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第一类椭圆积分

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让椭圆模量 k个满足0＜k^2＜1、和雅各比振幅由……提供φ=amu具有-pi/2<phi<pi/2.的不完全椭圆积分第一种定义为

u=F（φ，k）=int_0^φ（dtheta）/（平方（1-k^2平方英寸））。
(1)

第一类椭圆积分在Wolfram语言作为椭圆F[φ,米] (注意参数的使用m=k^2而不是模量k个).

出租

t吨=正弦
(2)
日期=costhetadtheta服装
(3)
=平方（1-t^2）数据eta，
(4)

方程式(1)可以写为

F（φ，k）=int_0^（sinphi）1/（平方米（1-k^2t^2））（dt）/（平方米
(5)
=int_0^（sinphi）（dt）/（sqrt（（1-k^2t^2）（1-t^ 2）））。
（6）

出租

v（v）=坦提塔舞
(7)
数字电视=sec^2thetadtheta=（1+v^2）数据集，
(8)

那么积分也可以写成

F（φ，k）=int_0^（tanphi）（dv）/（sqrt（（1+v^2）（1+k^（'2）v^2，
(9)

哪里k^（'2）=1-k^2是互补的椭圆模量.

的反函数F（φ，k）由雅各比振幅

F^（-1）（u，k）=φ=am（u，k）。
(10)

积分

I=1/（sqrt（2））int_0^（θ_0）（数据集）/（sqert（costheta-costheta_0）），
(11)

在计算摆的周期时产生的，也是第一类椭圆积分。使用

服装=1-2sin^2（1/2θ）
(12)
罪（1/2 theta）=平方英尺（（1-成本）/2）
(13)

写

sqrt（costheta-costheta_0）=平方（1-2sin^2（1/2 theta）-costheta_0）
(14)
=平方（1-costheta_0）平方（1-2/（1-costa_0）sin^2（1/2theta））
(15)
=sqrt（2）sin（1/2theta_0）sqrt，
(16)

所以

I=1/2int_0^（θ_0）（dtheta）/（sin（1/2theta_0）sqrt（1-csc^2（1/2heta_0，sin^2（1/2 theta））。
(17)

现在让我们

sin（1/2θ）=sin（1/2θ0）sinphi，
(18)

所以角度θ被转换为

φ=正弦^（-1）[（正弦（1/2θ））/（正弦（1/2θ0））]，
(19)

范围从0到pi/2作为θ从0到θ0.取微分得出

1/2 cos（1/2 theta）dtheta=sin（1/2 theta_0）cosphidphi，
(20)

或

1/2sqrt（1-sin^2（1/2 eta_0）sin^2 phi）dtheta=sin（1/2 eta_0）cosphidphi。
（21）

插入此项可提供

我=int_0^（pi/2）1/（sqrt（1-sin^2（1/2theta_0）sin^2phi））
（22）
=int_0^（pi/2）（dphi）/（sqrt（1-sin^2（1/2theta_0）sin^2phi））
(23)
=K（sin（1/2θ_0）），
(24)

所以

我=1/（平方（2））int_0^（θ_0）（数据集）/（平方（costheta-costheta_0））
(25)
=K（sin（1/2 theta_0））。
(26)

进行稍微不同的替换φ=θ/2，所以dtheta=2dphi导致一个等价但更复杂的表达式涉及不完整的第一类椭圆积分，

我=21/（平方码（2））1/（平方码
(27)
=csc（1/2theta_0）F（1/2therta_0，csc（1/2 theta_0））。
(28)
椭圆FReIm椭圆FContours

因此，身份

F（z，cscz）=sinzK（sinz）
(29)

至少保留了复平面.适用范围为-π/2<R[z]<π/2，如上图所示。

第一类椭圆积分满足

F（-phi，k）=-F（-phi.，k）。
(30)

的特殊值F（φ，k）包括

F（0，k）=0
(31)
F（1/2π，k）=K（K），
（32）

哪里K（K）被称为完全椭圆第一类积分.

另请参见

第一类完全椭圆积分,椭圆形特性,椭圆积分第二类,椭圆积分第三类,椭圆积分奇异值,椭圆模量,高斯的转型,雅可比振幅,兰登的转型,勒让德关系,模块化角度,参数

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/ElliptiF/

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《椭圆积分》第17章手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第587-607页，1972年。Gradshteyn，美国。和Ryzhik，国际货币基金组织。桌子积分、级数和乘积，第6版。加州圣地亚哥：学术出版社，2000Spanier，J.和Oldham，K.B。“完全椭圆积分K（p）和E（p）“和”不完全椭圆积分F（p；φ）和E（p；φ）."章节。61-62英寸安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第609-6331987页。特尔克，F.“Parameterfunktionen”Ch.3英寸Praktische公司Funktionenlehre，zweiter乐队：Theta-Funktionen und spezielle Weierstraßsche富克提翁。柏林：Springer-Verlag，第83-115页，1966年。特尔克，F.“Umkehrfunktitonen der Jacobischen elliptischen funktitionen und elliptiche”正规积分erster Gattung。Elliptische Amplitudenfunctionen sowie Legendresche公司F类-und（单位）E类-功能。德国标准化协会。雅各布斯Zeta-und Heumansche Lambda-Funktionen”和“正规积分滴流Gattung”。Legendresche传奇圆周率-功能。Zurückführung des allgemeinen elliptischen公司正规积分、zweiter和dritter Gattung的积分。“第6-7章在里面Praktische公司Funktitonenlehre，滴带：Jacobische elliptische Funktitionen，Legendresche elliptische正规积分和spezielle Weierstraßsche Zeta和Sigma Funktitonen。柏林：施普林格出版社，第58-1441967页。E.T.惠塔克。和G.N.Watson。A类现代分析课程，第4版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。D.茨威林格。手册微分方程，第3版。马萨诸塞州波士顿：学术出版社，第122页，1997

参考Wolfram | Alpha

的椭圆积分第一类

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《第一类椭圆积分》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html

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