-3）/2）。
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参考文献
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链接
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斯坦尼斯拉夫·斯库拉，OEIS上的磁共振，Stan的核磁共振博客（2014年12月31日），2019年11月12日检索。
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配方奶粉
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设置q=3 in:T（q；N，k）=2^（N-q-2*k）*二项式（N，k）*二项式（N-k，q+k）。
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例子
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N=5和组合指数0:（0000001011），（1001011111），……的40个三量子跃迁中的一些，。。。
三角形T（3；N，k）的起始行：
N|k=0，1。。。，地板（N-3）/2）
3 | 1
4 | 8
5 | 40 5
6 | 160 60
7 | 560 420 21
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数学
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用[{q=3}，表[2^（n-q-2k）*二项式[n，k]二项式[n-k，q+k]，{n，13}，{k，0，Floor[（n-q）/2]}]//展平(*迈克尔·德弗利格，2019年11月18日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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标签,非n
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作者
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状态
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经核准的
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126219英镑
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是具有n条边和k对超度数为2的相邻顶点的二叉树（即每个顶点有0、1或2个子节点的根树；并且，当只有一个子节点时，它是右子节点或左子节点）的数量。 |
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+10
1
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1, 2, 5, 14, 40, 2, 116, 16, 344, 80, 5, 1040, 340, 50, 3188, 1360, 300, 14, 9880, 5264, 1484, 168, 30912, 19880, 6776, 1176, 42, 97520, 73728, 29568, 6608, 588, 309856, 269952, 124656, 33600, 4704, 132, 990656, 979264, 511584, 161280, 29544, 2112
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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第n行有楼层（n/2）项（n>=2）。
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链接
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配方奶粉
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和{k=0..floor（n/2）-1}k*T（n，k）=2*二项式（2n-2，n-4）=2*A002696号（n-1）（n>=4）。
G.f.：G=G（t，z）满足G=1+2zG+z^2*（1+2zG+t（G-2zG-1））^2（有关显式表达式，请参见Maple程序）。
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例子
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三角形开始：
1;
2;
5;
14;
40, 2;
116, 16;
344, 80, 5;
1040, 340, 50;
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MAPLE公司
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G： =1/2*（1-4*z^3*t^2-4*z*3-2*z^2*t+8*z^3*t-2*z+2*z^2*t^2平方（1-8*z^3+4*z|2-4*z ^2*t-4*z+8*z|3*t））/z^2/（2*z*t-t-2*z）^2:Gser:=简化（级数（G，z=0，18））：对于从0到14的n，P[n]：=排序（系数（Gser，z，n））od:1；2; 对于从2到14的n，do seq（系数（P[n]，t，j），j=0..楼层（n/2）-1）od；#以三角形形式生成序列
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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