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曲率


通常,曲率有两种重要类型:外曲率固有曲率. The外曲率两条曲线中的曲线-和三空间是历史上研究的第一种曲率,达到了顶峰在中Frenet公式,它描述了空间曲线完全就其“曲率”而言扭转,以及初始起点和方向。

在研究了二维和三维曲线的曲率之后,人们开始关注三维空间中曲面的曲率。出现的主要曲率这种审查是平均曲率,高斯曲率、和形状运算符.平均值曲率当时对应用程序来说是最重要的,也是最重要的研究,但高斯是第一个认识到高斯曲率.

因为高斯曲率是“固有的”,它对表面的二维“居民”是可探测的,而平均曲率形状操作人员无法研究三维空间的人无法检测到围绕他居住的表面的空间。的重要性高斯曲率对居民来说,它控制着地表地区属于球体在居民周围。

黎曼和许多其他人将曲率的概念推广到截面曲率,标量曲率,的黎曼张量,Ricci曲率张量、和一大堆其他内在的外在的曲率。一般曲率不再需要是数字,可以取a的形式地图,,广群,张量场等。

最简单的曲率形式,通常在微积分是一个外曲率.在两个维度中,让一个平面曲线由……提供笛卡尔 参数方程 x=x(t)y=y(t)然后是曲率卡帕,有时也称为“第一曲率”(Kreyszig 1991,第47页),定义如下

卡帕=(dphi)/(ds)
(1)
=((dphi)/(dt))/((ds)/(dt))
(2)
=((dphi)/(dt))/(sqrt(((dx)/(dt))^2+((dy)/(dd))
(3)
=((dphi)/(dt))/(平方(x^('2)+y^('2))),
(4)

哪里φ相切的秒弧长从中可以很容易地看出根据定义,曲率因此具有反距离单位。这个dphi/dt上述方程中的导数可以使用身份

坦菲=(dy)/(dx)
(5)
=(dy/dt)/(dx/dt)
(6)
=(y^')/(x^'),
(7)

所以

 d/(dt)(tanphi)=秒^2phi(dphi)/
(8)

(dphi)/(dt)=1/(秒^2phi)d/(dt)(tanphi)
(9)
=1/(1+tan^2phi)(x^'y^('')-y^'x^('''))/(x^
(10)
=1/(1+(y^('2))/(x^('2)))
(11)
=(x^'y^('')-y^'x^('''))/。
(12)

组合方程式(◇),3), (10),和(12)然后给出

 kappa=(x^'y^('')-y^'x^('''))/(x^。
(13)

对于以表格形式书写的二维曲线y=f(x),曲率方程变为

 kappa=((d^2y)/(dx^2))/([1+(dy/(dx))^2]^(3/2))。
(14)

如果在中参数化了二维曲线极地的协调,然后

 kappa=(r^2+2rθ^2-rr(θ))/((r^2+rθ2)^(3/2)),
(15)

哪里r_theta=部分/部分(格雷1997,第89页)。踏板坐标,曲率由提供

 kappa=1/r(dp)/(dr)。
(16)

隐式给出的二维曲线的曲率g(x,y)=0由提供

 kappa=(g(xx)gy^2-2g(xy)gxgy+g(yy)gx^2)/((gx^2+gy^2)^(3/2))
(17)

(Gray 1997)。

现在考虑参数化空间曲线 r(吨)在三维空间中切线矢量 T型^^定义为

 T ^^=((dr)/(dt))/(|(dr。
(18)

因此,

(dr)/(dt)=(ds)/(dt)T^^
(19)
(日期^2)/(日期^2)=(d^2s)/(dt^2)T^^+(ds)/(d)(dt^^)/(T)
(20)
=(d^2s)/(dt^2)T^^+kappaN^^((ds)/(dt))^2,
(21)

哪里N个^^正常的矢量.但是

(dr)/(dt)x(d^2r)/(d^2)=(ds)/(dt)(d^2s)/
(22)
=kappa((ds)/(dt))^3(T^^xN^^),
(23)

因此,采用双方的规范

 |(dr)/(dt)x(d^2r)/(ds^2)|=kappa((ds)/(dt))^3=kappa|(dr。
(24)

解决卡帕然后给出

卡帕=|(天^^)/(天)|
(25)
=(|(dr)/(dt)x(d^2r)/(d^2)/
(26)
=(|r^.xr^..|)/(|r ^.|^3)
(27)

(格雷,1997年,第192页)。

二维曲线的曲率与曲率半径曲线的密切圈.考虑一个圆圈由参数指定

 x=成本
(28)
 y=一个
(29)

其在给定点处与曲线相切。曲率为

 kappa=(x^'y^('')-y^'x^('''))/(x^,
(30)

或者在曲率半径.曲线的曲率圆圈也可以用矢量表示法重复。对于这个圆圈具有0<=t<2pi,的弧长

秒(t)=int_0^tsqrt(((dx)/(dt))^2+((dy)/(dt))
(31)
=int_0^tsqrt(a^2cos^2t+a^2sin^2t)dt
(32)
=在,
(33)

所以t=秒/年以及圆圈可以重写为

 x=aco(s/a)
(34)
 y=asin(s/a)。
(35)

这个半径矢量然后由给出

 r(s)=acos(s/a)x^^+asin(s/a,
(36)

切线向量

T型^^=(dr)/(ds)
(37)
=-sin(s/a)x^^+cos(s/a,
(38)

所以曲率与曲率半径 一通过

卡帕=|(天^^)/(天)|
(39)
=|-1/a年x月1日^^|
(40)
=sqrt((cos^2(s/a)+sin^2(s/a))/(a^2))
(41)
=1/a,
(42)

如预期。

微分几何中四个非常重要的导数关系与Frenet公式

参考号:。=T型
(43)
r ^。。=卡帕(kappaN)
(44)
r^。。。=卡帕^。N+卡帕(tauB-kappaT)
(45)
[r^.,r^..,r^…]=kappa^2tau,
(46)

哪里T型切线向量,N个法向量,B类副法线矢量、和陶扭转(科克塞特1969年,第322页)。

曲面上某一点的曲率采用多种值作为飞机通过正常变化。作为卡帕变化时,它会达到最小值和最大值(分别是垂直方向)称为主要的曲率如Coxeter(1969年,第352-353页)所示,

 kappa^2-sumb_i^ikappa+det(b_i^j)=0
(47)
 kappa^2-2Hkappa+K=0,
(48)

哪里K(K)高斯曲率,H(H)平均曲率、和det表示行列式.

曲率卡帕有时称为第一曲率扭转 陶第二个曲率。此外,第三曲率(有时称为全部的曲率)

 平方码(ds_T^2+ds_B^2)
(49)

也定义了。曲率的签名版本圆圈出现在笛卡尔圆定理四个相切圆中的第四个圆的半径称为弯曲.


另请参见

弯曲,Binormal向量,曲率中心,外在的曲率,四维定理,高斯曲率,固有曲率,朗克雷方程式,曲率线,平均值曲率,多变量微积分,法线曲率,正常矢量,密切接触圈,负责人曲率,曲率半径,里奇曲率张量,黎曼张量,标量曲率,截面曲率,形状操作员,特殊仿射曲率,草皮圆圈,切线矢量,第三曲率,扭转,总曲率 在数学世界课堂上探索这个主题

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工具书类

J.凯西。探索曲率。德国威斯巴登:Vieweg,1996年。科克塞特,H.S。M。介绍几何,第2版。纽约:威利出版社,1969年。Fischer,G.(编辑)。板79-85英寸数学比尔班德大学博物馆模型。布伦瑞克,德国:Vieweg,第74-81页,1986年。Gray,A.“曲线曲率在平面中,“绘制具有指定曲率的平面曲线”,以及“绘制指定曲率的空间曲线”§1.5、6.4和10.2在里面现代Mathematica的曲线和曲面微分几何,第2版。博卡佛罗里达州Raton:CRC出版社,第14-17、140-146和222-2241997页。克莱西格,E.“主法向、曲率、紧密圆”第12节有差别的几何学。纽约:多佛,第34-361991页。R.C.耶茨。“曲率。”A类曲线及其特性手册。密歇根州安娜堡:J.W。爱德华兹,第60-641952页。

参考Wolfram | Alpha

曲率

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“曲率。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Curvature.html

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