搜索： a006038-编号：a006038
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945, 3465, 15015, 692835, 22309287, 1542773001, 33426748355, 1635754104985, 114761064312895, 9316511857401385, 879315530560980695, 88452776289145528645, 2792580508557308832935, 428525983200229616718445, 42163230434005200984080045, 1357656019974967471687377449
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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3,1
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评论
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Dickson证明了只有有限个奇数本原富足数具有n个不同的素因子。对于n=3，有8个这样的数字：945、1575、2205、7425、78975、131625、342225、570375。请参见A188439号。
a（14）<=88452776289145528645-多诺万·约翰逊2011年3月31日
a（15）<=2792580508557308832935，a（16）<=428525983200229616718445，a（17）<=42163230434005200984080045。如果这些a（n）是无平方的，并且最大素数因子与前一项的素数因子的距离不超过3个，那么这些边界就是a（n）的实际值。PARI代码只需要一秒钟的分数就可以计算出进一步的界限，在给定的假设下，界限是a（n）的实际值-M.F.哈斯勒2016年7月17日
来自的评论唐·雷布尔，2023年1月17日：（开始）
“如果a（n）是平方自由的，并且最大素数因子与前一项的素数因子相差不超过3个，那么这些边界就是a（n”）的实际值。”
这个猜想在a（50）以内是正确的。（结束）
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链接
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例子
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945=3^3*5*7
3465 = 3^2 * 5 * 7 * 11
15015 = 3 * 5 * 7 * 11 * 13
692835=3*5*11*13*17*19（n=6:gpf增加2个素数）
22309287=3*7*11*13*17*19*23
1542773001 = 3 * 7 * 11 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31
33426748355 = 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31
1635754104985=5*7*11*13*17*19*23*29*37*41（这里也是）
114761064312895 = 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43
9316511857401385 = 5 * 7 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47
879315530560980695=5*7*13*17*19*23*29*31*37*41*53*59*61（n=13:gpf首次增加3个素数）（结束）
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数学
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PrimAbunQ[n_]：=模块[{x，y}，
y=大多数[除数[n]]；x=除数Sigma[1，y]；
除数Sigma[1，n]>2 n&&AllTrue[x/y，#<=2&]]；
表[k=1；
While[！PrimAbunQ[k]||Length[FactorInteger[k][[All，1]]]！=编号：，
k+=2]；k、 {n，3，6}](*罗伯特·普莱斯2019年9月26日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）188342英镑=[0, 0, 945, 3465]; a（n，D（n）=n\6+1）={while（n>#A188342号，我的（S）=#A188342号，T=系数(A188342号[S] ）[，1]，M=[素数（T[1]），素数（T[#T]）+D（S++）]，最佳=素数（M[2]）^S）；对于vec（v=向量（S，i，M），最佳>（T=prod（i=1，#v，质数（v[i]）；A188342号=连接(188342英镑，最佳）；A188342号[n] ｝\\假设n＞4的（n）平方树，搜索在极限素数pi（gpf（a（n））<=素数pi（gpf（a（n-1））+D（n）内是穷举的，D（n）作为可选的第二个参数-M.F.哈斯勒2016年7月17日
（PARI）
生成（A，B，n）=A=最大值（A，vecprod（素数（n+1））\2）；（f（m，p，j）=我的（列表=列表（））；如果（sigma（m）>2*m，返回（列表））；对于素数（q=p，sqrtnint（B\m，j），my（v=m*q）；而（v<=B，如果（j==1，如果（v>=A&&sigma（v）>2*v，my（F=系数（v）[，1]，ok=1）；对于（i=1，#F，如果（sigma（v\F[i]，-1）>2，ok=0；断裂）；如果（ok，listput（list，v）），如果（v*（q+1）<=B，list=concat（list（v，q+1，j-1）））；v*=q））；列表）；向量（Vec（f（1，3，n）））；
a（n）=my（x=vecprod（素数（n+1））\2，y=2*x）；而（1，my（v=生成（x，y，n））；如果（#v>=1，返回（v[1]））；x=y+1；y＝2*x）\\丹尼尔·苏图2024年2月10日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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a（14）-a（17）已确认，a（18）来自丹尼尔·苏图2024年2月10日
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状态
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经核准的
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945, 1575, 2205, 7425, 78975, 131625, 342225, 570375, 3465, 4095, 5355, 5775, 5985, 6435, 6825, 7245, 8085, 8415, 8925, 9135, 9555, 9765, 11655, 12705, 12915, 13545, 14805, 16695, 18585, 19215, 21105, 22365, 22995, 24885, 26145, 28035, 28215, 29835
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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3,1
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评论
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第一行有8个术语。第n行以开头A188342号（n） ●●●●。Dickson证明了每行有有限个项。他在论文中以因子形式列出了前两行。然而，正如费里尔和赫尔佐格所报告的那样，迪克森的表格有很多错误。有576个奇本原富足数（OPAN）具有4个不同的素因子，最后一个是3^10 5^5 17^4 251^2=970969744245403125。下一行是5个不同的素因子，有超过100000个项。
如果用重数计算素因子，那么表将以第5行开始，其中包含121个术语：（945、1575、2205、3465、4095…、430815、437745、442365）。第6行将开始（7425、28215、29835、33345、34155…），第7行开始（81081、121095、164835、182655、189189…）-M.F.哈斯勒2016年7月27日[参见A287646型.]
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链接
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弗里茨·赫兹，表勘误表571，数学。公司。34 (1980), 652.
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例子
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第3行：945、1575、2205、7425、78975、131625、342225、570375；
第4行：3465、4095、5355。。。（571多个）。。。，249450402403828125, 970969744245403125;
第5行：15015、19635、21945、23205、25935、26565、31395、33495、33915、35805。。。
第6行：692835、838695、937365、1057485、1130415、1181895、1225785、1263405。。。
第7行：22309287、28129101、30069039、34051017、35888853、36399363。。。
第一列是A188342号=（945、3465、15015、692835、22309287…）（完）
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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经核准的
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9555, 12705, 15015, 18585, 21105, 32445, 41055, 43065, 46035, 47355, 51765, 125895, 129465, 228735, 257565, 324555, 375165, 400785, 409185, 537285, 693225, 4513509, 5569641, 5581695, 5959065, 6084351, 6338535, 8824095, 9597315
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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链接
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例子
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9555=97^2+97+7^2和9555奇数本原丰富数
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A005101号
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| 数量丰富（m的除数之和超过2m）。
（原名M4825）
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+10
333
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12、18、20、24、30、36、40、42、48、54、56、60、66、70、72、78、80、84、88、90、96、100、102、104、108、112、114、120、126、132、138、140、144、150、156、160、162、168、174、176、180、186、192、196、198、200、204、208、210、216、220、222、224、228、234、240、246、252、258、260、264、270
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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第一个偶数富足数是12=2^2*3，第一个奇数富足是945=3^3*5*7，这是第232个富足数！
如果m=6k（k>=2），那么σ（m）>=1+k+2*k+3*k+6*k>12*k=2*m。因此，所有这些m都在序列中。
根据Deléglise（1998），丰富的数字具有自然密度0.2474<A（2）<0.2480。因此，第n个丰富数渐近到4.0322*n<n/A（2）<4.0421*n-丹尼尔·弗格斯2015年10月11日
发件人鲍勃·塞尔科，2017年3月28日（由与Peter Seymour的通信提示）：（开始）
应用类似的逻辑证明，对于所有奇数素数p，6>=12的所有倍数都出现在序列中：
i） 当p<2^（k+1）-1时，形式j*p*2^k（j>=1）的所有数字出现在序列中；
iii）当p=2^（k+1）-1（即完全数，A000396号)，出现j*p*2^k（j>=2）。
注意，当仅在区间[2^k，2^（k+1）]中计算p时，冗余被消除。
不是i或iii形式的前几个偶数项是{70350490550572650770，…}。（结束）
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参考文献
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迪克森，关于数字除数之和的定理和表格，夸脱。J.纯应用。数学。，第44卷（1913年），第264-296页。
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第3版，斯普林格出版社，2004年，B2部分，第74-84页。
Clifford A.Pickover，《对数学的热爱》，威利出版社，2005年；见第59页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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马克·德雷格利什，富足整数密度的界，实验。数学。，第7卷，第2期（1998年），第137-143页。
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015年。[本文的后一版本有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至以下出版物。]
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配方奶粉
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a（n）是C*n的渐近解，C=4.038…（Deléglise，1998）-贝诺伊特·克洛伊特2002年9月4日
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枫木
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with（numtheory）：对于从1到270的n，如果sigma（n）>2*n，则打印f（`%d，`，n）fi:od：
isA005101:=进程（n）
简化（数字理论[sigma]（n）>2*n）；
选项记忆；
局部a；
如果n=1，则
12 ;
其他的
a:=程序名（n-1）+1；
而数字理论[sigma]（a）<=2*a do
a:=a+1；
结束do；
a；
结束条件：；
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数学
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选择[Range[300]，DivisorSigma[1，#]>2#&](*文森佐·利班迪2015年10月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）是A005101（n）=（σ（n）>2*n）\\迈克尔·B·波特2009年11月7日
（哈斯克尔）
a005101 n=a005101_list！！（n-1）
a005101_list=过滤器（\x->a001065 x>x）[1..]
（Python）
从sympy导入除数
def ok（n）：返回和（除数（n））>2*n
打印（列表（过滤器（正常，范围（1271）））#迈克尔·布拉尼基2021年8月29日
（Python）
从symy导入divisorsigma
从itertools导入计数，islice
定义A005101号_gen（startvalue=1）：返回过滤器（lambda n：除数sigma（n）>2*n，计数（max（startwalue，1））#术语生成器>=startvalue
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, 6435, 6615, 6825, 7245, 7425, 7875, 8085, 8415, 8505, 8925, 9135, 9555, 9765, 10395, 11025, 11655, 12285, 12705, 12915, 13545, 14175, 14805, 15015, 15435, 16065, 16695, 17325, 17955
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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第一个偶数富足数是12=2^2*3，第一个奇数富足是945=3^3*5*7，第232个富足数。
Schiffman指出，对于所有k<52的人，945+630k都在这个序列中。大多数最初的术语都是这样的。在1996年10^6以下的术语中，有1164个术语是这样的，只有26个术语不能被5整除，参见。A064001号. -M.F.哈斯勒2016年7月16日
一个充裕数的任何倍数都是充裕数，参见A006038号对于原始项，即那些不是早期项的倍数的项。
一个奇数富足数必须至少有3个不同的素因子，当用多重数计算时，必须有5个素因子(A001222号)，其中a（1）=3^3*5*7。要看到这一点，请将相对丰度A（N）=σ（N）/N=σ[-1]（N）写成A（乘积p_i^e_i）=乘积（p_i-1/p_i_i/i）/（p_i-1）<乘积p/i/（p_i-1）。
到今天为止，我们还不知道这个奇数富足数集S和奇数半完美数集S'之间有什么区别：S'\S的元素是完美的(A000396号)，S\S'的元素会很奇怪(A006037号)，但没有奇怪或完美的数字是已知的。（结束）
存在无穷多个项m，因此2*m+1也是一个项。m=9855718081307079878477689088676867676767686757107187给出了这样一个术语的示例-马克斯·阿列克塞耶夫2023年11月16日
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参考文献
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W.Dunham，Euler：《我们所有人的主人》，美国数学协会，华盛顿特区，1999年，第13页。
R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，B2。
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链接
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小林光雄、保罗·波拉克和卡尔·波梅兰斯，关于社交数的分布《数论杂志》，第129卷，第8期（2009年），1990-2009页。见2007年第10页的定理。
杰伊·希夫曼，奇数丰富数《数学谱》，第37卷，第2期（2005年1月），第73-75页。
Jay L.Schiffman和Christopher S.Simons，更多奇数丰富序列第38卷第1期（2005年9月），第7-8页。
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配方奶粉
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482.8<k<489.8（基于Kobayashi等人，2009年的密度界限）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年7月17日
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枫木
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A005231号：=proc（n）选项记忆；局部a；如果n=1，则为945；否则，如果numtheory[sigma]（a）>2*a，则从procname（n-1）+2乘2do返回a；结束条件：；end do：结束if；结束进程：#R.J.马塔尔2011年3月20日
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数学
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fQ[n_]：=除数Sigma[1，n]>2n；选择[1+2Range@9000，fQ](*罗伯特·威尔逊v2011年3月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）je=[]；对于步骤（n=115000,2，如果（sigma（n）>2*n，je=concat（je，n））；日本
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（））；对于因子（n=945，lim\1，如果（n[2][1,1]>2&&sigma（n，-1）>2，listput（v，n[1]））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2022年4月21日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000203号,A005835号,A006038号,A115414号,A064001号,A112640型,122036英镑,A136446号,A005101号,173490英镑,A039725号,A064989号,A337386飞机。
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A004490号
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| 大量丰富的数字：m有一个正指数epsilon，使得sigma（m）/m^{1+epsilon}>=sigma。 |
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+10
54
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2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800, 160626866400, 321253732800, 9316358251200, 288807105787200, 2021649740510400, 6064949221531200, 224403121196654400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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参考文献
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S.Ramanujan，高度复合数，Proc。伦敦数学。《社会学杂志》，14（1915），347-407。《论文集》重印，编辑G.H.Hardy等人，剑桥，1927年；切尔西，纽约，1962年，第78-129页。特别见第87、115页。
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链接
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G.Caveney、J.-L.Nicolas和J.Sondow，关于SA、CA和GA编号《拉马努扬杂志》，第29卷（2012年），第359-384页。
基思·布里格斯，丰度数与黎曼假设，实验数学。，第16卷（2006年），第251-256页。
G.Caveney、J.-L.Nicolas和J.Sondow，关于SA、CA和GA编号，arXiv预印本arXiv:1112.6010[math.NT]，2011.-发件人N.J.A.斯隆2012年4月14日
S.Nazardonyavi和S.Yakubovich，极富足数与黎曼假设《整数序列杂志》，17（2014），第14.2.8条。
S.Ramanujan，高度复合数，由J.-L.Nicolas和G.Robin注释和前言，Ramanujan J.，1（1997），119-153。
T.Schwabhäuser，防止罗宾不等式的例外，arXiv预印本arXiv:1308.3678[math.NT]，2013。
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配方奶粉
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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20, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 550, 572, 650, 748, 836, 945, 1184, 1312, 1376, 1430, 1504, 1575, 1696, 1870, 1888, 1952, 2002, 2090, 2205, 2210, 2470, 2530, 2584, 2990, 3128, 3190, 3230, 3410, 3465, 3496, 3770, 3944, 4030, 4070, 4095, 4216, 4288
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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参考文献
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Guy，R.K.《数论中未解决的问题》，第二版，纽约：Springer-Verlag，第46页，也是B2部分，1994年。
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链接
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例子
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20是一个项，因为1、2、4、5和10（20的真除数）都是亏数-蒂莫西·提芬2016年7月15日
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枫木
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丰度：=proc（n）选项记住；数字理论：-sigma（n）-2*n结束过程：
选择（n->multy（n）>0和andmap（t->multh（t）<0，数量理论：-除数（n）减去{n}），[1..10000]）#罗伯特·伊斯雷尔2017年11月15日
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数学
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选择[Range@5000，DivisorSigma[1，#]>2#&Times@@Boole@Map[DivisorSigma[1,#]<2#&，Most@Divisors@#]==1&](*迈克尔·德弗利格2016年7月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）是A071395（v）={if（σ（v）<=2*v，返回（0））\\米歇尔·马库斯2013年3月10日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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Joe McCauley（麦考利（AT）davesworld.net），2002年6月12日
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扩展
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状态
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经核准的
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12, 18, 20, 30, 42, 56, 66, 70, 78, 88, 102, 104, 114, 138, 174, 186, 196, 222, 246, 258, 272, 282, 304, 308, 318, 354, 364, 366, 368, 402, 426, 438, 464, 474, 476, 498, 532, 534, 550, 572, 582, 606, 618, 642, 644, 650, 654, 678, 748, 762, 786, 812, 822
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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链接
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P.Erdős，关于富足数的密度，J.伦敦数学。Soc.9（1934年），第278-282页。
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配方奶粉
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例子
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12是一个项，因为1、2、3、4和6（12的真除数）要么是亏数，要么是完全数，因此不丰富-蒂莫西·提芬2016年7月15日
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枫木
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isA0005101:=proc（n）为（numtheory[sigma]（n）>2*n）；结束过程：
isA091191:=进程（n）局部d；如果isA005101（n），则对于numtheory[除数]（n）减去{1中的d，如果isA005 101（d），则n}do返回false；结束条件：；end do：返回true；否则为假；结束条件：；结束过程：
对于从1到200的n，如果是A091191（n），则执行printf（“%d\n”，n）；结束条件：；结束do：#R.J.马塔尔2011年3月28日
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数学
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t={}；n=1；当[长度[t]<100时，n++；如果[DivisorSigma[1，n]>2*n&&交集[t，Divisors[n]]=={}，AppendTo[t，n]]]；t吨(*T.D.诺伊2011年3月28日*）
选择[Range@840，DivisorSigma[1，#]>2#&Times@@Boole@Map[DivisorSigma[1,#]<=2#&，Most@Divisors@#]==1&](*迈克尔·德弗利格2016年7月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）是（n）=sumdiv（n，d，sigma（d，-1）>2）==1\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年12月5日
（哈斯克尔）
a091191 n=a091191_list！！（n-1）
a091191_list=过滤器f[1..]，其中
f x=总和pdivs>x&&全部（<=0）（映射（\d->a000203 d-2*d）pdivs）
其中pdivs=a027751_低x
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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6, 20, 28, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 496, 550, 572, 650, 748, 836, 945, 1184, 1312, 1376, 1430, 1504, 1575, 1696, 1870, 1888, 1952, 2002, 2090, 2205, 2210, 2470, 2530, 2584, 2990, 3128, 3190, 3230, 3410, 3465, 3496, 3770, 3944, 4030
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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其真倍数都是丰富的，而其真除数都是不足的数-彼得·穆恩2020年9月8日
作为一个集合，与k-几乎素数集共享这一性质：没有成员除另一个成员，集合中的每个正整数要么是集合中1个或多个成员的除数，要么是集合的1个或更多成员的倍数，但不是两者都是。请参见A337814用于证明等-彼得·穆恩2022年4月13日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Jared Duker Lichtman，本原非亏数的倒数和《数论杂志》，第191卷（2018年），第104-118页。
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配方奶粉
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Sum_{n>=1}1/a（n）在区间（0.34842，0.37937）内（Lichtman，2018）-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月15日
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数学
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k=1；lst={}；当[k<4050时，如果[DivisorSigma[1，k]>=2 k&&最小@Mod[k，lst]>0，附加到[lst，k]]；k++]；第一次(*罗伯特·威尔逊v2017年3月9日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A007741号
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| a（n）=素数（n）**素数（m）是丰富的连续素数的最小乘积。 |
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+10
12
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30, 15015, 33426748355, 1357656019974967471687377449, 7105630242567996762185122555313528897845637444413640621
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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数学
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a[n_]：=模[{p=素数[n]}，r=1；prod=1；而[r<=2，r*=1+1/p；prod*=p；p=NextPrime[p]]；触头]；数组[a，5](*阿米拉姆·埃尔达尔2019年6月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={p=素数（n）；sig=p+1；prd=p；while（sig<=2*prd，p=下一素数（p+1）；sig*=p+1，prd*=p；）；return（prd）；}\\米歇尔·马库斯2013年3月10日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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