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椭圆曲线

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非正式地，椭圆曲线是三次曲线其解仅限于拓扑等价的空间区域到圆环体. The魏尔斯特拉斯椭圆函数 P（z；g_2，g_3）描述了如何从中获得圆环体代数形式椭圆曲线。

形式上领域 K（K）是非奇异的三次曲线在两个变量中，f（X，Y）=0,用一个K（K）-理性的点（可以是无穷远点). 这个领域 K（K）通常被认为是复杂的数字 C类,雷亚尔 对,理性 问，的代数扩展问,第页-adic数 问题_p，或a有限的，有限的领域.

通过适当改变变量领域具有磁场特性 !=2、3，将军三次曲线

轴^3+Bx^2y+Cxy^2+Dy^3+Ex^2+Fxy+Gy^2+Hx+Iy+J=0，
(1)

哪里A类,B类, ..., 是的元素K（K），可以写在表格中

y^2=x^3+ax+b，
(2)

其中的右侧(2)没有重复的因素。也可以写入任何不具有特征2或3的椭圆曲线勒让德标准形

y^2=x（x-1）（x-lambda）
(3)

（Hartshorne，1999）。

椭圆曲线

椭圆曲线如上图所示一和b.

如果K（K）有磁场特性三个，然后最好的方法是将曲线转换为

y^2=x^3+ax^2+bx+c
(4)

（该x ^2（x ^2）术语无法消除）。如果K（K）有磁场特性其次，情况更糟。椭圆曲线的一般形式超过任何K（K）可以转换的称为Weierstrass形式,并由给出

y^2+ay=x^3+bx^2+cxy+dx+e，
(5)

哪里一,b,c（c）,d日,和e（电子）是的元素K（K）.幸运的是，问,对、和C类所有人都有磁场特性零。

形式为的椭圆曲线y^2=x^3+n对于n个整数被称为莫代尔曲线.

鉴于圆锥曲线有理函数可以参数化，椭圆曲线不能。最简单的参数化函数是椭圆函数.阿贝尔（Abelian）品种可以看作是椭圆曲线的推广。

椭圆曲线

如果基础领域椭圆曲线的代数闭合，然后直线在三点处切割椭圆曲线（计数倍数切点处的根）。如果已知两个，则可以计算第三个。如果两个交点K（K）-理性的，那么第三。Mazur和Tate（1973/74）证明了在问有一个理性的指向第13号命令。

让（x_1，y_1）和（x_2，y_2）是椭圆曲线上的两点E类具有椭圆判别式

增量_E=-16（4a^3+27b^2）
(6)

令人满意的

增量_E=0
(7)

一个相关的量，称为j个-不变量属于E类定义为

j（E）=（2^83^3a^3）/（4a^3+27b^2）。
(8)

现在定义

λ={（y_1-y_2）/（x_1-x_2）对于x_1！=x_2；（3x_1^2+a）/（2y_1）对于x_1=x_2。
(9)

那么第三个点的坐标是

x_3个=λ^2-x_1-x_2
(10)
y3年=λ（x3-x1）+y1。
(11)

对于椭圆曲线问，Mordell证明了积分的数量是有限的解决。这个莫代尔-威尔定理说那个组属于理性的点上的椭圆曲线问是有限生成的。让根属于年^2是第1段,第2段、和第3段。判别式为

增量=k（r_1-r_2）^2（r_1-r_3）^2。
(12)

令人惊叹的Taniyama Shimura猜想指出所有有理椭圆曲线也是模的。事实远非如此很明显，尽管这个猜想是在1955年提出的，但事实并非如此甚至在1995年之前都有部分证明。即便如此，怀尔斯对半稳定案例的证明还是令人惊讶大多数数学家都相信这个猜想是无懈可击的。作为附带好处，Wiles的证据Taniyama Shimura猜想也解决了困扰数学家的著名而棘手的问题几百年来，费马最后定理.

小曲线j个-导体列于斯温纳顿·戴尔（1975）和克雷莫纳（1997）。积分计算方法（具有积分坐标的点）以Gebel表示等人。和Stroeker和Tzanakis（1994）。这个Schoof-Elkies-Atkin学院算法可用于确定椭圆曲线的阶数E/F_p超过有限域 前（_p）.

另请参见

三次曲线,椭圆曲线分解方法,椭圆曲线集团法,费马最后定理,弗雷曲线,j个-不变量,勒让德普通形式,最小鉴别,莫代尔曲线,莫代尔·韦尔定理,奥乔亚曲线,里贝特的定理,Schoof-Elkies-Atkin算法,西格尔定理,斯温纳顿染料公司猜想,Taniyama-Shimura猜想,Weierstrass椭圆函数,Weierstrass表格 在数学世界课堂上探索这个主题

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A.O.阿特金。L。和Morain，F.“椭圆曲线和素数证明”数学。计算。 61, 29-68, 1993.卡塞尔，J·W。秒。讲座椭圆曲线上。纽约：剑桥大学出版社，1991年。克雷莫纳，J·E。算法模数椭圆曲线，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1997年。克雷莫纳，J.E。“椭圆曲线数据。”http://modular.fas.harvard.edu/cremona/INDEX.html.杜瓦尔·P。椭圆形函数和椭圆曲线。英国剑桥：剑桥大学出版社，1973Fermigier，S.“关于椭圆曲线和相关主题。"http://www.fermigier.com/fermigiers/elliptic.html.en.盖贝尔，J。；A.佩思。；和Zimmer，H.G。“计算椭圆上的积分曲线。"《阿里斯学报》。 68, 171-192, 1994.哈特肖恩，R。代数几何学。纽约：Springer-Verlag，1999年。爱尔兰，K.和Rosen，M.《椭圆曲线》第18章A类现代数论经典导论，第二版。纽约：Springer-Verlag，第297-318页，1990年。Joye，M.“关于椭圆曲线。"http://www.geocities.com/MarcJoye/biblio_ell.html.卡茨，N.M.公司。和Mazur，B。算术椭圆曲线模量。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，1985年。克纳普，A.W.公司。椭圆形曲线。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，1992年。科布利茨，N。介绍椭圆曲线和模数形式。纽约：Springer-Verlag，1993年。Lang，秒。椭圆形曲线：丢番图分析。柏林：Springer-Verlag，1978年。马祖，B.和Tate，J.《椭圆曲线上的13阶点》发明。数学。 22,41-49, 1973/74.McKean，H.和Moll，V。椭圆形曲线：函数理论，几何，算术。英国剑桥：剑桥大学出版社，1999年。Riesel，H.《椭圆曲线》附录7英寸Prime（主要）因式分解的数字和计算机方法，第2版。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第317-326页，1994年。西尔弗曼，J.H。这个椭圆曲线的算法。纽约：施普林格-弗拉格出版社，1986年。西尔弗曼，J.H。这个椭圆曲线的算法2。纽约：Springer-Verlag，1994年。西尔弗曼，J.H。和Tate，J.T。理性椭圆曲线上的点。纽约：Springer-Verlag出版社，1992年。斯蒂尔韦尔，J.“椭圆曲线”阿默尔。数学。每月 102, 831-837, 1995.斯特雷克，R·J。和Tzanakis，N.“通过估计求解椭圆丢番图方程椭圆对数中的线性形式。"《阿里斯学报》。 67, 177-196,1994斯温纳顿·戴尔，H.P。F、。“更正为：'On 1-adic模形式系数的表示和同余“输入模块化一个变量的函数，第4卷，Proc。国际。理论家暑期学校。物理。，1972年7月至8月，RUCA安特卫普大学。柏林：Springer-Verlag，1975魏斯坦，E.W。“关于椭圆曲线的书籍。”http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/EllipticCurves.html.

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椭圆曲线

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“椭圆曲线。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html

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