%I M2315 N0915#282 2024年1月28日08:52:53

%S 1,3,4,6,6,12,8,12,12,18,12,24,14,24,24,18,36,32,36,24,48,30，

%电话42、36、48、30、72、32、48、58、54、48、72、38、60、56、72、42、96、44、72、72、48、96，

%U 56,90,72,84,54108,72,96,80,90,60144,62,96,96,96、84144,68108,96

%N Dedekind psi函数：N*Product_{p|N，p prime}（1+1/p）。

%一般二维格中指数n的本原子格个数；也是SL_2（Z）中Gamma_0（n）的指数。

%C一般二维格L=<V，W>由mV+nW，（m，n个整数）形式的所有向量组成。子晶格S=<aV+bW，cV+dW>具有索引|ad-bc|，并且如果gcd（A，b，c，d）=1则是基元。一般晶格L精确地具有索引2的（2）＝3个子晶格，即＜2V，W＞，＜V，2W＞和＜V+W，2V＞（其＝＜V+W，2W＞），对于其他索引依此类推。

%C索引n的子晶格与[0..d-1]中a>0，ad=n，b的矩阵[ab；0d]一一对应。它们的数量是Sum_{d|n}=sigma（n），即A000203。如果gcd（A，b，d）=1，则子格是本原的；它们的数量是n*product{pn}（1+1/p），这是当前的序列。

%C SL_2（Z）=Gamma是所有2X2矩阵[a b；C d]的组，其中a、b、C、d是ad-bc=1的整数，Gamma_0（N）通常定义为N|C的该子组。但从概念上来说，Gamma最好被认为是格<V，W>的（正）自同构组，其典型元素取V->aV+bW，W->cV+dW，然后Gamma_0（N）可以定义为由固定索引N.-_J.H.Conway_的子格<NV，W>的自同构组成的子群

%C Dedekind证明，如果n=k_i*j_i表示i中i表示将n写成乘积的所有方法，而e_i=gcd（k_i，j_i），则a（n）=总和（k_i/（e_i*phi（e_i）），i in i）[比照Dickson，《数论史》，第1卷，第123页]。

%C此外，a（n）=n^2阶（1,1）型阿贝尔群（Fricke）中n阶循环子群的数目_Len Smiley，2001年12月4日

%C与j（z）和j（nz）相关的n阶经典模方程的多项式次数为psi（n）（Fricke）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年11月10日；由Katherine E.Stange澄清，2022年3月11日

%C该序列的Mobius变换为A063659_Gary W.Adamson_，2008年5月23日

%C该序列的逆Mobius变换为A060648_Vladeta Jovovic_，2009年4月5日

%C该序列的Dirichlet逆为A008836（n）*A048250（n）_阿尔瓦尔·伊比亚斯，2015年3月18日

%C当且仅当任何n>30时，a（n）/n-e ^ gamma*log（log（n））<0时，黎曼假设成立_恩里克·佩雷斯·埃雷罗，2011年7月12日

%C黎曼假设也等价于另一个不等式，参见Sole和Planat链接_托马斯·奥多夫斯基，2017年5月28日

%C此序列的无限模拟是n的无限除数之和（参见A049417）_Vladimir Shevelev，2014年4月1日

%C问题：是否存在复合数n，使得n+1除以psi（n）_托马斯·奥多夫斯基，2017年5月21日

%C n的除数d之和，使得n/d是平方自由的_Amiram Eldar，2019年1月11日

%C Psi（n）/n是每个初等函数（A002110）的新最大值[链接中的证明：Patrick Sole和Michel Planat，命题1第2页]_Bernard Schott，2020年5月21日

%C来自_宋嘉宁_，2022年11月5日：（开始）

%C a（n）是C_n X C_n同构于C_n的子群的数目，其中C_n是n阶循环群。证明：C_n XC_n中n阶元素的数目是A007434（n）（它们是C_nX C-n中形式（a，b）的元素，其中gcd（a，b，n）=1），与C_n同构的每个子群包含phi（n）生成器，因此，此类子组的数量为A007434（n）/phi（n）=a（n）。

%C C_n X C_n的n阶子群总数为A000203（n）。（结束）

%D Tom Apostol，简介。分析。数论，第71页，问题11，这被称为phi_1（n）。

%D David A.Cox，“x^2+n y^2形式的素数”，威利，1989年，第228页。

%D R.Fricke，Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen，Teubner，1922年，第2卷，见第220页。

%D Richard K.Guy，《数论中未解决的问题》，第三版，Springer出版社，2004年。见第B41节，第147页。

%D B.Schoeneberg，椭圆模函数，Springer-Verlag，纽约，1974年，第79页。

%D G.Shimura，《自守函数算术理论导论》，普林斯顿，1971年，见第25页，等式（1）。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe和N.J.A.Sloane，N表，N=1..10000时的A（N）</a>

%H O.Bordelles和B.Cloitre，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Bordelles/bord14.html“>涉及某些乘法函数倒数的交替和，J.Int.Seq.16（2013）#13.6.3。

%H Harriet Fell、Morris Newman和Edward Ordman，<a href=“http://dx.doi.org/10.6028/jres.067B.006“>线性分数变换组的属表</a>，J.Res.Nat.Bur.Standards Sect.B 67B 1963 61-68。

%H M.Hampejs、N.Holighaus、L.Toth和C.Wiesmeyr，<a href=“http://arxiv.org/abs/1211.1797“>表示和计算Z_m X Z_n组的子组，arXiv:1211.1797[math.GR]，2012。

%H W.Hürlimann，<a href=“http://dx.doi.org/10.18642/jantaa_7100121599“>Dedekind的算术函数和原始四平方计数函数</a>，《代数杂志》，《数论：进展与应用》14:2（2015），73-88。

%H F.A.Lewis等人，<A href=“http://www.jstor.org/stable/2303350“>问题4002，《美国数学月刊》，第49卷，第9期，1942年11月，第618-619页。

%H E.Pérez Herrero，<a href=“http://psycedelic-geometry.blogspot.com.es/2012/06/recycling-hardy-wright.html“>Recycling Hardy&Wright</a>，Dedekind Psi函数的平均顺序，迷幻几何博客spot。

%H Michel Planat，<a href=“http://arxiv.org/abs/1010.3239“>Dedekind psi函数的黎曼假设，arXiv:1010.3239[math.GM]，2010。

%H Patrick Sole和Michel Planat，<a href=“http://arxiv.org/abs/101.1825“>Dedekind Psi函数的极值</a>，发表于《组合数学与数论杂志》，arXiv:1011.1825[math.NT]，2010-2011年。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/DedekindFunction.html“>Dedekind函数</a>

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_psi_function网站“>Dedekind psi功能</a>

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Su#subatts”>与子格相关的序列的索引项</a>

%F狄利克雷g.F.：ζ（s）*ζ（s-1）/ζ（2*s）-_Michael Somos_，2000年5月19日

%F与a相乘（p^e）=（p+1）*p^（e-1）。-_David W.Wilson，2001年8月1日

%F a（n）=A003557（n）*A048250（n）=n*A000203（A007947（n_Labos Elemer，2001年12月4日

%F a（n）=n*和{d|n}μ（d）^2/d，A008966和A000027的Dirichlet卷积_Benoit Cloitre_，2002年4月7日

%F a（n）=总和{d|n}亩（n/d）^2*d.-_Joerg Arndt_，2011年7月6日

%F From _Enrique Pérez Herrero_，2010年8月22日：（开始）

%F a（n）=J_2（n）/J_1（n）=J_2。

%F a（n）=（1/phi（n））*Sum_{d|n}mu（n/d）*d^（b-1），对于b=3。（结束）

%F a（n）=n/Sum_{d|n}mu（d）/a（d）.-_Enrique Pérez Herrero_，2012年6月6日

%F a（n^k）=n^（k-1）*a（n）.-_Enrique Pérez Herrero_，2013年1月5日

%F如果n是平方自由的，则a（n）=A049417（n）=A000203（n）_Vladimir Shevelev，2014年4月1日

%F a（n）=总和{d^2|n}mu（d）*A000203（n/d^2）_阿尔瓦尔·伊比亚斯，2014年12月20日

%F（n）的平均顺序是15*n/Pi^2_恩里克·佩雷斯·埃雷罗，2012年1月14日。见阿波斯托_N.J.A.Sloane，2017年9月4日

%F G.F.：总和{k>=1}μ（k）^2*x^k/（1-x^k）^2.-_伊利亚·古特科夫斯基，2018年10月25日

%F a（n）=Sum_{d|n}2^omega（d）*phi（n/d），A034444和A000010的Dirichlet卷积_Daniel Suteu，2019年3月9日

%F From _Richard L.Ollerton，2021年5月7日：（开始）

%F a（n）=和{k=1..n}2^omega（gcd（n，k））。

%F a（n）=和{k=1..n}2^ω（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））。（结束）

%F a（n）=abs（A158523（n））=A158522（n）*A008836（n）.-_恩里克·佩雷斯·埃雷罗，2022年11月7日

%e设L=<V，W>为二维晶格。索引4的6个原始子格由<4V，W>，<V，4W>，<4V，W+-V>，<2V+W，2W>，<02V，2W+V>生成。比较A000203。

%e G.f.=x+3*x^2+4*x^3+6*x^4+6*x^5+12*x^6+8*x^7+12*x^8+12*x ^9+。。。

%p A001615:=进程（n）n*mul（（1+1/i[1]），i=因子（n）[2]）结束；#_Mark van Hoeij，2012年4月18日

%t联接[｛1｝，表[n次@@（1+1/转座[FactorInteger[n]][[1]），｛n，2100｝]]（*_t.D.Noe_，2006年6月11日*）

%t表[Dichlet卷积[j，MoebiusMu[j]^2，j，n]，{n，100}]（*_Jan Mangaldan_，2013年8月22日*）

%t a[n]：=如果[n<1，0，n和[MoebiusMu[d]^2/d，｛d，除数@n｝]]；（*迈克尔·索莫斯，2015年1月10日*）

%t表[n*乘积[1+1/p，{p，Select[Divisors[n]，PrimeQ]}]，{n，1，100}]（*_Vaclav Kotesovec_，2021年5月8日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，方向（p=2，n，（1+X）/（1-p*X））[n]）}；

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，n*sumdiv（n，d，moebius（d）^2/d））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年11月10日*/

%o（PARI）a（n）=我的（f=系数（n））；prod（i=1，#f~，f[i，1]^f[i、2]+f[i和1]^（f[i）-1）\\查尔斯·格里特豪斯IV，2013年8月22日

%o（PARI）a（n）=n*总和（n，d，无发行（d）/d）\\查尔斯·格里特豪斯四世，2014年9月9日

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。比率（分子）

%o a001615 n=分子（来自积分n*（乘积$

%o地图（+1）。配方。from Integral）$a027748_当前n））

%o——Reinhard Zumkeller，2013年6月3日，2012年4月12日

%o（鼠尾草）def A001615（n）：返回n*mul（prime_divisors（n）中p的1+1/p）

%o【A001615（n）代表（1..69）中的n】#_Peter Luschny_，2012年6月10日

%o（岩浆）m:=75；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（&+[MoebiusMu（k）^2*x^k/（1-x^k）^2:k in[1..2*m]]））；//_G.C.Greubel，2018年11月23日

%o（Python 3.8+）

%o来自math导入prod

%o来自sympy导入因子

%o定义A001615（n）：

%o plist=素数（n）

%o return n*prod（p+1代表plist中的p）//prod（plist）#_Chai Wah Wu_，2021年6月3日

%Y计算晶格/子晶格的其他序列：A000203（删除原始条件）、A003050（改为六角形晶格）、A005051、A054345、A160889、A160891。

%Y参考A002110、A027748、A124010、A019269。

%Y参考A301594。

%Y参见A063659（莫比乌斯变换）、A082020（平均阶）、A156303（欧拉变换）、A173290（部分和）、A175836（部分积）、A203444（范围）。

%Y参考A210523（记录值）。

%Y与其他核心序列的代数组合：A000082、A033196、A175732、A291784、A344695。

%形式为n^k*Product_{p|n，pprime}（1+1/p^k）的Y序列，k=0..10:A034444（k=0），此序列（k=1），A065958（k=2），AO65959（k=3），C065960（k=4），A351300（k=5），A35301。

%Y参考A082695（s=3时的Dgf），A339925（s=4时的Dgf）。

%K non，easy，core，nice，mult

%O 1、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E更多术语摘自_Livier Gérard_1997年8月15日