搜索： a005231-编号：a0052321
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范围<=53850001内无第二项-R.J.马塔尔2011年3月21日
没有其他条款与10^9以下的21（mod 30）一致-M.F.哈斯勒2016年7月16日
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例子
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a（1）=351351=3^3*7*11*13^2是除7和11之外的所有47个真除数（包括1）的和，但如果不使用平凡除数1，就不可能得到相同的和：所有真除数*大于1*的和产生351351+7+11-1=351351+17，并且不可能得到17作为{3,7,9,11,13,21，…}子集的和。因此，351351不在A136446号，因此按此顺序-M.F.哈斯勒，2016年7月16日，2021年3月15日编辑
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黄体脂酮素
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（PARI）是_A122036号（n） =｛n＞351350&&！是_A005835号（n，n=除数（n）[2..-2]）&&n&&vecsum（n）>=n[1]*n[#n]&&n[1]>2}\\（在is之后检查富余奇数_A005835号（）而不是之前，以便在已知满足这些条件的候选人上操作时更快。）更新了当前PARI语法M.F.哈斯勒2016年7月16日，进一步编辑2020年1月31日
对于步骤（n=1，10^7，2，是_A122036号（n） &&打印1（n“，”）
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交叉参考
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关键词
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非n,布雷夫,更多,美好的,坚硬的
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作者
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经核准的
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15015, 255255, 4849845, 111546435, 33426748355, 1236789689135, 50708377254535, 2180460221945005, 102481630431415235, 5431526412865007455, 320460058359035439845, 19548063559901161830545, 1309720258513377842646515, 1357656019974967471687377449, 107254825578022430263302818471
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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最小项是a（5）=3*5*7*11*13，没有奇数丰富(A005231号)等于少于5个连续素数的乘积。
这些术语通常不是原始的丰富数字(A091191号)特别是，当a（n）是a（n-1）的倍数时，情况就不可能是这样了，对于大多数项来说，a（n*A117366号（a（n-1））。在另一个事件中，spf（a（n））=下一个素数A007741号(2,3,4...). 这些正是这个序列中的基本术语。
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链接
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配方奶粉
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a（n）>=a（n-1）*p，其中p=A117366号（a（n-1））=A151800型(A006530号（a（n-1））=下一素数（gpf（a（a-1））），奇数富足数等于n个连续素数的乘积。对于n=9，18，31，46，67，…，我们有严格不等式。。。，在这种情况下，a（n）=a（n-1）*p*p'/q，其中p'=下一素数（p），q=a（n-1）的最小素数因子。如果a（n）在A007741号.
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例子
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对于n<5，没有奇数富足数等于n个不同素数的乘积。
对于5<=n<=8，等于n个连续素数乘积的最大奇富足数是3**素数（n+1）。
对于9<=n<=17，等于n个连续素数乘积的最大奇数丰富数是5**素数（n+2）。
对于18<=n<=30，等于n个连续素数的乘积的最大奇丰富数是7**素数（n+3）。
对于31<=n<=45，等于n个连续素数乘积的最大奇数丰富数是11**素数（n+4）。
对于46<=n<=66，等于n个连续素数乘积的最大奇数丰富数是13**素数（n+5）。
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黄体脂酮素
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（PARI）a（r，f=向量（r，i，素数（i+1）），o）={while（sigma（factorback（f），-1）>2，o=f；f=concat（f[^1]，nextprime（f[r]+1）））；factorbacks（o）}\\当n<5时故意抛出错误。
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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13, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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5、1
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评论
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最小项是a（5），没有奇数丰富数(A005231号)等于少于5个连续素数的乘积。
相应的丰富数字是A285993型（n） =素数（k-n+1）**素数（k），其中素数（k）＝a（n）。
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链接
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配方奶粉
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例子
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对于n<5，没有奇数富足数等于n个不同素数的乘积。
对于5<=n<=8，等于n个连续素数乘积的最大奇富足数是3**a（n），其中a（n）=素数（n+1）。
对于9<=n<=17，等于n个连续素数乘积的最大奇数丰富数是5**a（n），其中a（n）=素数（n+2）。
对于18<=n<=30，等于n个连续素数乘积的最大奇数丰富数是7**a（n），其中a（n）=素数（n+3）。
对于31<=n<=45，等于n个连续素数乘积的最大奇数丰富数是11**a（n），其中a（n）=素数（n+4）。
对于46<=n<=66，等于n个连续素数乘积的最大奇数丰富数是13**a（n），其中a（n）=素数（n+5）。
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黄体脂酮素
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（PARI）a（r，f=向量（r，i，素数（i+1）），o）={while（sigma（factorback（f），-1）>2，o=f；f=连接（f[^1]，下一个素数（f[r]+1））；o[#o]}\\当n<5时故意抛出错误。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A005101号
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| 丰富的数字（m的除数之和超过2m）。
（原M4825）
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333
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12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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第一个偶数富足数是12=2^2*3，第一个奇数富足是945=3^3*5*7，这是第232个富足数！
如果m=6k（k>=2），那么σ（m）>=1+k+2*k+3*k+6*k>12*k=2*m。因此，所有这些m都在序列中。
根据Deléglise（1998），丰富的数字具有自然密度0.2474<A（2）<0.2480。因此，第n个丰富数渐近到4.0322*n<n/A（2）<4.0421*n-丹尼尔·福格斯2015年10月11日
发件人鲍勃·塞尔科，2017年3月28日（由与Peter Seymour的通信提示）：（开始）
应用类似的逻辑证明，对于所有奇数素数p，6>=12的所有倍数都出现在序列中：
i） 当p<2^（k+1）-1时，形式j*p*2^k（j>=1）的所有数字出现在序列中；
iii）当p=2^（k+1）-1（即完全数，A000396号)，出现j*p*2^k（j>=2）。
注意，当仅在区间[2^k，2^（k+1）]中计算p时，冗余被消除。
不是i或iii形式的前几个偶数项是{70350490550572650770，…}。（结束）
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参考文献
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迪克森，关于数字除数之和的定理和表格，夸脱。J.纯应用。数学。，第44卷（1913年），第264-296页。
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第3版，斯普林格出版社，2004年，B2部分，第74-84页。
Clifford A.Pickover，《数学的激情》，威利出版社，2005年；见第59页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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马克·德雷格利什，丰富整数密度的界，实验。数学。，第7卷，第2期（1998年），第137-143页。
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015年。[本文的后一版本有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至以下出版物。]
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配方奶粉
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a（n）是C*n的渐近解，C=4.038…（Deléglise，1998）-贝诺伊特·克洛伊特2002年9月4日
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MAPLE公司
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with（numtheory）：对于从1到270的n，如果sigma（n）>2*n，则打印f（`%d，`，n）fi:od：
isA005101:=进程（n）
简化（数字理论[sigma]（n）>2*n）；
选项记忆；
局部a；
如果n=1，则
12 ;
其他的
a:=程序名（n-1）+1；
而数字理论[sigma]（a）<=2*a do
a:=a+1；
结束do；
a；
结束条件：；
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数学
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选择[Range[300]，DivisorSigma[1，#]>2#&](*文森佐·利班迪2015年10月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）是A005101（n）=（σ（n）>2*n）\\迈克尔·波特2009年11月7日
（哈斯克尔）
a005101 n=a005101_list！！（n-1）
a005101_list=过滤器（\x->a001065 x>x）[1..]
（Python）
从sympy导入除数
def ok（n）：返回和（除数（n））>2*n
打印（列表（过滤器（正常，范围（1271）））#迈克尔·布拉尼基2021年8月29日
（Python）
来自症状导入divisor_sima
从itertools导入计数，islice
定义A005101号_gen（startvalue=1）：返回过滤器（lambda n：除数sigma（n）>2*n，计数（max（startwalue，1））#术语生成器>=startvalue
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A005835号
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| 伪完全（或半完全）数n：n和到n的真除数的子集。
（原名M4094）
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+10
70
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6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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换句话说，数字{1<=d<n:d除以n}的某些子集加起来就是n-N.J.A.斯隆2008年4月6日
第一个奇数伪完美数是a（233）=945。
一个经验观察（从图中）是，似乎第n个伪完美数将渐近到4n，或者等价地，伪完美数的渐近密度将是1/4。有证据吗？（结束）
Deléglise（1998）证明了富足数的渐近密度<0.2480，解决了他认为亨利·科恩是富足数密度大于还是小于1/4的问题。伪完美数的密度是富足数密度之间的差异(A005101号)和奇怪的数字(A006037号)，因为剩余的整数是完全数(A000396号)，密度为0。使用前22个本原伪完美数(A006036号)伪完美数的每一个倍数都是伪完美的事实表明，伪完美数密度大于0.23790-杰科布·科尔曼2013年10月26日
“伪完美数”一词是由Sierpingski（1965）发明的。另一个术语“半完美数字”是由Zachariou和Zachariau（1972）发明的-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
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参考文献
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理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第三版，斯普林格出版社，2004年，B2部分，第74-75页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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斯坦·本科斯基，问题E2308阿默尔。数学。《月刊》，第79卷，第7期（1972年），第774页。
S.J.Benkoski和P.ErdőS，关于奇异和伪完美数，数学。公司。，第28卷，第126号（1974年），第617-623页。勘误表，数学。公司。，第29卷，第130期（1975年），第673-674页。
安德烈亚斯·扎卡里奥（Andreas Zachariou）和埃列尼·扎卡里奥尔（Eleni Zacharioo），完全数、半完全数和矿石数，公牛。社会数学。Grèce（新编），第13卷，第13A号（1972年），第12-22页；备用链路.
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例子
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6=1+2+3、12=1+2+3+6、18=3+6+9等。
70不是一个成员，因为70的适当除数是{1，2，5，7，10，14，35}，并且没有子集与70相加。
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MAPLE公司
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使用（combint）：
isA005835:=进程（n）
局部b，S；
b： =错误；
S： =子集（numtheory[除数]（n）减去{n}）；
虽然不是S[完成]do
如果convert（S[nextvalue]（），`+`）=n，则
b： =真；
打破
结束条件：；
结束do；
b条
结束进程：
从1到n do
如果是A005835（n），则
打印（n）；
结束条件：；
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数学
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伪完美Q[n_]：=模[{divs=Most[Divisors[n]]}，成员Q[Total/@Subsets[divs，Length[divs]]，n]]；A005835号=选择[Range[300]，pseudo PerfectQ](*哈维·P·戴尔2011年9月19日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a005835 n=a005835_列表！！（n-1）
a005835_list=过滤器（（==1）。a210455）[1..]
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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945, 1575, 2205, 3465, 4095, 5355, 5775, 5985, 6435, 6825, 7245, 7425, 8085, 8415, 8925, 9135, 9555, 9765, 11655, 12705, 12915, 13545, 14805, 15015, 16695, 18585, 19215, 19635, 21105, 21945, 22365, 22995, 23205, 24885, 25935, 26145, 26565, 28035, 28215
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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Dickson证明了只有有限个奇数本原富足数具有n个不同的素因子。顺序A188342号列出了最小的此类数字-T.D.诺伊2011年3月28日
顺序A188439号根据不同素因子的数量对这个序列中的数字进行排序。八个数字正好有三个素因子；576正好有四个主要因素-T.D.诺伊2011年4月4日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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MAPLE公司
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isA005101:=过程（n）是（数量[sigma]（n）>2*n）；结束进程：
isA005100：=过程（n）为（数量[sigma]（n）<2*n）；结束进程：
isA006038:=进程（n）局部d；如果类型（n，'odd'）和isA005101（n），那么对于numtheory中的d[除数]（n）减去{1，n}do如果不是isA005100（d），那么返回false；结束条件：；end-do：返回true；否则为假；结束条件：；结束进程：
n：=1；对于从1到2的a，如果是A006038（a），则执行printf（“%d%d\n”，n，a）；n：=n+1；结束条件：；结束do：#R.J.马塔尔2011年3月28日
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数学
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t={}；n=1；当[长度[t]<50时，n=n+2；如果[DivisorSigma[1，n]>2 n&&交集[t，Divisors[n]]=={}，AppendTo[t，n]]]；t吨(*T.D.诺伊2011年3月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）是（n）=n%2&&sumdiv（n，d，sigma（d，-1）>2）==1\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年6月10日
（PARI）是_A006038号（n） =位测试（n，0）&&sigma（n）>2*n&&！对于（i=1，#f=factor（n）[，1]，sigma（n\f[i]，-1）>2&&return）\\速度快5倍以上-M.F.哈斯勒2016年7月28日
（哈斯克尔）
a006038 n=a006038_列表！！（n-1）
a006038_list=过滤器f[1，3..]，其中
f x=总和pdivs>x&&全部（<=0）（映射（\d->a000203 d-2*d）pdivs）
其中pdivs=a027751_低x
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A047802号
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| 最小丰富数（sigma（x）>2x），不能被任何前n个素数整除。 |
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+10
22
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12，945，5391411025，20169691981106018776756331，49061132957714428902152118459264865645885092682687973，797046632752457153822570954543450625597026969710012787303278390616918473506860039424701
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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a（n）对每个n都存在，因为素数的逆和是无限的。
启发式：将几个连续素数的平方相加，然后再将连续素数相加，直到数量足够。
a（2）=5^2*7*11*13*17*19*23*29；
a（3）=7^2*11^2*13*17*…*61 * 67;
a（4）=11^2*13^2*17*19*…*131 * 137;
a（5）=13^2*17^2*19*23*…*223 * 227. （结束）
a（6）=17^2*19^2*23^2*29*31*…*347 * 349;
a（7）=19^2*23^2*29^2*31*37*…*491*499（均来自D.Iannucci论文）-米歇尔·马库斯2013年5月1日
此序列的已知项提供了埃及统一分解，其中所有分母都缺少前n个素数，如下所示：此序列中列出的每个项都是一个半完美数，这意味着其除数的子集加起来就是数字本身。分解1=1/a+1/b+…+1/m是期望的分解，其中分母是a（n）除以这些除数-哈维尔·穆吉卡2017年11月15日
a（n）是从素数（n+1）到非递增幂的连续素数的乘积-宋嘉宁2021年4月10日
推测：除了a（1）=945之外，所有项都是立方的。（结束）
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参考文献
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M.T.Whalen和C.L.Miller，《奇数丰富：一些有趣的观察》，《休闲数学杂志》22（1990），第257-261页。
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链接
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托马斯·芬克，递归丰富数和递归完美数，arXiv:2008.10398[math.NT]，2020年。提到这个序列。
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配方奶粉
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Iannucci表明loga（n）=（n log n）^（2+o（1））-查尔斯·格里特豪斯四世2011年2月16日
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例子
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a（0）=12，第一丰富数；a（1）=945，第一个奇数丰富数；a（5）是不可被2，3，5，7或11整除的第一个丰富数。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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Ulrich Schimke（ulrschimke（AT）aol.com）
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扩展
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状态
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经核准的
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945, 10395, 12285, 15015, 16065, 17955, 19305, 19635, 21735, 21945, 23205, 23625, 25245, 25935, 26565, 27405, 28215, 28875, 29295, 29835, 31395, 33345, 33495, 33915, 34125, 34155, 34965, 35805, 37125, 38745, 39585, 40635, 41055, 42315
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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这也是奇数整数序列，其无限等分序列最初增加。根据经验证据（高达1000万），这仅适用于约0.1%的奇数整数。
对于k=4，5，…，项的数量不超过10^k。。。，是1、77、473、5703、53569、561610、5525461、54979537。显然，这个序列的渐近密度是存在的，等于0.0005-阿米拉姆·埃尔达尔2022年9月9日
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链接
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格雷姆·L·科恩，关于整数的无穷除数，数学。公司。，第54卷，第189期，（1990），395-411。
J.O.M.Pedersen，等分循环表[断开的链接]
J.O.M.佩德森，等分循环表[通过Internet Archive Wayback-Machine]
J.O.M.Pedersen，等分循环表[缓存副本，仅限pdf文件]
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配方奶粉
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例子
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a（5）=16065，因为16065是第五个奇数，超过了其相应的无限除数之和。
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数学
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指数列表[n_Integer，factors_List]：={#，IntegerExponent[n，#]}&/@factors；无穷除数[1]：={1}；无限除数[n_Integer？正]：=模块[{factors=First/@FactorInteger[n]，d=Divisors[n]}，d[[Flatten[Position[Transpose[Thread[Function[{f，g}，BitOr[f，g]==g][#，Last[#]]]&/@Transpose[Last/@ExponentList[#，factors]//@d]]，_？（和@@#&），{1}]]]]]空；properinfinitarydivisorsum[k_]：=加@@InfinitaryDivisors[k]-k；选择[Range[1，50000，2]，properinfinitarydivisorsum[#]>#&]（*程序结束*）
fun[p_，e_]：=模块[{b=整数位数[e，2]}，m=长度[b]；乘积[如果[b[[j]]>0，1+p^（2^（m-j）），1]，{j，1，m}]]；isigma[1]=1；isigma[n_]：=倍@@fun@@FactorInteger[n]；选择[范围[1，50000，2]，isigma[#]>2#&](*阿米拉姆·埃尔达尔2019年6月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A049417号（n） ={my（b，f=因子（n））；prod（k=1，#f[，2]，b=二进制（f[k，2]））；prod（j=1，#b，if（b[j]，1+f[k、1]^（2^（#b-j）），1））}
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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120、180、240、300、360、420、480、504、540、600、630、660、720、780、840、900、924、960、990、1008、1020、1050、1080、1092、1140、1170、1200、1260、1320、1380、1440、1470、1500、1512、1560、1620、1650、1680、1740、1800、1848、1860、1890、1920、1980、2016、2040、2100、2160、2184、2220、2280、2310、2340、2400、2460
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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链接
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数学
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选择[Range[2500]，If[#==1，1，DivisorSigma[1，#]]>=2#&@Apply[Times，FactorInteger[#]/。{p，e}/；e>0:>素数[PrimePi@p+1]^e]&](*迈克尔·德弗利格2020年8月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
A003961号（n） ={my（f=因子（n））；对于（i=1，#f~，f[i，1]=下一素数（f[i、1]+1））；因子返回（f）；}；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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945, 8505, 10395, 12285, 15015, 16065, 17955, 19305, 19635, 21735, 21945, 23205, 23625, 25245, 25515, 25935, 26565, 27405, 28215, 28875, 29295, 29835, 31185, 31395, 33345, 33495, 33915, 34125, 34155, 34965, 35805, 36855, 37125, 38745, 39585, 40635, 41055
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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对于k=3,4，…，项的数量不超过10^k。。。，是1、2、82、559、6493、61831、642468、6339347、63112602。显然，这个序列的渐近密度是存在的，等于0.00063-阿米拉姆·埃尔达尔2022年9月2日
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链接
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例子
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945处于序列中，因为bsigma（945）=1920>2×945。
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数学
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f[n_]：=选择[Divisors[n]，函数[d，互质Q[d，n/d]]]；bsigma[米]：=
除数总和[m，#&，最后一个@交点[f@#，f[m/#]]==1&]；bOddAbundantQ[n_]：=奇数Q[n]&&bsigma[n]>2 n；选择[Range[1000]，bOddAbundantQ]（*后面迈克尔·德弗利格在18899年*)
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黄体脂酮素
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（PARI）udivs（n）=｛my（d=除数（n））；select（x->（gcd（x，n/x）==1），d）；｝
gcud（n，m）=vecmax（setintersect（udivs（n），udives（m）））；
biudivs（n）=选择（x->（gcud（x，n/x）==1），除数（n））；
biusig（n）=向量和（biudivs（n））；
isok（n）=（n%2）&&（biusig（n）>2*n）\\米歇尔·马库斯2017年12月15日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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