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圆形

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圆圈Pi

圆是平面上与给定点等距的一组点O（运行）.距离第页来自中心被称为半径，以及要点O（运行）被称为中心.加倍半径被称为直径 d=2转.圆所面对的角度它的中心是全角度，等于360度或2π 弧度。

圆圈具有最大可能地区对于给定的周长,以及尽可能少的周长对于给定的地区。

这个周长 C类一个圆的圆周,并由给出

C=pid=2pir。
（1）

可以使用以下公式计算微积分使用公式弧长在里面极地的协调,

C=int_0^（2pi）sqrt（r^2+（（dr）/（dtheta））^2）dtheta，
(2)

但自从r（θ）=r，这变得简单

C=int_0^（2pi）rdtheta=2pir。
（3）

这个圆周-至-直径比率C/d公司因为圆的大小是恒定的改变了圆的形状（因为按系数缩放平面图形秒增加其周长通过秒)、和d日也按比例缩放秒。表示该比率圆周率(圆周率)，并已被证明超越的。

圆形区域条纹

知道C/d公司，的地区可以用几何或微积分。如上图所示，随着同心条的数量增加到无穷大表格a三角形，所以

A=1/2（2pir）r=pir^2。
(4)

阿基米德于年首次记录了这种推导圆的测量（约公元前225年）。

圆形区域楔形

如果圆形被切成楔形，随着楔形数量增加到无穷大，一矩形结果，所以

A=（pir）r=pir^2。
(5)

发件人微积分，该区域紧跟公式

A=int_0^（2pi）dthetaint_0^rrdr=（2π）（1/2r^2）=pir^2，
(6)

再次使用极坐标。

圆也可以被视为正多边形具有半径（inradius） 第页和外半径 R（右）作为边数n个接近无穷大（技术上称为无尾猿)。这就提供了圆周作为

C类=lim_（n->infty）2兰特（pi/n）=2pir
（7）
=lim_（n->infty）2Rnsin（pi/n）=2piR，
(8)

和地区作为

A类=lim_（n->infty）nr^2tan（pi/n）=pir^2
(9)
=lim_（n->infty）1/2nR^2sin（（2pi）/n）=piR^2，
(10)

它们与半径相等第页和R（右）收敛到与n->不完整。

不幸的是，几何学家和地形学家对“n个-球体”，几何图形参考基础空间中的坐标数和地形学家参考的表面本身的尺寸（Coxeter 1973，p.125）。因此，几何学家通常将圆周称为2球体，而地形学家则称之为将其作为1个球体，并将其表示为序号^1。

圆圈是一个圆锥曲线通过交集获得圆锥体用一个飞机 垂直的，垂直的到圆锥体的对称轴。它也是一个李萨如曲线.圆是椭圆具有相等的半长轴和半短轴（即偏心，偏心0). 圆的内部称为磁盘.概述圆到三维的距离称为球、和到n个尺寸n> =4一超球面。

两个圆的相交区域称为透镜三个对称放置的圆（如维恩图表)，在每个中心位于交叉口的特殊情况下其他两个中的一个称为Reuleaux三角形。

在笛卡尔坐标，一个圆的方程半径 一以…为中心（x_0，y_0）是

（x-x0）^2+（y-y_0）^2=a^2。
(11)

在踏板坐标使用踏板指向在中心，方程是

pa=r^2。
(12)

圆圈具有P_1P_2直径由以下公式给出

（x-x1）（x-x2）+（y-y_1）（y-y_2）=0。
（13）

这个参数方程对于一个圆半径 一可以通过以下方式给出

x个=阿科斯特
(14)
年=阿森特。
(15)

圆也可以通过有理函数参数化

x个=（1-t^2）/（1+t^2）
(16)
年=（2吨）/（1+t^2），
(17)

但是一个椭圆曲线不能。

圆形法线切线

上面的图显示了一系列正常的和切线向量用于圆。

这个弧长 秒,曲率 卡帕、和切向角 φ半径为的圆一由参数表示(◇) 和(◇) 是

秒（t）=在
(18)
卡帕（吨）=每年1次
(19)
φ（t）=吨/年。
(20)

这个塞萨罗方程是

kappa=1/a。
(21)

在极坐标，圆的方程式具有特别简单的形式。

r=a
(22)

是一个圆半径 一居中于起源,

r=2个costheta
(23)

是圆半径 一居中于（a，0）、和

θ中r=2
(24)

是一个圆半径 一以…为中心（0，a）。

圆通过三点的方程（x i，y i）对于i=1，2，3（外接圆的三角形由点决定）是

|x^2+y^2xy1；x_1^2+y_1^2 x_1y_1 1；x_2^2+y_2^2x_2y_21；x_3^2+y_3^2 x_3 y_3 1 |=0。
(25)

这个中心和半径可以通过分配二次的曲线

ax^2+cy^2+dx+ey+f=0，
(26)

哪里a=c和b=0（因为没有xy公司跨期限）。正在完成广场给予

a（x+d/（2a））^2+a（y+e/（2a））^2+f-（d^2+e^2）/（4a）=0。
(27)

这个中心然后可以识别为

x_0个=-日期/（2a）
（28）
y_0（零）=-e/（2a）
（29）

和半径作为

r=sqrt（（d^2+e^2）/（4a^2）-f/a），
(30)

哪里

一=|x_1 y_1 1；x_2 y_ 2 1；x3 y3 1个|
(31)
d日=-|x_1^2+y_1^2 y_1 1；x_2^2+y_2^2 y_21；x_3^2+y_3^2 y_3 1|
（32）
e（电子）=|x_1^2+y_1^2 x_11；x_2^2+y_2^2x_21；x_3^2+y_3^2 x_31|
(33)
（f）=-|x_1^2+y_1^2 x_1y_1；x_2^2+y_2^2x_2y_2；x_3^2+y_3^2x_3y_3|。
(34)

位于圆上的四个或更多点称为共环的。由于三个非共线点决定了圆形。

在三线坐标，每个圆都有形式的方程式

（lalpha+mbeta+ngamma）（aalpha+bbeta+cgamma）+k（abetagamma+bgammaalpha+calphabeta）=0
(35)

具有k=0（Kimberling 1998，第219页）。

中心α0：β0：γ0方程给出的圆(35)由提供

字母_0=l+kcosA-ncosB-mcosC
(36)
β_0=m-ncosA+kcosB-lcosC
(37)
伽马_0=n-mcosA-lcosB+kcosC
(38)

（Kimberling 1998，第222页）。

在精确三线坐标 （α、β、γ），方程通过三个非共线点的圆准确的三线坐标 （α_1、β_1、γ_1）,（α_2、β_2、γ_2）、和（α_3、β_3、γ_3）是

|阿贝塔加玛+bgammaalpha+calphabeta-al-beta-gamma；abeta_1gamma_1+bgamma_1alpha_1+calpha_1beta_1alpha_beta_1γ_1；abeta2gamma2+bgamma2alpha2+calpha2beta2 alpha2 beta2 gamma2；abeta3gamma3+bgamma3alpha3+calpha3beta3 alpha3 beta3 gamma3 |=0
(39)

（Kimberling 1998，第222页）。

半径三线性圆的方程R（右）带中心α0：β0：γ0由Kimberling给出（1998年，第223页）。

另请参见

亚当斯圆圈,阿皮罗贡,弧,布拉斯克定理,布拉马古塔公式,布罗卡牌手表圆形,凯西定理,中央圆形,Cevian圆,和弦,循环进化,圆形书写,圆渐开线,圆形-线条交叉,圆平行曲线,圆形电源,外接圆,周长,克利福德的圆定理,关闭的磁盘,同心的圆圈,余弦圆,科特斯Circle属性,直径,磁盘,Droz-Farny圆圈,椭圆,欧拉三角形公式,外圆,排泄物循环,眼球定理,费尔巴哈定理,弗斯特Lemoine圆圈,五个磁盘问题,花生命的意义,福特圆形,富尔曼圆形,格什戈林圆定理,哈特圆,环形（Incircle）,反转距离,金尼的设置,透镜,莱斯特圈,李萨如曲线,魔术圆圈,马尔法蒂圆圈,麦凯圆圈,中间圆,米克尔五圆定理,蒙日圆定理,纽伯格圆,九点圆形,打开磁盘,招架圆形,圆周率,点圆,极坐标圆,素数圆,伪圆,托勒密的定理,帕塞尔定理,激进派线路,半径,勒洛三角形,生命的种子,塞弗特圆形,半圆,七圆定理,相似圆,挤压,六圆定理,草皮圆圈,球体,施皮克尔圆形,泰勒圆,塔克圆圈,单位圆,维恩图表,维拉尔索圆圈,阴阳 在中探索此主题数学世界教室

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“圆形。”来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Circle.html

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