双曲线

双曲线（复数“双曲线”；Gray 1997，第45页）是圆锥曲线定义为轨迹所有点的在中飞机谁的差异距离和从两个固定点（焦点 和)相隔一段距离是给定的积极的常数,

（希尔伯特和科恩·沃森1999年，第3页）落在左边-拦截要求

因此常数由下式给出,即-截取（上图左图）。双曲线具有重要的射线源于集中 以这样一种方式反映出传出路径另一条线集中通过交叉点（上图右）。

的特殊情况矩形双曲线，对应于偏心双曲线梅纳埃克穆斯首先对其进行了研究。欧几里得和阿里斯泰斯写过一般双曲线，但只研究了它的一个分支。双曲线阿波罗纽斯给它起了现在的名字，他是第一个研究这两个分支的人。这个集中和圆锥曲线截面准线被Pappus（MacTutor Archive）考虑。双曲线是物体在逃逸轨道上的轨道形状（即正的物体能量），例如一些彗星，约为固定质量，例如太阳。

双曲线可以通过连接自由端来构造刚性杆的，其中是一个集中和另一个集中 用一根绳子作为酒吧围绕旋转和紧靠杆（即躺在杆上）轨迹属于是双曲线的一个分支（上图左图；Wells 1991）。阿波罗纽斯的一个定理指出，对于与双曲线相切的线段一个点和相交点的渐近线和,然后是常数，并且（右上图；Wells 1991）。

让重点双曲线上有笛卡尔坐标然后是双曲线的定义给予

重新安排和完成方块

并用中的个结果

通过类比椭圆，定义

双曲线方程半长轴 平行于x个-轴线和半短轴 平行于年-轴线是由提供

或者，对于点的中心而不是,

与椭圆，双曲线的任何点实际上都不在半短轴而是比率确定的垂直比例双曲线。这个偏心，偏心 双曲线（总是满足)然后定义为

在双曲线的标准方程中，中心位于，的焦点位于，顶点位于.所谓的渐近线（如上图中的虚线所示）可以通过将0替换为一般方程右侧的1(8),

因此斜坡 .

特殊情况（上图左图）称为矩形双曲线因为渐近线是垂直的.

双曲线也可以定义为轨迹距离集中 与垂直方向的水平距离成正比线被称为圆锥曲线截面准线，其中比率为.出租是比率和准线所在中心的距离，然后

哪里因此只是偏心，偏心 .

像非圆形椭圆双曲线有二不同的焦点和两个相关圆锥曲线截面准线，每个圆锥曲线准线存在垂直的连接线两个焦点（Eves 1965，第275页）。

这个焦点参数双曲线的

在极坐标，以起源（即，使用)是

在极坐标居中于集中,

如上所示。

两个中心双极坐标方程式原点在集中是

参数化方程用于右分支双曲线的

哪里是双曲线的余弦和是双曲正弦，范围超过双曲线的右分支。

在双曲线的两个分支上的参数表示是

具有以及. The弧长度,曲率、和相切的角对于上述参数化

哪里是一个椭圆形的第二类积分.

这个特殊仿射曲率双曲线的是

这个轨迹变量顶点的圆锥体包含椭圆固定在三个空间中的是双曲线通过焦点的椭圆.此外轨迹的顶点圆锥体包含该双曲线是原始的椭圆此外，这个偏心率的椭圆双曲线是倒数。