话题

Möbius函数


移动函数

Möbius函数是由

 mu(n)={0如果n有一个或多个重复素数因子;1如果n=1;(-1)^k如果n是k个不同素数的乘积,
(一)

所以穆(n)=0表示n无平方(Havil 2003年,第208页)。的前几个值亩(n)因此1个,-1,-1,0,-1,1,-1,0,0,1,-1,0。。。(OEIS)A008683号).类似地,前几个值|亩(n)|对于n=1,2。。。是1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0。。。(OEIS)A008966号).

这个函数是由Möbius(1832)提出的亩(n)是第一个由默顿(1874)使用。然而,Gauss认为Möbius函数比在莫比乌斯30年前,他写下了原始的[质数的p]不是吗=0(什么时候p-1型可除=+/-1(国防部p)(什么时候p-1型是产品吗不等素数的;如果这些数字是偶数,则符号为正,但是如果数字是奇数,则符号为负数”(Gauss 1801,Pegg 2003)。

Möbius函数在语言作为莫比乌斯穆[n].

这个求和函数关于Möbius函数

 M(x)=和(n<=x)mu(n)
(二)

被称为默顿函数.

MoebiusMuDensityPlot公司

下表给出了n对于μ(n)=-1、0和1.第一个的值10^4年整数是上面画在100×100网格,其中值n具有μ(n)=-1显示红色的,mu(n)=0以黑色显示,并且μ(n)=1显示蓝色的。清晰的模式出现在多个数字共享一个或多个重复因素。

亩(n)OEIS价值观n
-1A030059号2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,30。。。
0A013929号4,8,9,12,16,18,20,24,25,27,28。。。
1A030229号1,6,10,14,15,21,22,26。。。

Möbius函数有生成函数

 总和(n=1)^infty(mu(n))/(n^s)=1/(zeta(s))
(三)

对于R[s]>1(纳格尔1951年,第130页)。这个产品接着接一个欧拉积扩大条款以获得

1/(泽塔)=积(k=1)^(infty)(1-1/(p_k^s))
(四)
=(1-1/(p_1^s))(1-1/(p_2^s))(1-1/(p_3^s))。。。
(五)
=1-(1/(p_1^s)+1/(p_2^s)+1/(p_3^s)+…)+(1/(p_1^sp_2^s)+1/(p_1^sp_3^s)++1/(p_2^sp_3^s)+1/(p_2^sp_4^s)+…)-。。。
(六)
=1-和(0<i)1/(p_i^s)+和(0<i<j)1/(p_i^sp_j^s)-和(0<i<j<k)1/(p_i^sp_j^sp_k^s)+。。。
(七)
=总和(n=1)^(infty)(mu(n))/(n^s)
(八)

(德比郡2004年,第245-249页)。

额外的生成函数被给予通过

 和(n=1)^infty(mu(n)x^n)/(1-x^n)=x
(九)

对于|x |<1它也服从无穷和

和(n=1)^(infty)(mu(n))/n=0
(十)
和(n=1)^(infty)(mu(n)lnn)/n=-1
(十一)
总和(n=1)^(infty)(| mu(n)|)/(n^2)=(15) /(π2)=1.51981775。。。
(十二)
和(n=1)^(infty)(chi_u({n:mu(n)=-1}))/(n^2)=9/(2pi^2)=0.45594532。。。
(十三)
和(n=1)^(infty)(chi_u({n:mu(n)=1}))/(n^2)=(21)/(2pi^2)=1.06387242。。。
(十四)

(OEIS)A082020型,A088245,和A088245; Havil 2003,第208页)作为除数和

 总和|(d | n)| mu(d)|=2^(Ω(n)),
(十五)

哪里欧米茄(n)不同的主要因素属于n(哈代和赖特1979年,第235页)。

亩(n)同时满足无限的产品

 乘积_u(n=1)^infty(1-x^n)^(mu(n)/n)=e^(-x)
(十六)

对于|x |<1(贝尔曼1943;巴克1944;Pólya)斯泽格1976,第126页;罗宾斯1999)。方程式(◇) 同样“深”作为素数定理(兰道1909年,第567-574页;兰道1911年;哈代1999年,第24页)。

Möbius函数是乘法,

 mu(mn)={mu(m)mu(n)如果(m,n)=1;0如果(m,n)>1,
(十七)

满足

 和(d | n)mu(d)=δ(n1),
(十八)

哪里三角洲(ij)克罗内克三角洲,以及

 总和μ(d)mu(d)sigma_0(n/d)=1,
(十九)

哪里西格玛0(n)是除数(即。,除数函数零级;纳格尔1951年,p、 281页)。


另请参见

布朗猜想,Dirichlet母函数,默顿函数,Möbius反演公式,莫比乌斯周期函数,莫比乌斯变换,素数Zeta函数,黎曼功能,无平方

相关钨矿

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/MoebiusMu/

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工具书类

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引用关于Wolfram | Alpha

Möbius函数

引用如下:

韦斯坦,埃里克W。“莫比乌斯函数。”数学世界--Wolfram网络资源。https://mathworld.wolfram.com/MoebiusFunction.html

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