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二次方程

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二次方程是二阶方程多项式方程在单个变量中x个

ax^2+bx+c=0，
(1)

具有a=0.因为它是二阶的多项式方程,这个代数基本定理保证它有两个解决方案。这些解决方案可能是真实的,或两者兼而有之复杂的.

在他众多的天赋中，吉尔伯特的斯坦利少将和沙利文的轻歌剧彭赞斯海盗他的二次型知识给海盗们留下了深刻印象《少将之歌》中的方程式如下：“我是现代少将的模型，我有蔬菜、动物和矿物的信息，我知道英国的国王，我引用了历史上的战斗，从马拉松到滑铁卢，按绝对顺序；我对数学也很熟悉，我理解简单和二次方程关于二项式定理充斥着大量的新闻——关于斜边的正方形有许多令人愉快的事实。"

根x个可以通过以下方式找到配方,

x^2+b/ax=-c/a
(2)
（x+b/（2a））^2=-c/a+（b ^2）/（4a ^2）=（b ^2-4ac）/（4 a^2）
(3)
x+b/（2a）=（+/-平方（b^2-4ac））/（2a）。
(4)

解决x个然后给出

x=（-b+/-sqrt（b^2-4ac））/（2a）。
(5)

这个方程被称为二次公式.

二次方程的第一个已知解是埃及中王国时期（约公元前2160-1700年）的柏林纸草中给出的解。这个问题归结为解决

x^2+y^2=100
（6）
年=3/4倍
(7)

（史密斯1953年，第443页）。希腊人能够用几何方法求解二次方程，欧几里得（约公元前325-270年）数据包含三个问题涉及二次方。在他的工作中算术，希腊数学家迪奥芬图斯（ca.210-290）求解了二次方程，但只给出了一个根，即使在两个根均为阳性（Smith 1951年，第134页）。

许多印度数学家给出了相当于二次公式的规则。公元前500年左右的某些祭坛建筑可能代表方程的解，但即使是这样，也没有关于解决方法（Smith 1953，第444页）。印度数学家里亚巴塔（475或476-550）给出了表示知识的几何级数之和的规则二次方程的二者都解决方案（史密斯1951年，第159页；史密斯1953年，第444页），而婆罗门笈多（约628年）似乎只考虑了一个其中（史密斯1951年，第159页；史密斯1953年，第444-445页）。同样，马哈维拉（约850年）基本上具有现代平方根规则。如前所述，斯拉德哈拉（约1025年）给出了二次公式的正根作者：Bháskara（约1150年；Smith 1953年，第445-446页）。波斯数学家al-Khwárizmí（约825年）和Omar Khayyám（约1100年）也制定了规则找到正根。

维特是第一个用解析法代替几何解法的人，尽管他显然没有掌握一般二次方程的概念（史密斯，1953年，第449-450页）。

二次方程的另一种形式是通过划分(◇) 通过x ^2（x ^2）:

a+b/x+c/（x^2）=0
(8)
c（1/（x^2）+b/（cx））+a=0
(9)
c（1/x+b/（2c））^2=c（b/（2 c））。
(10)

因此，

1/x+b/（2c）=+/-（平方码（b^2-4ac））/（2c
(11)
1/x=（-b+/-sqrt（b^2-4ac））/（2c）
(12)
x=（2c）/（-b+/-sqrt（b^2-4ac））。
(13)

此表格有助于b^2>>4ac，其中>>表示大得多,在这种情况下二次公式可以为其中一个提供不准确的数值结果根.可以通过定义

q=-1/2[b+sgn（b）sqrt（b^2-4ac）]
(14)

以便b以及平方根标志总是有同样的标志。现在，如果b> 0个，然后

q=-1/2（b+平方（b^2-4ac））
(15)
1/季度=（-2）/（b+sqrt（b^2-4ac））（b-sqrt
(16)
=（-2（b-sqrt（b^2-4ac））/（4ac，
(17)

所以

x_1型=q/a=（-b-sqrt（b^2-4ac））/（2a）
(18)
x2个=c/q=（-b+sqrt（b^2-4ac））/（2a）。
(19)

类似地，如果b<0,然后

q=-1/2（b-sqrt（b^2-4ac））=1/2（-b+sqrt
(20)
1/季度=2/（-b+sqrt（b^2-4ac））（b+sqrt
（21）
=（b+sqrt（b^2-4ac））/（-2ac）=（-b-sqrt（b2-4ac）/（2ac），
(22)

所以

x_1型=q/a=（-b+sqrt（b^2-4ac））/（2a）
(23)
x2个=c/q=（-b-sqrt（b^2-4ac））/（2a）。
(24)

因此根总是由x_1=q/a和x_2=c/q.

现在考虑以下形式表示的方程

a_2x^2+a_1x+a_0=0，
(25)

有解决方案z_1和z2型.这些解决方案满足维埃塔公式

z1+z2=-（a_1）/（a_2）
(26)
z_1z_2=（a0）/（a2）。
(27)

的属性对称多项式出现在维埃塔公式然后给予

z_1^2+z_2^2=（a_1^2-2a_0a_2）/（a_2^2）
(28)
z_1^3+z_2^3=-（a_1^3-3a_0a_1a_2）/（a_2^3）
(29)
z_1^4+z_2^4=（a_1^4-4a_0a_1^2a_2+2a_0^2a_2）/（a_2^4）。
(30)
二次方程可分解

给定一个二次方整数多项式 x^2+ax+b，考虑可分解多项式的数量的整数一和b取自一组整数S子集Z例如，对于S={1,2,3,4}，有四个这样的多项式，

x^2+2x+1=（x+1）^2
(31)
x^2+3x+2=（x+1）（x+2）
（32）
x^2+4x+3=（x+1）（x+3）
(33)
x^2+4x+4=（x+2）^2。
(34)

下表总结了此类可分解多项式的计数S子集Z和小型n个.可分解多项式分数的绘图S＝{-n，…，n-1，n}（红色），S={0,1，…，n}（蓝色），和S={1,2，…，n}（绿色）也如上图所示。令人惊讶的是，的顺序[-n，n]有递推方程

a_n=a（n-1）+2[d（n）+1]+chi（n^2）（n），
(35)

哪里d（n）=σ0（n）是的除数n个和chi_（n^2）（n）是特征功能的平方数.

S子集Z组织环境信息系统可贴现的结束S公司对于n=0,1, ...
[-n，n]A067274号1, 4, 10, 16, 25, 31, 41, 47, 57, ...
[0，n]A091626号1, 2, 4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, 22, ...
[1，n]A091627号0, 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, ...

另请参见

双二次方程,卡莱尔圆,正在完成广场,圆锥截面,立方方程式,费马因式分解法,多项式判别,二次方,二次方程式,四分位数方程式,五次方程,六边形方程式 探索数学世界课堂上的这个主题

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二次方程

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“二次方程。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html

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