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抛物面


抛物面

这个回转面抛物线这是汽车前照灯反光罩中使用的形状(Steinhaus 1999,第242页;Hilbert和Cohn-Vossen,1999年)。它是一个二次的表面可以用笛卡尔方程来表示

 z=b(x^2+y^2)。
(1)

具有半径的抛物面一在高处小时然后通过以下参数给出

x(u,v)=asqrt(u/h)cosv
(2)
y(u,v)=asqrt(u/h)正弦
(3)
z(u,v)=u、,
(4)

哪里u> =0,v英寸[0,2pi)

The coefficients of the第一基本形式由提供

E类=1+(a^2)/(4hu)
(5)
F类=0
(6)
G公司=(a^2u)/小时
(7)

第二基本形式系数

e(电子)=(a^2)/(2usqrt(a^4+4a^2hu))
(8)
(f)=0
(9)
克=(2a^2u)/(平方(a^4+4a^2hu))
(10)

这个面积元素就是那个时候

 dS=(sqrt(a^4+4a^2hu))/(2h)du^dv,
(11)

表面积

S公司=int_0^(2pi)int_0^hdS
(12)
=(pia)/(6h^2)[(a^2+4h^2,^(3/2)-a^3]。
(13)

这个高斯曲率由提供

 K=(4h^2)/((a^2+4hu)^2),
(14)

平均曲率

 H=(2小时(a^2+2小时)/(a^2+4小时)平方(a^4+4a^2小时))。
(15)

这个体积高度抛物面的小时那么

V(V)=像素_0^h(a^2z)/hdz
(16)
=1/2小时。
(17)

加权平均值z(z)在抛物面上

<z>=像素0^h(a^2z)/hzdz
(18)
=下午三点半,下午二点。
(19)

这个几何质心然后由给出

 z^_=(<z>)/V=2/3小时
(20)

(拜尔1987)。


另请参见

椭圆抛物面,双曲线抛物面,抛物线,Poweroid公司

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Beyer,W.H。(编辑)。CRC标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第133页,1987Gray,A.《抛物线》§13.5现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica,第二版。博卡佛罗里达州Raton:CRC出版社,第307-3081997页。J.W.哈里斯。Stocker,H.“旋转抛物线”,第4.10.2节手册数学和计算科学。纽约:Springer-Verlag出版社,第112页,1998Hilbert,D.和Cohn-Vossen,S。几何图形和想象力。纽约:切尔西,第10-11页,1999年。斯坦豪斯,H。数学快照,第三版。纽约:多佛,1999年。

引用如下:

埃里克·W·韦斯坦。“抛物面。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Paraboloid.html

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