Möbius函数

Möbius函数是由

$mu（n）={0如果n有一个或多个重复素数因子；1如果n=1；（-1）^k如果n是k个不同素数的乘积，$

（一）

所以表示是无平方（Havil 2003年，第208页）。的前几个值因此1个，,，0，，1，，0，0，1，，0。。。（OEIS）A008683号).类似地，前几个值对于，2。。。是1，1，1，0，1，1，1，0，0，1，1，0。。。（OEIS）A008966号).

这个函数是由Möbius（1832）提出的是第一个由默顿（1874）使用。然而，Gauss认为Möbius函数比在莫比乌斯30年前，他写下了原始的根[质数的]不是吗（什么时候可除或（国防部)（什么时候是产品吗不等素数的；如果这些数字是偶数，则符号为正，但是如果数字是奇数，则符号为负数”（Gauss 1801，Pegg 2003）。

Möbius函数在钨语言作为莫比乌斯穆[n].

这个求和函数关于Möbius函数

（二）

被称为默顿函数.

下表给出了对于、0和1.第一个的值整数是上面画在网格，其中值具有显示红色的，以黑色显示，并且显示蓝色的。清晰的模式出现在多个数字共享一个或多个重复因素。

	OEIS	价值观
	A030059号	2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，30。。。
0	A013929号	4，8，9，12，16，18，20，24，25，27，28。。。
1	A030229号	1，6，10，14，15，21，22，26。。。

Möbius函数有生成函数

（三）

对于（纳格尔1951年，第130页）。这个产品接着接一个欧拉积扩大条款以获得

			（四）
			（五）
			（六）
			（七）
			（八）

（德比郡2004年，第245-249页）。

额外的生成函数被给予通过

（九）

对于它也服从无穷和

			（十）
			（十一）
			（十二）
$和（n=1）^（infty）（chi_u（{n:mu（n）=-1}））/（n^2）$			（十三）
$和（n=1）^（infty）（chi_u（{n:mu（n）=1}））/（n^2）$			（十四）

（OEIS）A082020型,A088245，和A088245; Havil 2003，第208页）作为除数和

（十五）

哪里是不同的主要因素属于（哈代和赖特1979年，第235页）。

同时满足无限的产品

（十六）

对于（贝尔曼1943；巴克1944；Pólya）斯泽格1976，第126页；罗宾斯1999）。方程式(◇) 同样“深”作为素数定理（兰道1909年，第567-574页；兰道1911年；哈代1999年，第24页）。

Möbius函数是乘法,

（十七）

满足

（十八）

哪里是克罗内克三角洲，以及

（十九）

哪里是除数（即。，除数函数零级；纳格尔1951年，p、 281页）。

另请参见

布朗猜想,Dirichlet母函数,默顿函数,Möbius反演公式,莫比乌斯周期函数,莫比乌斯变换,素数Zeta函数,黎曼功能,无平方

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Abramowitz，M.和Stegun，I.A.（编辑）。“莫比乌斯函数。”§24.3.1英寸手册数学函数与公式，图表和数学表格，第9版印刷。纽约：多佛，第826页，1972年。贝尔曼，R.“问题4072。”阿默尔。数学。每月 50，124-1251943年。巴克，R.C。“4072问题的解决方案。”阿默尔。数学。每月 51，410，1944德比郡，J。质数痴迷：伯恩哈德·里曼和数学中最大的未解决问题。纽约：企鹅出版社，第245-250页，2004年。高斯，《联邦法规》第81条在里面研究算术。德国莱比锡，1801年。A.A.克拉克译。康涅狄格州纽黑文：耶鲁大学出版社，1965年。哈代，G.H.“A关于Möbius函数的注记。“§4.9英寸拉马努詹：关于他生活和工作建议的主题的十二次讲座，第三版。纽约：切尔西，第64-65页，1999年。哈代·G·H·莱特·E·M。安数论导论，第5版。牛津：克莱伦登出版社，第236页，1979哈维尔，J。伽马射线：探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，2003年。兰道，E。手推车普利姆扎伦之家。德国莱比锡：Teubner，1909年。兰道，E。普拉克。材料 21，97-1771910年。兰道，E。维纳·西特祖斯伯。 120，973-9881911年。默顿，F。“扎伦瑟里的渐近症。”J、缰绳安格。数学。 77，第46-62页，1874年。Miller，J.“最早的用途数论符号。"http://members.aol.com/jeff570/nth.html.莫比乌斯，A、 F.“你的艺术是什么？”J。雷恩·安格。数学。 9，105-1231832年。纳格尔，T。介绍数论。纽约：威利，第27页，1951年。佩格，小E。“数学游戏：Möbius函数（和无平方数）。”11月3日，2003http://www.maa.org/editor/mathgames/mathgames_11_03_03.html.Pólya，G、斯泽格，G。问题分析中的定理，第二卷。纽约：Springer Verlag，1976年。罗宾斯，N、把配分函数与其他数论联系起来的恒等式功能。"洛基Mtn。J、数学。 29，335-3451999年。罗塔，G、 -C.“关于组合理论的基础I.Möbius函数理论。”Z、 für Wahrscheinlichkeitsth。 2，340-3681964年。塞鲁尔，R、 “Moebius函数。”§2.12和8.5英寸编程对数学家来说。柏林：斯普林格·韦拉格，第19-21和167-169页，2000斯隆，新泽西州序列A008683号,A008966号,A013929号,A030059号,A030229号,A082020型,A88245型,和A88246在线百科全书整数序列。"瓦迪，I。计算的数学的再创造。加利福尼亚州红木城：艾迪生·韦斯利，第7-8页以及223-2251991年。威尔夫，H。生成功能学，第二版。纽约：学术出版社，第61页，1994年。

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引用如下：

韦斯坦，埃里克W。“莫比乌斯函数。”从数学世界--Wolfram网络资源。https://mathworld.wolfram.com/MoebiusFunction.html

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