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法线向量

法线向量

曲面的法向量（通常简称为“法线”）是矢量哪个是垂直的在给定点到达曲面。在闭合曲面上考虑法线时，向内指向法线（指向曲面内部）和向外指向正常的通常是有区别的。

这个单位向量通过规范化法向量（即，将非零法向量除以其矢量规范)是单位法向量，通常简称为“单位法向量”应注意不要混淆术语“矢量规范“（向量长度），”法向量“（垂直向量）和“归一化向量“（单位长度向量）。

通常表示法向量N个或n个,用一个帽子有时（但不总是）添加（即。，N个^^和n个^^)明确表示单位法向量。

一点的法向量（x0，y0）在表面上z=f（x，y）由提供

N=[f_x（x_0，y_0）；f_y，
(1)

哪里f_x=部分/部分和f_y=部分/部分是部分衍生物.

法向量到飞机由指定

f（x，y，z）=ax+by+cz+d=0
(2)

由提供

N＝del f＝[a；b；c]，
（3）

哪里del f（del f）表示梯度.具有法线的平面方程矢量n=（a、b、c）通过该点（x0，y0，z0）由提供

[a；b；c]·[x-x0；y-y0；zz0]=a（x-x0）+b（y-y0）+c（zz0）=0。
(4)

对于平面曲线，单位法向量可以定义为

N^^=（dT^^）/（dphi），
(5)

哪里T型^^是单位切线向量和φ是极角.给定一个单位切线向量

T^^=u_1x^^+u_2y^^
(6)

具有平方（u_1^2+u_2^2）=1,正常情况是

N^^=-u_2x^^+u_1y^^。
(7)

对于参数给定的平面曲线，相对于该点的法向量（f（t），g（t））由提供

x（吨）=-（g^'）/（平方（f^（'2）+g^（'2）））
(8)
y（吨）=（f^'）/（平方（f^（'2）+g^（'2）））。
(9)

要实际将向量垂直于曲线放置，必须将其置换为（f（t），g（t））.

对于空间曲线，单位法线为

N个^^=（（（dT^^）/（ds））/（|（dT ^^”）/（d）|）
(10)
=（（dT^^）/（dT）/
(11)
=1/kappa（dT^^）/（ds），
(12)

哪里吨^^是切线向量,秒是弧长、和卡帕是曲率.它也由

N^^=B^^xT^^，
(13)

哪里B^^是副法向量（格雷1997年，第192页）。

对于参数化曲面x（u，v），法向量由下式给出

N=（partialx）/（partial）x（partials）/（partialv）。
(14)

给定由隐式定义的三维曲面F（x，y，z）=0,

n ^^=（del F）/（平方（F_x^2+F_y^2+F _z^2））。
(15)

如果曲面是在表单中参数化定义的

x个=x（φ，psi）
（16）
年=y（φ，psi）
(17)
z（z）=z（φ，psi），
(18)

定义向量

a=[x_phi；y.phi；z_phi]
（19）
b=[x_psi；y_psi；z_psi]。
(20)

那么单位法向量是

N^^=（axb）/（sqrt（|a|^2|b|^2-|a·b|^2））。
(21)

让克成为度量张量。那么

N=（r_1xr_2）/（sqrt（g））=ε_（ij）r^j。
(22)

另请参见

Binormal向量,接触角,曲率,弗勒内公式,多变量微积分,标准,切线向量,扭转 探索数学世界课堂上的这个主题

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Gray，A.《平面曲线的切线和法线》第5.5节现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica，第二版。博卡佛罗里达州Raton：CRC出版社，第108-1111997页。

参考Wolfram | Alpha

法线向量

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“法向量”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/NormalVector.html

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