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帕普斯链

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帕普斯链

从圆圈开始第1页与三者相切半圆形成阿贝洛斯,构建一个链相切圆 i（_i），均与两个小内圆中的一个相切到大的外部。此链称为帕普斯链（左图）。

在帕普斯链中，与第一条链中心的距离刻有文字的 圆圈 第1页底线是圆圈的 半径，从第二个圆圈 第2页是四倍半径,对于n个第个圆圈 P_n（_n）是2个乘以半径此外，圆心pi（_i）躺在椭圆（右图）。

如果r=AB/AC，然后是的中心和半径这个n个第个圆P_n（_n）在帕普斯链中有

x个n=（r（1+r））/（2[n^2（1-r）^2+r]）
（1）
y_n号=（nr（1-r））/（n^2（1-r）^2+r）
（2）
序号=（（1r）r）/（2[n^2（1-r）^2+r]）。
(3)

这个一般结果简化为r_n=1/（6+n^2）对于r=2/3（加德纳1979）。其他特殊情况AC=1+AB被Gaba（1940）考虑。

帕普斯圆圈

第一个圆的切点位置为

x（A）=r/（（1-r）^2）
(4)
y_A（年）=（r（1-r））/（（1-r）^2）
(5)
x（B）=（r（1+r））/（1+r^2）
(6)
y_B（y_B）=（r（1-r））/（1+r^2）
(7)
x _ C=（r^2）/（1-2r+2r^2
(8)
y_C（y_C）=（r（1-r））/（1-2r+2r^2）。
(9)

这个直径的n个第个圆圈 P_n（_n）由提供(1/n个)第个垂直的，垂直的距离至底座半圆。这个结果是已知的帕普斯将其称为一个古老的定理（胡德1961，卡德维尔1966，加德纳1979年，Bankoff 1981年）。注意，这也适用于切线圆链从开始P_1并与阿贝洛斯.最简单的证明是通过维逆几何.

消除n个根据x个n和y_n号，中心（xn，yn）圆形的P_n（_n），给出

4rx^2-2r（1+r）x+（1+r）^2y^2=0。
(10)

完成方块可以

4r[x-1/4（1+r）]^2+（1+r^2）y^2=1/4r（1+r）^2，
(11)

可以重新安排为

[（x-1/4（1+r））/（1/4（1+/r））]^2+（y/（1/2sqrt（r）））^2=1，
(12)

这就是椭圆有中心的方程（（1+r）/4.0）和半长轴和半短轴（1+r）/4和平方（r）/2分别是。自

c=平方（a^2-b^2）=1/4（1-r），
(13)

（1+r）/4+/-c=r/2和1/2，所以椭圆焦点位于包围链的半圆的中心。

Pappus切线链

圆圈T_n（_n）与第一个梅花半圆和相邻的帕普斯圆相切P_（n-1）和P_n（_n）有位置和大小

x_n^'=（r（7+r））/（2[4+4n（n-1）（1-r）^2+r（r-1）]）
(14)
y_n^'=（2（2n-1）r（1-r））/（4+4n（n-1）（1r）^2+r（r-1））
(15)
r_n^’=（r（1-r））/（2[4+4n（n-1）（1r）^2+r（r-1）]）。
(16)

此问题的特例r=1/2（给出相等的圆圈形成圆珠笔）在日本寺庙的石碑上(Sangaku问题)1788年在东京县（Rothman 1998）。在这种情况下，解决方案简化了到

x_n^'=（15） /（2（15-4n+4n^2））
(17)
y_n^'=（2（2n-1））/（15-4n+4n^2）
(18)
r_n^'（_r）=1/（2（15-4n+4n^2））。
(19)
Pappus切线链2

此外，围绕该圆的三个相切圆的位置和半径也可以解析地求出，并由下式给出

x_n^（（1））=（r（17+r））/（2[12+3n（3n-4）（1-r）^2+r（4r-7）]）
(20)
y_n^（（1））=（3（3n-2）（1-r）r）/（12+3n（3n-4）（1-r）^2+r（4r-7））
(21)
r_n^（（1））=（r（1-r））/（2[12+3n（3n-4）（1r）^2+r（4r-7）]）
(22)
x_n^（（2））=（r（17+r））/（2[9+3n（3n-2）（1r）^2-r（1-r）]）
(23)
y_n^（（2））=（3（3n-1）（1-r）r）/（9+3n（3n-2）
(24)
r_n^（（2））=（r（1-r））/（2[9+3n（3n-2）（1r）^2-r（1-r）]）
(25)
x_n^（（3））=（r（17+7r））/（2[9+12n（n-1）（1-r）^2+r（4r-1）]）
(26)
y_n^（（3））=（6（2n-1）（1-r）r）/（9+12n（n-1）
(27)
序号（（3））=（r（1-r））/（2[9+12n（n-1）（1-r，^2+r（4r-1）]）。
(28)

如果B类划分交流在中黄金比率 φ，则链中的圆满足许多其他特殊财产（Bankoff 1955）。

在每个阿贝洛斯，有两条帕普斯链pi（_i）和i^'（_i），使用P_1=P_1^'.对于固定n个，连接中心的线P_n（_n）和P_n^'穿过外部相似中心S公司两个较小的半圆形的圆球。连接线路切点P_n（_n）和P_（n+1）和切点P_n^'和P_（n-1）^'通过S公司也。也是连接切点的线P_n（_n）和大的外半圆（较小的内半圆）和切点P_n^'和大的外部半圆（较小的内部半圆）穿过S公司。这可以通过圆反转来证明。特别地，自从P_1=P_1^',的公共切线第1页大的外半圆穿过S公司.

另请参见

阿贝洛斯,正切圆的Coxeter Loxodromic序列,巴氏杆菌属质心定理,帕普斯调和定理,帕普斯六边形定理,六圆定理,草皮圆圈,斯坦纳链条

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Bankoff，L.《金色的阿贝洛》脚本数学。 21, 70-76, 1955.Bankoff，L.“阿基米德的双圈真的吗？”双胞胎？"数学。美格。 47, 214-218, 1974.Bankoff，L。“帕普斯是怎么做到的？”这个数学加德纳（编辑D.Klarner）。马萨诸塞州波士顿：普林德尔、韦伯和施密特，第112-1181981页。卡德威尔，J.H。话题娱乐数学。英国剑桥：剑桥大学出版社，1966J.凯西。A类欧几里德元素的前六本书的续集，包含简单介绍《现代几何与无数实例》，第5版，修订版。都柏林：Hodges，菲吉斯公司，第103页，1888年。M.G.加巴。“关于泛化阿贝洛斯。"阿默尔。数学。每月 47, 19-24, 1940.加德纳，M.“数学游戏：相切圆的多样乐趣一个接一个。"科学。阿默尔。 2401979年1月18日至28日。罩，R.T.公司。“一连串的圆圈。”数学。教师 54, 134-137,1961R.A.约翰逊。现代几何学：关于三角形和圆的几何学的初级论文。马萨诸塞州波士顿：霍顿·米夫林，第117页，1929年。Rothman，T.“日语寺庙几何。"科学。阿默尔。 2781998年5月，第85-91页。斯坦纳，J。雅各布施泰纳的gesammelte Werke，乐队I。纽约州布朗克斯：切尔西，第47页，1971年。

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帕普斯链

引用如下：

van Lamoen，楼层和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“帕普斯链。”摘自数学世界--一只狼Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PappusChain.html

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