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抛物面

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抛物面

这个旋转表面的抛物线这是汽车前照灯反光罩中使用的形状（Steinhaus 1999，第242页；Hilbert和Cohn-Vossen，1999年）。它是一个二次的表面可以用笛卡尔方程来表示

z=b（x^2+y^2）。
(1)

具有半径的抛物面一在高处小时然后通过以下参数给出

x（u，v）=asqrt（u/h）cosv
(2)
y（u，v）=asqrt（u/h）正弦
(3)
z（u，v）=u、，
(4)

哪里u> =0,v英寸[0,2pi）.

The coefficients of the第一基本形式由提供

E类=1+（a^2）/（4hu）
(5)
F类=0
(6)
G公司=（a^2u）/小时
(7)

和第二基本形式系数是

e（电子）=（a^2）/（2usqrt（a^4+4a^2hu））
(8)
（f）=0
(9)
克=（2a^2u）/（平方英尺（a^4+4a^2hu））
(10)

这个面积元素就是那个时候

dS=（sqrt（a^4+4a^2hu））/（2h）du^dv，
(11)

给表面积

S公司=整数_0^（2pi）整数_0^hdS
(12)
=（pia）/（6h^2）[（a^2+4h^2，^（3/2）-a^3]。
(13)

这个高斯曲率由提供

K=（4h^2）/（（a^2+4hu）^2），
(14)

和平均曲率

H=（2小时（a^2+2小时）/（a^2+4小时）平方（a^4+4a^2小时））。
(15)

这个体积高度抛物面的小时就是那个时候

V（V）=像素_0^h（a^2z）/hdz
(16)
=1/2小时。
(17)

加权平均值z（z）在抛物面上

<z>=像素0^h（a^2z）/hzdz
(18)
=1/3pia^2h^2。
(19)

这个几何质心然后由给出

z^_=（<z>）/V=2/3小时
(20)

（拜尔1987）。

另请参阅

椭圆抛物面,双曲线抛物面,抛物线,Poweroid公司

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Beyer，W.H。（编辑）。CRC标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第133页，1987Gray，A.《抛物线》§13.5现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica，第二版。博卡佛罗里达州Raton：CRC出版社，第307-3081997页。J.W.哈里斯。和Stocker，H.“旋转抛物线”，第4.10.2节手册数学和计算科学。纽约：Springer-Verlag出版社，第112页，1998.Hilbert，D.和Cohn-Vossen，S。几何图形和想象力。纽约：切尔西，第10-11页，1999年。斯坦豪斯，H。数学快照，第三版。纽约：多佛，1999年。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“抛物面。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Paraboloid.html

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