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椭圆

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椭圆双极椭圆结构

椭圆是一条曲线轨迹中所有点的飞机这个总和距离第1段和r_2型从两个固定点F_1级和第2层（该焦点)相隔一段距离2厘米是给定的积极的常数2a个（希尔伯特和科恩·沃森，1999年，第2页）。这导致了双中心双极坐标方程式

r1+r2=2a，
(1)

哪里一是半大调轴和起源坐标系的其中一个焦点.相应参数b条被称为半短轴.

椭圆是一个圆锥曲线和a李萨如曲线.

椭圆可以在Wolfram语言使用圆形[{x个,年},{一,b条}].

如果线段的端点沿两条相交线移动，线段上（或延长线段的直线上）的固定点表示椭圆的圆弧。这被称为椭圆的约束构造（Eves 1965，第177页）。

椭圆齿轮

可以构造相互平稳旋转的椭圆齿轮（Brown 1871，第14-15页；Reuleaux和Kennedy 1876，第70页；Clark和Downward 1930；KMODDL）。

这个椭圆最初是由梅内克马研究的，由欧几里得研究，并由阿波罗纽斯命名。这个集中和圆锥曲线截面准线帕普斯认为是椭圆的。1602年，开普勒相信火星的轨道椭圆形; 他后来发现这是一个椭圆，太阳在一集中事实上，开普勒引入了“集中“并发表了他的1609年发现。1705年，哈雷表明，现在以他的名字命名的彗星移动了在围绕太阳的椭圆轨道上（MacTutor档案馆）。围绕旋转的椭圆其短轴表示扁球体，同时绕长轴旋转的椭圆给出长形的球体.

光线穿过集中在一次反弹后将通过另一个焦点（Hilbert和Cohn-Vossen，1999年，第3页）。反射未通过集中将相切共焦双曲线或椭圆，取决于光线在焦点或者没有。

让一个椭圆沿着x个-轴并找到图形的等式(1)其中F_1级和第2层位于（-c，0）和（c，0）.英寸笛卡尔坐标,

sqrt（（x+c）^2+y^2）+sqrt（（x-c）^2+y^2）=2a。
(2)

将第二项移到右边，并将两边对齐，

（x+c）^2+y^2=4a^2-4asqrt（（x-c）^2+y^2）+（x-c）^2+y^2。
（3）

现在求解平方根术语和简化

平方码（（x-c）^2+y^2）=-1/（4a）（x^2+2xc+c^2+y^2-4a^2-x^2+2xc-c^2-y^2）
(4)
=-1/（4a）（4xc-4a^2）
(5)
=a-c/轴。
(6)

最后一次清空剩余部分平方根,

x^2-2xc+c^2+y^2=a^2-2cx+（c^2）/（a^2）x^2。
(7)

分组x个然后条款给出

x^2（a^2-c^2）/（a^2）+y^2=a^2-c ^2，
（8）

可以用简单的形式写

（x^2）/（a^2）+（y^2）／（a^2-c^2）=1。
(9)

定义新常量

b^2=a^2-c^2
(10)

以特别简单的形式给出方程

（x^2）/（a^2）+（y^2）／（b^2）=1。
(11)

参数b条被称为半短轴通过类推参数一,它被称为半长轴（假设b<a). 事实上b条如上所述，实际上是半小调轴很容易通过以下方式显示第1段和第2段保持平等。然后是两个直角三角形生产，每个都有斜边 一，底座c（c）,和高度b=平方英尺（a^2-c^2）.由于此时将实现沿短轴的最大距离，b条确实是半小调轴.

如果，不是以（0，0）为中心中心椭圆的位置(x 0,y_0（零）)，方程式(◇) 成为

（（x-x_0）^2）/（a^2）+（（y-y_0）^2）/（b^2）=1。
(12)

从中可以看出笛卡尔方程对于椭圆，曲线也可以通过类似的简单参数形式给出相当于圆圈，但使用x个和年具有不同比例的坐标，

x个=acost公司
(13)
年=bsint。
(14)

将军二次曲线

ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2fy+g=0
(15)

定义后为椭圆

三角洲=|a b d；b c f；天f g|
(16)
J型=|a b；b c类|
(17)
我=a+c，
(18)

德尔塔=0,J> 0个、和增量/I<0也假设椭圆是非退化的（即。，它不是圆圈，所以a=c（c），我们已经确定不是一个点，因为J=ac-b^2=0). 在这种情况下，中心椭圆的（x0，y0）由提供

x 0=（cd-bf）/（b^2-ac）
（19）
y_0=（af-bd）/（b^2-ac），
(20)

半轴长度为

“^”=sqrt（（2（af^2+cd^2+gb^2-2bdf-acg））/（（b^2-ac）[平方码（（a-c）^2+4b^2）-（a+c）]）
(21)
b^'=平方码（（2（af^2+cd^2+gb^2-2bdf-acg））/（（b^2-ac）[-sqrt（（a-c）^2+4b^2）-（a+c）]））。
（22）

和逆时针旋转角度x个-椭圆长轴的轴为

phi={0表示b=0和a<c；1/2pi表示b=0和a>c；1/2cot^（-1）（（a-c）/（2b））表示b！=0和a<c；pi/2+1/2cot^（-1）（（a-c）/（2b））表示b！=0和a>c。
(23)
椭圆Directrix

椭圆也可以定义为轨迹距离集中与水平方向成比例与称为圆锥曲线截面准线，其中比率为<1.出租第页是比率和d日准线所在中心的距离，那么为了使这一点成为事实，它必须保持在大调和小轴，所以

r=（a-c）/（d-a）=（sqrt（b^2+c^2））/d。
(24)

解决给予

d日=（a^2）/（sqrt（a^2-b^2））=（a^ 2）/c
（25）
第页=（平方码（a^2-b^2））/a=c/a。
(26)

这个焦点参数椭圆的

第页=（b^2）/（平方码（a^2-b^ 2））
（27）
=（a^2-c^2）/c
(28)
=（a（1-e^2））/e，
(29)

哪里e（电子）是已知椭圆的特征作为偏心，偏心，稍后定义。

椭圆4点

轴平行于坐标轴的椭圆由其上的任意四个非循环点唯一确定，并且椭圆通过这四个点点（x_1，y_1）,（x_2，y_2）,（x3，y3）、和（x_4，y_4）具有等式

|x ^2 y ^2 x y 1；x_1^2 y_1^2 x_1y_1 1；x_2^2 y_2^2 x_2 y_21；x_3^2 y_3^2 x_3y_3 1；x_4^2 y_4^2x_4y_4 1|=0。
(30)

假设一个椭圆上的四个点，其轴平行于坐标轴，具有角坐标时间（TI）对于i=1、2、3和4。这些要点是共环的什么时候

s1s_2s_3+s1s_2s2s_4+s1s_3s_4+s2s_3s~4-（s1+s2+s_3+s_4）=0，
(31)

其中中间变量s_i=tan（ti/2）已定义（伯杰等。1984;Trott 2006，第39-40页）。令人惊讶的是，同样的关系也会产生简化以上内容后，其中s _ i现在被解释为s_i=正弦（ti）.一个等效但更复杂的条件由提供

（s_1^4+s2^4+s_3^4+S4^4）+4^2-2s_3^2s_4^2）+8s_2s_3s_4s_1。=0
(32)

喜欢双曲线，非圆形椭圆具有二不同的焦点和两个相关准线,每个圆锥截面准线存在垂直的连接两个焦点的线（Eves 1965，第275页）。

定义新常量0<=e<1称为偏心，偏心（其中e=0是一个圆圈)更换b条

e=平方（1-（b^2）/（a^2）），
(33)

从中可以看出

b条=asqrt（1-e^2）
(34)
=平方英尺（a^2-c^2）
(35)
c（c）=平方（a^2-b^2）
(36)
=声发射
(37)
e（电子）=平方米（1-（b^2）/（a^2））
(38)
=转交。
(39)

这个偏心，偏心因此可以解释为集中作为半大调轴.

椭圆焦点

如果第页和θ从集中 F类而不是从中心C类（正如轨道力学中常见的那样）然后方程椭圆的

x个=c+rcostheta软件
(40)
年=rsintheta，
(41)

和(◇) 成为

（（c+rcostheta）^2）/（a^2）+（r^2sin^2theta）/（b^2）=1。
(42)

清除分母给予

b^2（c^2+2rcostheta+r^2cos^2theta）+a^2r^2sin^2theta=a^2b^2。
(43)

在中替换sin^2theta=1-cos^2theta给予

b^2c^2+2rcb^2costheta+b^2r^2cos^2theta+a^2rq^2-a^2r ^2cos ^2heta=a^2b^2。
（44）

接通电源以重新显示b条和c（c）依据一和e（电子）,

a^2（1-e^2）a^2e^2+2ea^2（1e^2+a^2r^2-a^2r ^2cos^2theta=a^2[a^2（1-e^2）]。
(45)

除以-a^2简化给出了

-r^2+[ercostheta-a（1-e^2）]^2=0，
(46)

这可以解决第页以获得

r=+/-[ercostheta-a（1-e^2）]。
(47)

可通过以下要求确定标志第页必须是积极的.何时e=0, (47)成为r=+/-（-a），但自一总是积极的，我们必须采取这个消极的符号，所以(47)成为

r=a（1-e^2）-ercostheta
(48)
r（1+ecostheta）=a（1-e^2）
(49)
r=（a（1-e^2））/（1+ecostheta）。
(50)
椭圆

距离集中到具有水平坐标的点x个（原点所在地椭圆的中心）

costheta=（x-c）/r。
(51)

将此插入(50)收益率

r+e（x-c）=a（1-e^2）
（52）
r=a（1-e^2）-e（x-c）。
(53)

在踏板坐标使用踏板指向在集中，椭圆的方程为

（b^2）/（p^2）=（2a）/r-1。
(54)

这个弧长椭圆的

秒（t）=aE（t，e）
(55)
=aE（t，sqrt（1-（b^2）/（a^2））
（56）
=bE（t，sqrt（1-（a^2）/（b^2））），
(57)

哪里E（t，E）是不完整的椭圆形第二类积分具有椭圆模量 e（电子）（偏心率）。

椭圆中心的极角之间的关系θ以及参数t吨以下为

θ=tan^（-1）。
(58)
椭圆函数

此功能如上文所示θ如实心曲线所示t吨像虚线一样b/a=0.6.必须小心确保正确的分支的逆切线函数。尽可能被看到，θ来回编织t吨,交叉发生在pi/2. The曲率和相切的角椭圆的

卡帕（吨）=（ab）/（（b^2cos^2t+a^2sin^2t）^（3/2））
(59)
φ（t）=tan（-1）（a/btant）。
(60)

整个周长 第页通过设置给出椭圆的t=2pi（对应于θ=2pi)，相当于长度的四倍椭圆的一个象限,

第页=aE（2pi，e）
(61)
=4aE（1/2π，e）
(62)
=4aE（e），
(63)

哪里E（E）是一个完成第二类椭圆积分具有椭圆形模数，模量 e（电子）（偏心率）。这个周长可以使用计算迅速收敛的Gauss-Kummer系列作为

第页=π（a+b）和（n=0）^（infty）（1/2；n）^2h^（2n）
(64)
=π（a+b）（1+1/4h^2+1/（64）h^4+1/（256）h^6+…）
(65)

（组织环境信息系统A056981号和A056982号)，其中（n；k）是一个二项式系数和

h=（a-b）/（a+b）。
(66)

这也可以解析为

第页=π（a+b）_2F_1（-1/2，-1/2；1；h^2）
(67)
=2（a+b）[2E（h）+2（h^2-1）K（h）]，
(68)

哪里_2F_1（a，b；c；z）是一个超几何的功能,K（K）是一个完整的的椭圆积分第一种.

椭圆周长

近似值周长包括

第页 大约 活塞（2（a^2+b^2））
(69)
大约 圆周率[3（a+b）-sqrt（（a+3b）（3a+b））]
(70)
大约 pi（a+b）（1+（3小时）/（10+平方英尺（4-3小时）），
(71)

其中最后两个是由于拉马努扬（1913-1914），以及(71)具有的相对误差为～3·2^（-17）h^5对于较小的值小时.这些函数的错误表面如上图所示。

与集中被称为最远点和近囊,和由给出

第页_+=r（远点）=a（1+e）
(72)
第页_-=r_（近顶）=a（1-e）。
(73)

这个地区可以直接找到椭圆的集成

A类=int（-a）^aint（-bsqrt（a^2-x^2）/a）
(74)
=整数_（-a）^a（2b）/asqrt（a^2-x^2）dx
(75)
=（2b）/a{1/2[xsqrt（a^2-x^2）+a^2sin^（-1）（x/（|a|））]}_（x=-a）^a
(76)
=ab[sin（-1）1-sin（-1-）（-1）]
(77)
=ab[pi/2-（-pi/2）]
(78)
=皮亚布。
(79)

这个地区也可以通过改变坐标来更简单地计算x^'=（b/a）x和y^'=y从椭圆区域R（右）到新地区R ^’。然后方程变为

1/（a^2）（a/bx^'）^2+（y^（'2））/（b^2）=1，
(80)

或x^（'2）+y^（'2）=b^2，所以R^'是一个圆圈属于半径 b条.自

（partialx）/（partial x ^’）=（（partials x ^'）/（partialx））^（-1）=（b/a）^，
(81)

这个雅可比（Jacobian）是

|（部分（x，y））/（部分（x^'，y^'））|=|（partialx）/（partial x ^’）（partialy）/（partialx ^'）；（partialx）/（partialy^'）（partialy）/（partialy^'）|
(82)
=|a/b 0；0 1 |=a/b。
（83）

这个地区因此是

初始_（R）dxdy=初始_（R^'）|（部分（x，y））/（部分（x^'，y^'））|dx^'dy^'
(84)
=a/bintint_（R^'）dx^'天^'
(85)
=a/b（像素^2）
(86)
=皮亚布，
(87)

和以前一样。这个地区由二次方程

ax^2+bxy+cy^2=1
(88)

是

A=（2pi）/（sqrt（4ac-b^2））。
(89)

这个地区具有半轴的椭圆一和b条关于踏板点 对是

A=1/2π（A^2+b^2+|OP|^2）。
(90)
椭圆法线切线

单位切线向量椭圆的参数化是

x _ T（T）=-（asint）/（sqrt（b^2cos^2t+a^2sin^2t））
(91)
y_T（吨）=（b成本）/（sqrt（b^2cos^2t+a^2sin^2t））。
(92)

一系列正常的和切线向量上面为椭圆绘制的。

这个轨迹变量顶点的圆锥体包含固定在三个空间中的椭圆是双曲线通过焦点椭圆的。此外轨迹的顶点圆锥体包含那个双曲线是原始椭圆。此外偏心率椭圆和双曲线是相互的。这个轨迹的中心帕普斯链属于圆形是一个椭圆。令人惊讶的是车库门的末端，沿垂直轨道安装在滚轮上，但延伸到外面轨道是椭圆的象限（Wells 1991，第66页）。（信封门的位置是星形线.)

另请参见

圆形,外圆椭圆,圆锥截面,古怪的异常,偏心率,椭圆形圆锥体,椭圆切线,椭圆形曲线,椭圆圆柱体,双曲线,无效,李萨如曲线,一个七个椭圆,椭圆形,抛物线,抛物面,二次曲线,矩形椭圆,Reflection属性,四舍五入矩形,萨尔蒙定理,挤压,体育场,斯坦纳外圆椭圆,斯坦纳不等式 在数学世界课堂上探索这个主题

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“椭圆。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html

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