搜索： a268391-编号：a268381
|
| |
|
|
A050376号
|
| “费米-迪拉克素数”：形式为p^（2^k）的数，其中p是素数，k>=0。 |
|
+10
247
|
|
|
|
2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
|
评论
|
每个数n都是这些数的唯一子集的乘积。这有时称为n的费米-迪拉克因式分解（参见182979年). 证明：在素因式分解中，n=Product_{j>=1}p（j）^e（j）将每个指数e（j。
或者，a（1）=2；对于n>1，a（n）=不能作为先前项的乘积获得的最小数。这从唯一因式分解定理和每个数字都可以表示为2的幂和这一事实中可以看出-阿玛纳斯·穆尔西2002年1月9日
除数为2^n的最小数(=A037992号（n） ）是该序列前n项的乘积，根据Ramanujan。
根据粒子的玻色-爱因斯坦分布，无限数量的粒子可能占据同一状态。另一方面，根据费米-迪拉克分布，没有两个粒子可以占据相同的状态（根据泡利不相容原理）。素数对正整数的唯一分解(A000040型)和超过的条款A050376美元在粒子物理中，可以将这两种分布与之进行比较。与此对应，素数上的因式分解可以称为“玻色-爱因斯坦因式分解”，而A050376号人们可以称之为“费米-迪拉克因子分解”-弗拉基米尔·舍维列夫2010年4月16日
形式为p^（2^k）的数，其中p是素数，k>=0，因此可以称为“费米-迪拉克素数”，而经典素数可以称之为“玻色-爱因斯坦素数”-丹尼尔·福格斯2011年2月11日
在无穷除数理论中，这些术语最自然的名称是“无穷素数”或“i-素数”。实际上，n在序列中，当且仅当它只有两个无穷除数。因为1和n总是n>1的无穷除数，所以i-素没有其他无穷除数-弗拉基米尔·舍维列夫2011年2月28日
{a（n）}是包含所有素数的最小集，关于平方是封闭的。与此相关，请注意n和n^2在费米-迪拉克表示中具有相同数量的因子-弗拉基米尔·舍维列夫2012年3月16日
关于这个序列，如果费米-迪拉克因式分解中的因子是两两互质，则称为整数紧。这类整数的密度等于（6/Pi^2）*Product_{prime p}（1+（Sum_{i>=1}p^（-（2^i-1））/（p+1））=0.872497…有趣的是，在A169661号. -弗拉基米尔·舍维列夫2012年3月17日
序列的前k项解决了以下优化问题：
设x_1，x_2，。。。，x_k是带限制的整数：2<=x_1<x_2<<x_k，A064547号（乘积{i=1..k}x_i）>=k。让目标函数为Product_{i=1.k}x _i。那么目标函数的最小值为Product_{i=1..k}a（i）-弗拉基米尔·舍维列夫2012年4月1日
与第一条注释类似，对于序列“形式为p^（3^k）或p^。
对基数r的推广将使用“形式为p^（r^k），p^，（2*r^k。（结束）
在我1981年的论文中（见阿布拉莫维奇参考文献），首次出现了这个序列作为数论中的乘法基础，并引入了一些新的概念、公式和定理-弗拉基米尔·舍维列夫，2014年4月27日
词汇学上最早的不同非负整数序列，因此没有一个项是2个或更多不同项的乘积。去掉明显性要求，序列变成A000040型（质数）；产品具有两个不同项的等效序列为A026416号（无初始期限，1）-彼得·穆恩2019年3月5日
该序列于1985-1986年独立开发为乘法数字系统（1995年首次出版，见乌尔曼参考文献），使用了一种证明方法，将正整数表示为2的幂和。这种方法为分析序列提供了一种更简单、更灵活的方法-杰弗里·尤尔曼，2022年11月9日
|
|
|
参考文献
|
V.S.Abramovich，《关于欧拉函数的模拟》，《苏联科学院北高加索中心会议录》（罗斯托夫·纳多诺）（1981）第2期，第13-17页（俄文；MR0632989（83a:10003））。
S.Ramanujan，《高度复合数字》，《Srinivasa Ramanujian论文集》，第125页，编辑G.H.Hardy等人，AMS Chelsea 2000。
V.S.Shevelev，Fermi-Dirac算法中的乘法函数，北高加索地区的Izvestia Vuzov，自然科学4（1996），28-43（俄语；MR 2000f:11097，第3912-3913页）。
J.K.Uhlmann，《动态地图构建和本地化：新理论基础》，牛津大学博士论文，附录16，1995年。
|
|
|
链接
|
史蒂文·芬奇，一元论和无限论2004年2月25日。[经作者许可，缓存副本]
Simon Litsyn和Vladimir Shevelev，指数受限整数的因式分解，INTEGERS:组合CD-数理论电子杂志，7（2007），#A33，1-36。
弗拉基米尔·舍维列夫，紧整数和阶乘《阿里斯学报》。126（2007），第3期，195-236。
J.K.Uhlmann，附录16，牛津大学博士论文，第243页，1995年。
|
|
|
配方奶粉
|
乘积{i>=1}a（i）^k_i=n！，其中k_i=楼层（n/a（i））-楼层（n/a（i）^2）+楼层（n/a^3）-楼层。。。
用A（x）表示不超过x的项数。
那么A（x）=pi（x）+pi（x^（1/2）。。。
相反，pi（x）=A（x）-A（sqrt（x））。例如，pi（37）=A（37）-A（6）=16-4=12。
（结束）
欧拉乘积的费米-狄拉克类似物：Zeta（s）=乘积_{k>=1}（1+A（k）^（-s）），对于s>1。
特别是，Product_{k>=1}（1+a（k）^（-2））=Pi^2/6。（结束）
|
|
|
例子
|
非本序列条款的主要权力：
8 = 2^3 = 2^(1+2), 27 = 3^3 = 3^(1+2), 32 = 2^5 = 2^(1+4),
64 = 2^6 = 2^(2+4), 125 = 5^3 = 5^(1+2), 128 = 2^7 = 2^(1+2+4)
“费米-狄拉克因子分解”：
6 = 2*3, 8 = 2*4, 24 = 2*3*4, 27 = 3*9, 32 = 2*16, 64 = 4*16,
108 = 3*4*9, 120 = 2*3*4*5, 121 = 121, 125 = 5*25, 128 = 2*4*16.
|
|
|
MAPLE公司
|
isA050376:=进程（n）
局部f，e；
f:=系数（n）[2]；
如果nops（f）=1，则
e：=op（2，op（1，f））；
如果是A000079（e），则
真实；
其他的
假；
结束条件：；
其他的
假；
结束条件：；
结束进程：
选项记忆；
局部a；
如果n=1，则
2 ;
其他的
对于来自procname（n-1）+1 do的a
如果是A050376（a），那么
返回a；
结束条件：；
结束do：
结束条件：；
|
|
|
数学
|
nn=300；t={}；k=1；当[lim=nn^（1/k）；lim>2时，t=Join[t，Prime[Range[PrimePi[lim]]^k]；k=2 k]；t=联管节[t](*T.D.诺伊2012年4月5日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=局部（m，c，k，p）；如果（n<=1，2*（n==1），n--；c=0；m=2；而（c<n，m++；if（isprime（m）||（k=ispower（m，&p））&isprime\\迈克尔·索莫斯2005年4月15日；编辑人米歇尔·马库斯2021年8月7日
（PARI）lst（lim）=my（v=素数（primepi（lim）），t）；对于素数（p=2，sqrt（lim），t=p；而（t=t^2）<=lim，v=concat（v，t））；向量排序（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月10日
（PARI）ispow2（n）=n&&n>>估价（n，2）==1
（哈斯克尔）
a050376 n=a050376_列表！！（n-1）
a050376_list=过滤器（（==1）。a209229。a100995）[1..]
（方案）
;; 还需要我的IntSeq-library-安蒂·卡图恩2016年2月9日
（Python）
从sympy导入isprime，perfect_power
定义正常（n）：
if isprime（n）：返回True
答案=完美功率（n）
如果没有回答：返回False
b、 e=答案
如果不是isprime（b）：返回False
当e%2==0:e//=2时
返回e==1
定义缺陷（极限）：
此外，m=[]，1
对于范围（1，极限+1）中的m：
如果正常（m）：同样追加（m）
返回alst
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A001317号
|
| Sierpiñski的三角形（Pascal的三角形mod 2）转换为十进制。
（原名M2495 N0988）
|
|
+10
98
|
|
|
|
1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295, 4294967297, 12884901891, 21474836485, 64424509455, 73014444049, 219043332147, 365072220245, 1095216660735, 1103806595329, 3311419785987
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
J·H·康韦（J.H.Conway）在数学论坛（Math Forum）上写道：至少前31个数字给出了奇边可构造多边形。另请参阅A047999号.-M.Dauchez（mdzzdm（AT）yahoo.fr），2005年9月19日[这项观察也是由N.L.White于1982年提出的（见信函）-N.J.A.斯隆2015年6月15日]
由规则60基本细胞自动机第n代的二进制位生成的十进制数。因此：1；0, 1, 1; 0, 0, 1, 0, 1; 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1; 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1; ... . -埃里克·韦斯特因2006年4月8日
极限{n->oo}log（a（n））/n=log（2）-布雷特·穆维2008年5月17日
设n，m>=0，使得相加时不发生进位。则a（n+m）=a（n）*a（m）-弗拉基米尔·舍维列夫2010年11月28日
设phi_a（n）是a（k）<=a（n）的个数，分别素数为a（n。然后，对于n>=1，phi_a（n）=2^v（n），其中v（n-弗拉基米尔·舍维列夫2010年11月29日
将k-多项式（k=2^e，其中e>=1）项的幂的行转换为二进制，并将级联作为二进制数读取，得到该序列的每个（k-1）项。与任何素数的幂p^k类似。研究复合材料的功率是如何失效的可能会很有趣-乔格·阿恩特2011年1月7日
这个序列也以另一种方式出现在帕斯卡的三角形mod 2中。如果我们把它写成
1111111...
10101010...
11001100...
10001000...
我们得到（取每行中的句点部分）：
.（1）（以2为基数）=1
.(10) = 2/3
.(1100) = 12/15 = 4/5
.(1000) = 8/15
第k行作为二进制分数处理，似乎等于2^k/a（k）-卡塔兹娜·马提拉2011年3月12日
由于有5个已知的费马素数，因此有32个不同的费马素乘积（因此有31个可构造的奇边多边形，因为多边形至少有3条边）。a（0）=1（空积）和a（1）到a（31）是不同Fermat素数的31个非积。
a（0）=1（空积）是{}中不同费马数的积；
a（2^n+k）=a（k）*（2^（2^n）+1）=a。
因此，对于n>=1，0<=k<=2^n-1，以及
a（k）=产品{i=0..n-1}F_i^（alpha_i），{0，1}中的alpha_i，
这意味着
a（2^n+k）=产品{i=0..n-1}F_i^（alpha_i）*F_n，{0，1}中的alpha_i。
（参见下面的OEIS Wiki链接。）（结束）
a（n）的二进制展开式中的位给出了环GF（2）[X]中多项式（X+1）的n次幂的系数。例如，3（二进制中的“11”）表示（X+1）^1，5（二进制中为“101”）表示“X+1”^2=（X^2+1）”，依此类推-安蒂·卡图恩2016年2月10日
|
|
|
参考文献
|
Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第113页。
Henry Wadsworth Gould，指数二项式系数系列，技术报告4，数学。1961年9月，西弗吉尼亚州摩根敦市西佛吉尼亚大学系。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
Gary W.Adamson和N.J.A.Sloane，通信，1994年5月包括亚当森的MSS“从n生成第n行帕斯卡三角形的2模算法”和“河内转轮塔”。
克里斯蒂安·科贝利和亚历山德鲁·扎哈里斯库，帕斯卡三角漫步——数字动机，公牛。数学。社会科学。数学。Roumanie，Tome托姆·鲁马尼56（104），第1期（2013），第73-98页；备用链路.
Richard K.Guy和N.J.A.Sloane，通信, 1988.
P.Mathonet、M.Rigo、M.Stipulanti和N.Zéna-idi，关于与帕斯卡三角形相关的数字序列，arXiv:2201.06636[math.NT]，2022。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n+1）=a（n）XOR 2*a（n”），其中XOR是二进制异或运算符-保罗·D·汉纳2003年4月27日
a（n）=Product_{e（j，n）=1}（2^（2*j）+1），其中e（j、n）是n的二进制表示中的第j个最低有效数字（Roberts：见Allouche&Shallit）-贝诺伊特·克洛伊特2004年6月8日
a（2*n+1）=3*a（2*n）。证明：由于a（n）=Product_{k in k}（1+2^（2^k）），其中k是整数集，其中n=Sum_{k inK}2^k，明确k（2*n+1）=k（2*n）并集{0}，因此a（2*n+1）=（1+2 ^（2 ^0））*a（2*n）=3*a（2*n）Emmanuel Ferrand和拉尔夫·斯蒂芬，2004年9月28日
a（32*n）=3^（32*n*log（2）/log（3））+1-布雷特·穆维2008年5月17日
a（2^n）=A000215号（n） ；a（2^n-1）=a（2*n）-2；对于n>=1，m>=0，
求和{k>=0}1/a（k）=Product_{n>=0{（1+1/F_n），其中F_n=A000215号（n） ；
和{k>=0}（-1）^（m（k））/a（k）=1/2，其中{m（n）}是Thue-Morse序列(A010060型).
如果F_n由F_n（z）=z^（2^n）+1和a（n）由（1/2）*Sum_{i>=0}（1-（-1）^{二项式（n，i）}）*z^i定义，那么对于z>1，后两个恒等式也成立，第二个恒等词右侧的1/2替换为1-1/z-弗拉基米尔·舍维列夫，2010年11月29日
（结束）
|
|
|
例子
|
给定a（5）=51，a（6）=85，因为a（5。
a（0）=1（空产品）；
a（1）=3=1*F_0=a（2^0+0）=a（0）*F_0；
a（2）=5=1*F_1=a（2^1+0）=a（0）*F_1；
a（3）=15=3*5=F_0*F_1=a（2^1+1）=a（1）*F_1；
a（4）=17=1*F_2=a（2^2+0）=a（0）*F_2；
a（5）=51=3*17=F_0*F_2=a（2^2+1）=a（1）*F_2；
a（6）=85=5*17=F_1*F_2=a（2^2+2）=a（2）*F_2；
a（7）=255=3*5*17=F_0*F_1*F_2=a（2^2+3）=a（3）*F_2；
…（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
A001317号：=进程（n）局部k；加（（二项式（n，k）mod 2）*2^k，k=0..n）；结束；
|
|
|
数学
|
f[n_]：=嵌套[BitXor[#，BitShiftLeft[#，1]&，1，n]；数组[f，42，0]（*Joel Madigan（dochoncho（AT）gmail.com），2007年12月3日*）
f[n_]：=FromDigits[表[Mod[二项式[n，k]，2]，{k，0，n}，2]；数组[f，42，0](*罗伯特·威尔逊v*)
嵌套列表[BitX或[#，2#]&，1，50](*哈维·P·戴尔2021年8月2日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=总和（i=0，n，（二项式（n，i）%2）*2^i）
（PARI）a=1；对于（n=0，66，打印1（a，“，”）；a=比特或（a，a<<1））\\乔格·阿恩特2013年3月27日
（哈斯克尔）
a001317=文件夹（\u v->2*v+u）0。映射到Integer。a047999_低
（方案，带有备忘录-宏定义，两种变体）
（岩浆）[&+[（二项式（n，i）mod 2）*2^i:i in[0..n]]：n in[0..41]]//文森佐·利班迪2016年2月12日
（Python）
从症状导入二项式
定义a（n）：返回和（[（二项式（n，i）%2）*2**i for i in range（n+1）]）#因德拉尼尔·戈什2017年4月11日
（Python）
定义A001317年（n） ：对于范围（n+1）中的k，返回int（“”.join（str（int（not（~n&k））），2）#柴华武2022年2月4日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000079号,A000215号（费马数），A047999号,A048720型,A054432号,A173019号,A177882号,A177897号,A177960号,A193231号,A230116型,澳大利亚247282,A249184号,A268391型.
|
|
|
关键字
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0
|
|
|
评论
|
这个序列不是乘法的。最小的反例是n=A000215号（6） =4294967297，这是第一个复合费马数。在这种情况下，a（n）=1不是同时为零的a（641）和a（6700417）的乘积-安德鲁·霍罗伊德，2018年8月8日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（方案，两种变体）
（Python）
从itertools导入计数，islice
a=-1
对于计数（0）中的n：
对于范围（n+1）中的k，b=int（“”.join（str（int（not（~n&k））），2）
（0，）*（b-a-1）的产量
产量1
a=b
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
2, 3, 8, 5, 7, 27, 11, 13, 32, 17, 19, 23, 125, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 343, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 243, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 1331, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 2197, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 32768, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.010秒内完成
|
