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弧长

弧长定义为沿曲线的长度，

s=int_gamma|dl|，
(1)

哪里数字图书馆是差分位移矢量沿着曲线伽马射线.例如，对于圆圈半径的第页，带角度的两点之间的弧长θ_1和θ_2（以弧度测量）很简单

s=r|theta_2-theta_1|。
(2)

定义线条元素ds^2=|dl|^2,根据参数参数化曲线t吨，并注意到日/日就是速度其中结束了半径向量 第页移动给予

s=int_a^bds=int_a ^b（ds）/（dt）dt=int_a_b|r^'（t）|dt。
(3)

在极坐标,

dl=r^^dr+rtheta^^dtheta=（（dr）/（dtheta）r^^+rtheta）数据集，
(4)

所以

ds公司=|dl|=sqrt（r^2+（（dr）/（dtheta））^2）dtheta
(5)
秒=int|dl|=int_（theta_1）^（theta_2）sqrt（r^2+（（dr）/（dtheta））^2）数据集。
(6)

在笛卡尔坐标,

数字图书馆=dxx^^+dyy^^
(7)
ds公司=|数字图书馆|
(8)
=平方米（dx^2+dy^2）
(9)
=平方码（（（dy）/（dx））^2+1）dx。
(10)

因此，如果写入曲线

r（x）=xx^^+f（x）y^^，
(11)

然后

s=int_a^bsqrt（1+f^（'2）（x））dx。
(12)

如果改写曲线

r（t）=x（t）x^^+y（t）y^^，
(13)

然后

s=int_a^bsqrt（x^（'2）（t）+y^（'2）（t））dt。
(14)

在三维空间中，

r（t）=x（t）x^^+y（t）y^^+z（t）z^^，
(15)

所以

s=int_a^bsqrt（x^（'2）（t）+y^。
(16)

的弧长极坐标曲线 r=r（θ）由提供

s=int_（theta_1）^（theta_2）sqrt（r^2+（（dr）/（dtheta））^2）dtheta。
(17)

另请参见

曲率,测地线,法线向量,半径曲率的,扭转半径,速度,表面积,切向角度,切线向量,扭转,速度 探索数学世界课堂上的这个主题

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“弧长”自数学世界--Wolfram资源。https://mathworld.wolfram.com/ArcLength.html

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