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Möbius（或Moebius）函数mu（n）。mu（1）=1；mu（n）=（-1）^k，如果n是k个不同素数的乘积；否则mu（n）=0。
+10
1470
1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 1, -1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 1, -1, 0, -1, 1, 0, 0, 1, -1, -1, 0, 1, -1, -1, 0, -1, 1, 0, 0, 1, -1
评论
Moebius反演：f（n）=Sum_{d|n}g（d）对于所有n<=>g（n）=Sum_{d|n}mu（d）*f（n/d）对于所有n。
a（n）只依赖于n的素数签名（参见。A025487号). 所以a（24）=a（375）因为24=2^3*3和375=3*5^3都有质数签名（3，1）。
“假设您沿最下面一行展开det（B_n）。第一个位置只有一个1，因此答案是（-1）^n乘以det（C_{n-1}），例如，其中C_{n-1}是通过删除第一列和最后一行从B_n获得的（n-1）by（n-1对于1<=m<=n，沿着底行展开det（A_n），我们可以看到det（A _n）=（-1）^n*det（C_{n-1}）+m（n-1）。所以我们有det（B_n）=（-1）^n*det（C_{n-1}）=det（A_n）-M（n-1）=M（n）-M。“（结束）
【Pickover，p.226】：“数字落入-1邮箱的概率是3/Pi^2，与落入+1邮箱的概率相同”-加里·亚当森2009年8月13日
涉及Möbius变换（a（n）和某些序列h（n）的Dirichlet卷积）的许多OEIS条目的公式可以使用以下公式推导（n>=1）：
求和mu（d）*h（n/d）=求和{k=1..n}h（gcd（n，k））*mu（n/gcd（n，k））/phi=A000010美元.
使用gcd（n，k）*lcm（n，k）=n*k提供了进一步的变化。（结束）
与上述总和相对应的乘积公式也适用于序列f（n）>0：Product_{d|n}f（n/d）^mu（d）=Product_{k=1..n}f-理查德·奥尔勒顿2021年11月8日
参考文献
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第24页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第161页，#16。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第262和287页。
Clifford A.Pickover，“数学书，从毕达哥拉斯到57维，数学史上的250个里程碑”，斯特林出版社，2009年，第226页-加里·亚当森2009年8月13日
G.Pólya和G.Szegő，分析卷II中的问题和定理。Springer_Verlag 1976年。
链接
Milton Abramowitz和Irene A.Stegun，编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。第55辑，第十次印刷，1972年，第826页。
G.J.Chaitin，关于黎曼假设的思考arXiv:math/0306042[math.HO]，2003年。
Marc Deléglise和Joël Rivat，计算Mobius函数的总和，实验。数学。5:4（1996），第291-295页。
保罗·塔劳，用自然数的多集表示模拟素数，《计算的理论方面》，ICTAC 2011，《计算机科学讲义》，2011年，第6916/2011卷，第218-238页。
配方奶粉
如果n=1，则求和mu（d）=1，否则为0。
Dirichlet生成函数：Sum_{n>=1}mu（n）/n^s=1/zeta（s）。同时求和{n>=1}μ（n）*x^n/（1-x^n）=x。
φ（n）=总和{d|n}μ（d）*n/d。
如果e=1，则与a（p^e）=-1相乘；如果e>1，则为0-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
mu（n）=-Sum{d<n，d|n}mu（d），如果n>1且mu（1）=1-阿洛伊斯·海因茨2008年8月13日
Product_{n>=1}（1-x^n）^（-a（n）/n）=exp（x）（指数函数的乘积形式）-约尔格·阿恩特2011年5月13日
a（n）=Sum_{k=1..n，gcd（k，n）=1}exp（2*Pi*i*k/n），单位本原n次根上的和。参见使徒参考，第48页，练习14（b）-沃尔夫迪特·朗，2011年6月13日
当n>=1时，求和{k=1..n}a（k）*floor（n/k）=1-彼得·卢什尼，2012年2月10日
G.f.A（x）满足：x^2/A（x”）=Sum_{n>=1}A（x^（2*n）/A（x）^n）-保罗·D·汉纳2016年4月19日
和{n>=1}mu（n）*x^n/（1+x^n）=x-2*x^2。例如，见Pólya和Szegő，第11部分，第1章，第71号。
求和{n>=1}（-1）^（n+1）*mu（n）*x^n/（1-x^n）=x+2*（x^2+x^4+x^8+x^16+…）。
Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*mu（n）*x^n/（1+x^n）=x-2*（x^4+x^8+x^16+x^32+…）。
求和{n>=1}|mu（n）|*x^n/（1-x^n）=Sum_{n>=1}（2^w（n））*x^n，其中w（n。
Sum_{n奇数}|mu（n）|*x^n/（1+x^（2*n））=S_1}（2^w_1（n。
Sum_{n奇数}（-1）^（（n-1）/2）*mu（n）*x^n/（1-x^（2*n））=S_3}（2^w_3（n
G.f.A.（x）满足：A（x）=x-和{k>=2}A（x^k）-伊利亚·古特科夫斯基2019年5月11日
a（n）=Sum_{k=1..n}gcd（k，n）*a（gcd（k，n））=Summ_{d除以n}a（d）*d*phi（n/d）-彼得·巴拉2024年1月16日
例子
G.f.=x-x^2-x^3-x^5+x^6-x^7+x^10-x^11-x^13+x^14+x^15+。。。
MAPLE公司
（数字理论）：[seq（mobius（n），n=1..100）]；
#请注意，旧版本的Maple将mobius（0）定义为-1。
#这是不明智的！Moebius（0）最好不定义。
带有（数字理论）：
mu:=proc（n:：posint）选项记住`如果`（n=1，1，
-加法（mu（d），d=除数（n）减去{n}）
结束时间：
数学
阵法[MoebiusMu，100]
（*第二个节目：*）
m=100；A[_]=0；
Do[A[x_]=x-和[A[x^k]，{k，2，m}]+O[x]^m//正常，{m}]；
黄体脂酮素
（公理）[moebiusMu（n）代表1..100]
（岩浆）[莫比乌斯Mu（n）：n in[1..100]]；
（PARI）a=n->如果（n<1，0，moebius（n））；
（PARI）{a（n）=if（n<1，0，direuler（p=2，n，1-X）[n]）}；
（PARI）列表（n）=我的（v=向量（n，i，1））；对于素数（p=2，平方（n）），对于步长（i=p，n，p，v[i]*=-1）；对于步骤（i=p^2，n，p^2、v[i]=0））；对于素数（p=平方（n）+1，n，对于步长（i=p，n，p，v[i]*=-1））；v（v）\\查尔斯·R·Greathouse IV2012年4月27日
（哈斯克尔）
导入数学。数字理论。底漆。因子分解（factorise）
a008683=亩。瑞士。解压缩。因式分解，其中
mu[]=1；mu（1:es）=-mues；mu（_：es）=0
（鼠尾草）
@缓存函数
定义mu（n）：
如果n<2：返回n
返回和（除数（n）[：-1]中d的mu（d））
打印（[mu（n）代表n in（1..96）]）#彼得·卢什尼，2016年12月26日
（Python）
来自sympy import mobius
print（[mobius（i）for i in range（1101）]打印（[范围（1101）中的i的mobius（i）]）#因德拉尼尔·戈什2017年3月18日
交叉参考
囊性纤维变性。A000010美元,A001221号,A008966号,A007423号,A080847号,A002321号（部分和），A069158号,A055615号,A129360型,A140579号,A140664号,邮编140254,A143104号,A152902号,A206706型,A063524号,A007427号,A007428型,A124010型,A073776号,A074206号,A132971号,A156552号.
gcd（a，b，c，d，e）=1（1<={a，b、c、d，e}<=n）的有序五元组（a，b，c、d、e）的数量。
+10
10
1, 31, 241, 991, 3091, 7501, 16531, 31711, 57781, 96601, 157651, 240031, 362491, 519961, 739201, 1012441, 1383721, 1822711, 2409241, 3091441, 3966301, 4974751, 6257461, 7680781, 9481681, 11474941, 13916191, 16610371, 19911151, 23435191
配方奶粉
a（n）=总和{k=1..n}亩（k）*地板（n/k）^5；a（n）渐近于c*n^5，c=0.9643。。。。
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=总和（k=1，n，moebius（k）*楼层（n/k）^5）
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
如果n==0：
返回0
c、 j=1，2
k1=无
当k1>1时：
j2=无/无k1+1
j、 k1=j2，n//j2
返回n*（n**4-1）-c+j#柴华武2021年3月29日
9, 8, 2, 9, 5, 2, 5, 9, 2, 2, 6, 4, 5, 8, 0, 4, 1, 9, 8, 0, 4, 8, 9, 6, 5, 6, 4, 9, 9, 3, 9, 2, 4, 1, 3, 2, 9, 5, 1, 2, 2, 1, 5, 1, 5, 9, 8, 6, 6, 0, 6, 8, 3, 0, 8, 4, 3, 7, 4, 0, 4, 0, 4, 9, 3, 5, 5, 0, 2, 5, 4, 1, 3, 4, 4, 6, 8, 7, 4, 2, 4, 8, 0, 8, 9, 8, 9, 5, 5, 4
评论
1/zeta（6）有一个已知的封闭式公式（945/Pi^6），如1/zeta。
1/zeta（6）是6个随机选择的数字成为互质的概率-A.H.M.斯密茨2021年4月13日
配方奶粉
等于和{k>=1}mu（k）/k^6，其中mu是Möbius函数(A008683号).
等于Product_{pprime}（1-1/p^6）。（结束）
例子
0.982952592264580419804896564993924132951221515986...
数学
真数字[1/Zeta[6]，10，100][[1](*阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月12日*）
gcd（v，w，x，y，z）=1且1<={v，w、x，y、z}<=10^n的有序五元组（v，wx，yz）的数量。
+10
5
1, 96601, 9645718621, 964407482028001, 96438925911789115351, 9643875373658964992585011, 964387358678775616636890654841, 96438734235127451288511508421855851, 9643873406165059293451290072800801506621
参考文献
Joachim von zur Gatheren和Jürgen Gerhard，《现代计算机代数》，剑桥大学出版社，2003年第二版，第53-54页。
配方奶粉
Lim_{n->无穷大}a（n）/10^（5*n）=1/zeta（5）=A343308型.
黄体脂酮素
（Python）
来自labmath import mobius
定义A343282飞机（n） ：返回和（mobius（k）*（10**n//k）**5范围内的k（1，10**n+1））
9, 9, 7, 9, 9, 5, 6, 3, 2, 7, 3, 0, 7, 6, 2, 1, 5, 6, 8, 6, 4, 6, 7, 6, 1, 3, 2, 1, 0, 5, 0, 9, 9, 9, 9, 6, 3, 2, 0, 9, 4, 1, 8, 4, 8, 0, 5, 1, 8, 2, 1, 1, 9, 1, 2, 3, 7, 3, 6, 7, 4, 5, 1, 3, 3, 7, 5, 2, 3, 0, 1, 0, 5, 1, 9, 4, 1, 1, 4, 1, 8, 2, 4, 3, 9, 1, 7
评论
1/zeta（9）是9个随机选择的数字成为互质的概率。
配方奶粉
等于和{k>=1}mu（k）/k^9，其中mu是Möbius函数(A008683号).
等于Product_{pprime}（1-1/p^9）。（结束）
例子
0.997995632730762156864676132105099996320941848...
数学
真数字[1/Zeta[9]，10，100][[1]
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