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双极坐标


双极坐标是一种二维坐标系。有两种通常定义的双极坐标类型,第一种定义为

x个=(asinhv)/(coshv-cosu)
(1)
年=(asinu)/(coshv-cosu),
(2)

哪里u英寸[0,2pi),v in(-infty,infty)下列恒等式表明常数曲线u个v(v)圈子在里面xy公司-空间。

 x^2+(y-acotu)^2=a^2csc^2u
(3)
 (x坐标)^2+y ^2=一个^2坐标^2。
(4)

这个比例因子

胡=a/(coshv-cosu)
(5)
高电压=a/(coshv-cosu)。
(6)

这个拉普拉斯语

 del^2=((coshv-cosu)^2)/(a^2)。
(7)

拉普拉斯方程是可分离的。

双中心双极坐标是给出两个固定中心之间距离的两个坐标第1段第2段,有时表示第页r ^’对于中心位于(+/-c,0),

r_1^2=(x+c)^2+y^2
(8)
r_2^2=(x-c)^2+y^2。
(9)

组合(8)和(9)给予

 r_1^2-r_2^2=4cx。
(10)

解决笛卡尔坐标 x个年给予

x个=(r_1^2-r_2^2)/(4c)
(11)
年=+/-1/(4c)平方(16c^2r_1^2-(r_1^2-r_2^2+4c^2)^2)。
(12)

解决极坐标给予

第页=平方码((r_1^2+r_2^2-2c^2)/2)
(13)
θ=tan^(-1)[(平方(r_2^4-2(4c^2+r_1^2)r_2^2-(4c_2~r_1^ 2)^2))/(r_1^2-r_2^2)]。
(14)

另请参见

双极柱形协调,极坐标

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

洛克伍德,E.H。“双极坐标”第25章A类曲线之书。英国剑桥:剑桥大学出版社,第186-190页,1967

参考Wolfram | Alpha

双极坐标

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“双极坐标。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BipolarCoordinates.html

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