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平面

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平面是二维的双直纹曲面由两个线性独立的向量跨越。平面向上的推广尺寸称为超平面.二者之间的角度交叉飞机是已知的作为二面角.

平面

平面方程非零 法向量 n=（a、b、c）通过该点x_0=（x_0，y_0，z_0）是

n·（x-x0）=0，
（1）

哪里x=（x，y，z）.接通电源可提供一般信息平面方程，

ax+by+cz+d=0，
（2）

哪里

d=-ax_0-by_0-cz_0。
(3)

因此，以这种形式指定的平面具有x个-,年-,和z（z）-拦截时间

x个=-承兑交单
(4)
年=-承兑交单
(5)
z（z）=-付款交单，
(6)

躺在一个距离

D=D/（平方（a^2+b^2+c^2））
(7)

来自起源.

在所谓的黑森范式。这是从以下位置获得的(◇) 通过定义单元法向量n^^=（nx，ny，nz）

氮氧化物=a/（平方码（a^2+b^2+c^2））
(8)
n年=b/（平方码（a^2+b^2+c^2））
(9)
n_z=c/（平方码（a^2+b^2+c^2））
(10)

和常数

p=d/（平方（a^2+b^2+c^2））。
(11)

然后黑森范式飞机的

n^^·x=-p
(12)

（盖勒特等。1989年，第540页），到一个点的（签名）距离x_0是

D=n^^·x_0+p，
(13)

以及与起源很简单

D=p
(14)

（盖勒特等。1989年，第541页）。

平面截距

在截距形式中，通过这些点的平面（a^'，0,0）,（0，b^'，0）和（0,0，c^'）由提供

x/（a^'）+y/（b^'）+z/（c^'）=1。
(15)

飞机通过（x_1，y_1，z_1）与平行（a_1、b_1、c_1）和（a2、b2、c2）是

|x-x_1y-y_1zz_1；a_1b_1c_1；a_2 b_2 c_2 |=0。
（16）

平面通过点（x_1，y_1，z_1）和（x2，y2，z2）平行于方向（a、b、c）是

|x-x_1y-y_1zz_1；x2-x1 y2-y1 z2-z1；a b c=0。
(17)

三点式是

|x y z 1；x_1y_1z_11；x2y2z21；x_3y_3z_31|=|x-x_1y-y_1z_z_1；x2-x1 y2-y1 z2-z1；x_3-x_1 y_3-y_1 z_3-z_1 |=0。
(18)

以三点形式指定的平面可以用一般方程表示(◇) 通过

A_1x+A_2y+A_3z-A=0，
(19)

哪里

A=det（x_1 x_2 x_3）
(20)

和A（_i）是行列式通过替换获得x指数用一个列向量第页，共1s页。表达黑森（Hessian）标准形，注意单位法向量也可以立即写入作为

n ^^=（（x3-x1）x（x2-x1））/（|（x3-x1）x（x2-x1）|）
(21)

和常数第页给出从平面到原点的距离是

p=A/（平方（A_1^2+A_2^2+A _3^2））。
(22)

（签字）点平面距离从某一点（x0，y0，z0）到飞机

ax+by+cz+d=0
(23)

是

D=（ax_0+by_0+cz_0+D）/（平方码（a^2+b^2+c^2））。
(24)

这个二面角在飞机之间

a1x+b1y+c1z+d1=0
(25)
a2x+b2y+c2z+d2=0
（26）

有法向量的n1=（a1，b1，c1）和n2=（a2，b2，c2）仅通过以下方式给出这个点积法线的，

服装=n1 ^^·n2^^
(27)
=（a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2）/（平方（a_1^2+b_1^2+c_1^2）平方（a_2^2+b2^2+c_2^2））。
(28)

因此，如果平面在黑森正态（盖勒特et（等）阿尔。1989年，第541页）。

为了指定的相对距离n> 1个平面上的点，1+2（n-2）=2n-3需要坐标，因为第一个可以始终放在（0，0），第二个放在（x，0），其中定义了x个-轴.剩下的n-2个每个点需要两个坐标。然而，总距离为

_nC_2=（n；2）=（n！）/（2！（n-2）！）=1/2n（n-1），
(29)

哪里（n；k）是一个二项式系数，因此点之间的距离取决于米关系，其中

m=1/2n（n-1）-（2n-3）=1/2（n-2）（n-3）。
(30)

对于n=2和n=3，没有关系。然而，对于四边形的（带有n=4)，有一个（Weinberg 1972）。

不可能选取平面上均匀分布的随机变量（Eisenberg和Sullivan，1996）。在四个维度中，可能有四个飞机到横断在里面确切地一点。对于每组n个平面上的点，存在一个点O（运行）在具有以下特性的平面中每一个直的线路贯通O（运行）每侧至少有1/3的点（Honsberger 1985）。

每刚性运动该平面是以下之一类型（Singer 1995）：

1旋转关于一个固定点P（P）.

2翻译沿直线方向我.

三。反射穿过一条线我.

4.沿直线的滑动反射我.

每刚性运动双曲线平面的之前的类型或

5.角环旋转。

另请参阅

阿尔冈平面,复杂平面,考克斯定理,十字架章节,二面角,董事,双重规则曲面,椭圆形平面,Fano飞机,黑森（Hessian）普通形式,超平面,等倾的平面,线平面交点,调解人,牟坊飞机,尼伦伯格猜想,正常章节,无限平面,平面-平面十字路口,点平面距离,投影平面 在数学世界课堂上探索这个主题

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工具书类

Beyer，W.H。CRC标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第208-209页，1987Eisenberg，B.和Sullivan，R.“随机三角形n个尺寸。"阿默尔。数学。每月 103, 308-318,1996盖勒特，W。；哥特瓦尔德，S。；海尔威奇，M。；Kästner，H。；和Künstner，H.（编辑）。“平面”输入越南卢比简明数学百科全书，第二版。纽约：Van Nostrand Reinhold，第539-543页，1989年。R.洪斯伯格。数学宝石III。华盛顿特区：数学。美国协会。，第189-1911985页。科恩，西海岸。和J.R.布兰德。《空间中的线和平面》第4节固体带证据的测量，第二版。纽约：Wiley，第9-12页，1948年。歌手，D.A.博士。“平面的等距线。”阿默尔。数学。每月 102,628-631, 1995.温伯格，S。引力宇宙学：广义相对论的原理和应用。纽约：Wiley，第7页，1972年。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“平面。”来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Plane.html

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