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第二类完全椭圆积分


椭圆形椭圆管椭圆珊瑚

第二类完全椭圆积分,如上所示,它是k,由定义

E(k)=E(1/2π,k)
(1)
=pi/2{1-sum_(n=1)^(infty)[(2n-1)!!)/(2n)
(2)
=1/2pi_2F_1(-1/2,1/2;1;k^2)
(3)
=整数_0^(K(K))dn^2(u,K)du,
(4)

哪里E(φ,k)是不完整的椭圆形第二类积分,_2F_1(a,b;c;x)超几何的功能、和dn(u,k)是一个雅各比椭圆函数.

它在Wolfram语言作为椭圆形[],哪里m=k^2参数.

E(k)可以按照以下公式以闭合形式计算K(kN)椭圆形的α函数 α(n)对于特殊值k=kN,其中kN(千牛顿)被称为椭圆形积分奇异值。其他特殊值包括

E(0)=1/2π
(5)
E(1)=1
(6)

第二类完全椭圆积分满足勒让德关系

 E(k)k^'(k)+E^'(k)k(k)-k(k,
(7)

哪里K(K)E(k)都完成了椭圆形第一个积分和第二类,以及K^'(K)E ^’(k)是互补积分。这个导数

 (dE)/(dk)=(E(k)-k(k))/k
(8)

(Whittaker和Watson,1990年,第521页)。

椭圆电极

微分方程的解

 k^('2)d/(dk)(k(dy)/(dk))+ky=0
(9)

(Zwillinger 1997,第122页;Gradshteyn和Ryzhik 2000,第907页)由

 y=C_1E(k)+C_2[E^'(k)-k^'(k)]。
(10)

如果千卢比是奇异值(即。,

 k_r=λ^*(r),
(11)

哪里λ^*椭圆形lambda函数)、和K(K_r)椭圆形的α函数 α(r)也是已知的,那么

 E(k)=(k(k))/(sqrt(r))[pi/(3[k(k。
(12)

另请参见

第一类完全椭圆积分,完成第三类椭圆积分,椭圆形Alpha函数,椭圆积分第二类,椭圆积分奇异值

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/ElliptiE/

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

I.S.格雷斯泰恩和I.M.瑞日克。积分、级数和乘积表,第6版。加州圣地亚哥:学术出版社,2000E.T.Whittaker和G.N.Watson。A类现代分析课程,第四版。英国剑桥:剑桥大学出版社,1990年。D.茨威林格。手册微分方程,第3版。马萨诸塞州波士顿:学术出版社,第122页,1997

参考Wolfram | Alpha

完全椭圆第二类积分

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。《第二类完全椭圆积分》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CompleteEllipticIntegralofSecondKind.html

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