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星形线


星形线Astroid框架

A四尖内摆线它有时也被称为四叶虫、立方类或副环类。这个参数化的方程星形线的n=a/b=44/3到通用的方程式中内摆线,给出参数方程

x个=3亿成本+10亿成本(3吨)
(1)
=40亿立方米
(2)
=acos ^3吨
(3)
年=3磅-牛血清白蛋白(3吨)
(4)
=4b英寸^3t
(5)
=asin^3吨
(6)

对于0<=φ<=2π

极性方程可以通过计算得到

 θ=tan ^(-1)(y/x)=tan,
(7)

并插入r=平方(x^2+y^2)以获得

 r=(|sectheta|)/((1+tan^(2/3)theta)^(3/2))
(8)

对于0≤θ≤2pi

AstroidSquashed公司

笛卡尔坐标,

 x^(2/3)+y^(3/3)=a^(1/3)。
(9)

曲线的推广

 (x/a)^(2/3)+(y/b)^
(10)

给出了“挤压”的星体,这是超椭圆对应于参数r=2/3

踏板坐标使用踏板指向在中心,方程是

 r^2+3p^2=a^2,
(11)

以及塞萨罗方程

 rho^2+4s^2=6as。
(12)

形式方程的进一步推广

 |x/a|^r+|y/b|^r=1,
(13)

被称为超椭圆

这个弧长,曲率,切向角

秒(t)=3/2英寸^2吨
(14)
卡帕(吨)=-2/3|csc(2t)|
(15)
φ(t)=-t、,
(16)

其中,公式秒(t)等待0<t<pi/2

这个周长可以计算出整个天体的来自将军内摆线公式

 s_n=(8a(n-1))/n
(17)

具有n=4,

 s=6a。
(18)

对于一个被挤压的星体周长有长度

 s=(4(a^2+ab+b^2))/(a+b)。
(19)
Astroid面积

这个地区由提供

 A_n=((n-1)(n-2))/(n^2)pia^2
(20)

具有n=4,

A类=3/8页^2
(21)
 大约 1.178097a^2
(22)

(组织环境信息系统A093828号).

这个渐屈线椭圆是拉伸的内摆线. The gradient of the切线 T型从带参数的点开始第页-坦克这个方程切线 T型

 xsinp+ycosp=1/2asin(2p)
(23)

(MacTutor档案)。T型剪下x个-轴以及-轴X(X)Y(Y)分别是。然后是长度XY公司是一个常数,等于一

AstroidLadders星梯AstroidLines公司

星形线也可以形成为信封线段两端各在一个上移动一对垂直的轴(例如,它是靠墙或顶部车库门滑动的梯子所包围的曲线沿着垂直轨道移动的拐角;上图左图)。因此,星体闪亮的。要看到这一点,请注意对于长度L(左),与墙的接触点和地板是(x_0,0)(0,平方英尺(L^2-x_0^2))分别是。这个的方程式线由梯子制成,其脚位于(x_0,0)因此是

 y-0=(平方(L^2-x_0^2))/(-x_0)(x-x_0,
(24)

可以写下来

 U(x,y,x_0)=y+。
(25)

公式信封由同时的解决方案

 {U(x,y,x_0)=y+(平方(L^2-x_0^2))/(x_0,(x-x_0,
(26)

哪个是

x个=(x_0^3)/(L^2)
(27)
年=((L^2-x_0^2)^(3/2))/(L^2)。
(28)

注意到

x^(2/3)=(x_0^2)/(L^(4/3))
(29)
y^(2/3)=(L^2-x_0^2)/(L^(4/3))
(30)

允许将其隐式写为

 x^(2/3)+y^(3/3)=L^(1/3),
(31)

星体方程,正如承诺的那样。

AstroidLadders扩展

具有长度“车库门”的相关问题L(左)长度“延长”德尔塔L在有槽轨道上上下移动也给出了一个令人惊讶的答案。在这种情况下水平位置的门脚端x_0个 θ由提供

x个=-德尔塔·科斯特塔
(32)
年=平方(L^2-x_0^2)+增量Lsintheta。
(33)

使用

 x_0=L科斯塔
(34)

然后给出

x个=-(增量L)/Lx_0
(35)
年=sqrt(L^2-x_0^2)(1+(DeltaL)/L)。
(36)

解决(◇) 对于x_0,插入(◇) 然后平方得到

 y^2=L^2-(L^2x^2)/((增量)^2)(1+(增量)/L)^2。
(37)

重新排列会产生等式

 (x^2)/((增量)^2)+(y^2)((L+增量)^1)=1,
(38)

a的方程式(象限第页,共页)椭圆具有半大调半小调长度的三角洲l+增量

天文椭圆

星体也是信封的家庭椭圆

 (x^2)/(c^2)+(y^2)((1-c)^2)-1=0,
(39)

如上图所示(Wells 1991)。

AstroidByTangents(按切线)

一个吸引人的星体排列可以被构造成一组与圆弧相切的切线(Trott 2004,第18-19页)。


另请参阅

星形椭球,三角肌,椭圆信封,双曲线八面体,拉梅曲线,肾病,毛茛类,超椭圆

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工具书类

Beyer,W.H。CRC标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第219页,1987J.D.劳伦斯。A类特殊平面曲线目录。纽约:多佛,第172-1751972页。洛克伍德,E.H.公司。《阿童木》第6章A类曲线书。英国剑桥:剑桥大学出版社,第52-61页,1967MacTutor数学历史档案。“阿童木。”网址:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Astroid.html斯隆,N.J。答:。顺序A093828号在“整数序列在线百科全书。"H.斯坦豪斯。数学快照,第三版。纽约:多佛,第146-147页,1999年。特洛特,M。石墨1:数学图形的世界。想象成真:迈克尔的形象特洛特。伊利诺伊州香槟:Wolfram Media,第11和83页,1999年。特洛特,M。这个图形数学指南。纽约:Springer-Verlag出版社,第19页,2004http://www.mathematicaguidebooks.org/威尔斯,D。这个企鹅奇趣几何词典。伦敦:企鹅,第10-11页,1991年。R.C.耶茨。“阿童木。”A类曲线及其特性手册。密歇根州安娜堡:J.W。爱德华兹,1952年第1-3页。

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Astroid”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Astroid.html

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