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第二类完全椭圆积分

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椭圆形E椭圆管椭圆虫

第二类完全椭圆积分，如上所示，它是k个，由定义

E（k）=E（1/2π，k）
(1)
=pi/2{1-sum_（n=1）^（infty）[（2n-1）！！）/（2n）
(2)
=1/2pi_2F_1（-1/2,1/2；1；k^2）
(3)
=整数_0^（K（K））dn^2（u，K）du，
(4)

哪里E（φ，k）是不完整的椭圆形第二类积分,_2F_1（a，b；c；x）是超几何的功能、和dn（u，k）是一个雅各比椭圆函数.

它在Wolfram语言作为椭圆形E[米],哪里m=k^2是参数.

E（k）可以按照以下公式以闭合形式计算K（kN）和椭圆形α函数 α（n）对于特殊值k=k_n，其中k_n被称为椭圆形积分奇异值。其他特殊值包括

E（0）=1/2π
(5)
E（1）=1
(6)

第二类完全椭圆积分满足勒让德关系

E（k）k^'（k）+E^'（k）k（k）-k（k，
(7)

哪里K（K）和E（k）都完成了椭圆形第一个积分和第二类，以及K^'（K）和E ^’（k）是互补积分。这个导数是

（dE）/（dk）=（E（k）-k（k））/k
(8)

（Whittaker和Watson，1990年，第521页）。

椭圆电极

微分方程的解

k^（'2）d/（dk）（k（dy）/（dk））+ky=0
(9)

（Zwillinger 1997，第122页；Gradshteyn和Ryzhik 2000，第907页）由

y=C_1E（k）+C_2[E^'（k）-k^'（k）]。
(10)

如果千卢比是一个奇异值（即。，

k_r=λ^*（r），
(11)

哪里λ^*是椭圆形lambda函数)、和K（K_r）和椭圆形阿尔法函数 α（r）也是已知的，那么

E（k）=（k（k））/（sqrt（r））[pi/（3[k（k。
(12)

另请参见

第一类完全椭圆积分,完成第三类椭圆积分,椭圆形Alpha函数,椭圆积分第二类,椭圆积分奇异值

Wolfram相关网站

http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/ElliptiE/

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I.S.格雷斯泰恩。和I.M.Ryzhik。积分、级数和乘积表，第6版。加州圣地亚哥：学术出版社，2000E.T.惠塔克。和G.N.Watson。A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。D.茨威林格。手册微分方程，第3版。马萨诸塞州波士顿：学术出版社，第122页，1997

参考Wolfram | Alpha

完全椭圆第二类积分

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《第二类完全椭圆积分》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CompleteEllipticIntegraloftheSecondKind.html

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