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圆圈Pi

圆是平面上与给定点等距的一组点O（运行）.距离第页来自中心被称为半径，以及要点O（运行）被称为中心.加倍半径被称为直径 d=2转.圆与之相对的角度它的中心是全角度，等于360度或2π 弧度.

圆具有最大可能值地区对于给定的周长,以及尽可能少的周长对于给定的地区.

这个周长 C类一个圆的圆周,并由给出

C=pid=2pir。
(1)

这可以使用微积分使用的公式弧长在里面极地的协调,

C=int_0^（2pi）sqrt（r^2+（（dr）/（dtheta））^2）dtheta，
(2)

但自从r（θ）=r，这变得很简单

C=int_0^（2pi）rdtheta=2pir。
(3)

这个圆周-至-直径比率C/d公司因为圆的大小是恒定的改变了圆的形状（因为按系数缩放平面图形秒增加其周长通过秒)、和d日也按比例缩放秒。表示该比率圆周率(圆周率)，并已被证明超越的.

圆形区域条纹

知道C/d公司，的地区可以用几何或微积分.如上图所示，随着同心条的数量增加到无穷大表格a三角形，所以

A=1/2（2pir）r=pir^2。
(4)

阿基米德于年首次记录了这种推导圆的测量（约公元前225年）。

圆形区域楔形

如果圆形被切成楔形，随着楔形数量增加到无穷大，一矩形结果，所以

A=（pir）r=pir^2。
(5)

发件人微积分，该区域紧跟公式

A=int_0^（2pi）dthetaint_0^rrdr=（2π）（1/2r^2）=pir^2，
(6)

再次使用极坐标.

圆也可以被视为正多边形具有半径（inradius） 第页和外半径 R（右）作为边数n个接近无穷大（一个在技术上被称为无尾猿).这就提供了圆周作为

C类=lim（n->infty）2rntan（pi/n）=2pir
(7)
=lim_（n->infty）2Rnsin（pi/n）=2piR，
(8)

和地区作为

A类=lim_（n->infty）nr^2tan（pi/n）=pir^2
(9)
=lim_（n->infty）1/2nR^2sin（（2pi）/n）=piR^2，
(10)

它们与半径相等第页和R（右）收敛到与n->不完整.

不幸的是，几何学家和地形学家对“n个-球体”，几何图形参考底层空间中的坐标数量，以及地形学家参考的表面本身的尺寸（Coxeter 1973，第125页）。因此，几何师通常将圆周称为2球体，而地形学家则称之为将其作为1个球体，并将其表示为序号^1.

圆圈是一个圆锥曲线通过交集获得圆锥体用一个飞机 垂直的到圆锥体的对称轴。它也是一个李萨如曲线.圆是椭圆具有相等的半长轴和半短轴（即偏心，偏心0). 圆的内部称为磁盘.概述圆到三维的距离称为球、和到n个尺寸n> =4一超球面.

两个圆的相交区域称为透镜三个对称放置的圆的相交区域（如维恩图表)，在每个中心位于交叉口的特殊情况下其他两个中的一个称为Reuleaux三角形.

在笛卡尔坐标，一个圆的方程半径 一以…为中心（x0，y0）是

（x-x0）^2+（y-y_0）^2=a^2。
(11)

在踏板坐标与踏板指向在中心，方程是

pa=r ^2。
(12)

圆圈具有P_1P_2直径由以下公式给出

（x-x1）（x-x2）+（y-y_1）（y-y_2）=0。
(13)

这个参数方程对于一个圆半径 一可以通过以下方式给出

x个=阿科斯特
(14)
年=阿森特。
(15)

圆也可以通过有理函数参数化

x个=（1+t^2）
(16)
年=（2吨）/（1+t^2），
(17)

但是一个椭圆曲线不能。

圆形法线切线

上面的图显示了一系列正常的和切线向量用于圆。

这个弧长 秒,曲率 卡帕、和切向角 φ半径为的圆一用（◇）和（◇

秒（t）=在
(18)
κ（t）=每年1次
(19)
φ（t）=吨/年。
(20)

这个塞萨罗方程是

kappa=1/a。
(21)

在极坐标圆的方程具有特别简单的形式。

r=a
(22)

是一个圆半径 一居中于起源,

r=2个costheta
(23)

是圆半径 一居中于（a，0）、和

r=2正弦θ
(24)

是一个圆半径 一以…为中心（0，a）.

圆通过三点的方程（x i，y i）对于i=1、2、3（外接圆的三角形由点决定）是

|x^2+y^2xy1；x_1^2+y_1^2 x_1y_1 1；x_2^2+y_2^2x_2y_21；x_3^2+y_3^2 x_3 y_3 1 |=0。
(25)

这个中心和半径可以通过分配二次型的曲线

ax^2+cy^2+dx+ey+f=0，
(26)

哪里a=c和b=0（因为没有xy公司跨期限）。正在完成广场给予

a（x+d/（2a））^2+a（y+e/（2a））^2+f-（d^2+e^2）/（4a）=0。
(27)

这个中心然后可以识别为

x_0个=-日期/（2a）
(28)
y_0（零）=-e/（2a）
(29)

和半径作为

r=sqrt（（d^2+e^2）/（4a^2）-f/a），
(30)

哪里

一=|x_1 y_1 1；x_2 y_2 1；x3 y3 1个|
(31)
d日=-|x_1^2+y_1^2 y_1 1；x_2^2+y_2^2 y_21；x_3^2+y_3^2 y_3 1|
(32)
e（电子）=|x_1^2+y_1^2 x_11；x_2^2+y_2^2x_21；x_3^2+y_3^2 x_31|
(33)
（f）=-|x_1^2+y_1^2 x_1y_1；x_2^2+y_2^2x_2y_2；x_3^2+y_3^2 x_3y_3|。
(34)

位于圆上的四个或更多点称为共环的。由于三个非共线点决定了圆形。

在三线坐标，每个圆都有形式的方程式

（lalpha+mbeta+ngamma）（aalpha+bbeta+cgamma）+k（abetagamma+bgammaalpha+calphabeta）=0
(35)

具有k！=0（Kimberling 1998，第219页）。

中心α0：β0：γ0方程给出的圆(35)由给定

字母_0=l+kcosA-ncosB-mcosC
(36)
β_0=m-ncosA+kcosB-lcosC
(37)
伽马_0=n-mcosA-lcosB+kcosC
(38)

（Kimberling 1998，第222页）。

在精确三线坐标 （α、β、γ），方程通过三个非共线点的圆准确的三线坐标 （α_1、β_1、γ_1）,（α_2、β_2、γ_2）、和（α3、β3、γ3）是

|阿贝塔加玛+bgammaalpha+calphabeta-al-beta-gamma；abeta_1gamma_1+bgamma_1alpha_1+calpha_1beta_1alpha_beta_1γ_1；abeta2gamma2+bgamma2alpha2+calpha2beta2 alpha2 beta2 gamma2；abeta3gamma3+bgamma3alpha3+calpha3beta3 alpha3 beta3 gamma3 |=0
(39)

（Kimberling 1998，第222页）。

半径三线性圆的方程R（右）带中心α0：β0：γ0由Kimberling给出（1998年，第223页）。

另请参见

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“圆形。”来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Circle.html

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