显示找到的17个结果中的1-10个。
模函数j的系数作为q=e^（2 Pi i t）中的幂级数。另一个名称是椭圆模不变量J（tau）。
（原名M5477 N2372）
+10
334
1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184, 126142916465781843075
评论
“[j函数]最自然的归一化是将常数项设置为24，这是Rademacher对j函数系数的无限级数给出的数字”。[博切尔群岛]
将术语744更改为24表示A007240号Monster简单组的1A级McKay-Thompson系列。
Klein的绝对不变量J=J/1728是伽马模。
KleinInvariantJ[]（版本6至8）的Mathematica实现存在错误，为a[7]、a[9]、a[11]和其他值提供了错误的值-迈克尔·索莫斯2012年3月7日
如果有无穷多的k使得a（k）是素数，这是一个悬而未决的问题。已知的此类指数列于A339429型参见Fredrik Johansson的论文-彼得·卢什尼2021年5月5日
参考文献
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Evans、David E.和Yasuyuki Kawahigashi。“子因子和数学物理”，《美国数学学会公报》，60:4，（2023），459-482（见第472页）。
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M.J.Knopp，J（tau）上的Rademacher，非正权的Poincare级数和Eichler上同调，Notices Amer。数学。《社会学杂志》，37:4（1990），385-393。
S.Lang，模块化形式介绍，Springer-Verlag，1976年，第12页。
B.Schoeneberg，椭圆模函数，Springer-Verlag，纽约，1974年，第56页。
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
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D.Alexander、C.Cummins、J.McKay和C.Simons，完全可复制的功能，LMS课堂讲稿，165，编辑Liebeck和Saxl（1992），87-98，注释和扫描副本。
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安德烈亚斯·恩格（Andreas Enge）、威廉·哈特（William Hart）和弗雷德里克·约翰逊（Fredrik Johansson），θ函数的短加法序列，arXiv:1608.06810[math.NT]，2016-2018。
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杨辉和约翰·麦凯，月亮与生命的意义，arXiv:1408.2083[math.NT]，2014年。
杨辉和约翰·麦凯，零星和例外，arXiv:1505.06742[math.AG]，2015年。
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弗雷德里克·约翰逊，计算j函数的孤立系数，arXiv:2011.4671[math.NT]，2020年。
小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]
瓦尔多·塔蒂舍夫，怪物月光简介，arXiv:1902.03118[math.NT]，2019年。
A.van Wijngaarden，关于模不变量J（tau）的系数《荷兰科宁克利法院诉讼》，A辑，56（1953），389-400【给出100个术语】。
A.van Wijngaarden，关于模不变量J（tau）的系数《荷兰科宁克利法院诉讼》，A辑，56（1953），389-400【给出100个术语】。[带注释的扫描副本]
赫伯特·S·扎克曼，J（τ）较小系数的计算，公牛。阿默尔。数学。《社会学》第45卷（1939年），第917-919页。
配方奶粉
通用名称：A007245号（q） ^3/q；或（1+240 Sum_{k>0}sigma_3（k）q^k）^3/（q乘积_{k>0}（1-q^k，^24）。
128*（θ_2（q）^8+θ_3-迈克尔·索莫斯2007年10月2日
a（n）~exp（4*Pi*n（1/2））/（2^（1/2）*n（3/4））[Peterson（1932），Rademacher（1938）]-Gheorghe Coserea公司2015年10月9日
例子
j=1/q+744+196884*q+21493760*q^2+86429970*q^3+20245856256*q^4+。。。
如果J_n:=J（sqrt（-n））^（1/3），则J_1=12，J_2=20，J_4=66，J_77=255-迈克尔·索莫斯2019年10月31日
MAPLE公司
其中（数字理论）：TOP:=31；
g2:=（4/3）*（1+240*加法（sigma[3]（n）*q^n，n=1..TOP-1））；
g3:=（8/27）*（1-504*加（σ[5]（n）*q^n，n=1..TOP-1））；
δ：=系列（g2^3-27*g3^2，q，TOP）；
j：=系列（1728*g2^3/δ，q，TOP）；
数学
系数表[Normal[Series[1728*KleinInvariantJ[z]，{z，0，30}]*Exp[-2*I*Pi/z]]/。E^（Pi*复数[0，n_]/z）->t^（-n/2），t](*阿图尔·贾辛斯基，2008年12月20日，以Daniel Lichtblau命名，更正人瓦茨拉夫·科特索维奇，2020年7月7日*）
a[n_]：=具有[{tau=Log[q]/（2 Pi I）}，级数系数[Series[1728 KleinInvariantJ[tau]，{q，0，n}]，{q,0，n{]]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月20日*）（*自V7开始*）
a[n_]：=具有[｛e1=DedekindEta[Log[q]/（2 Pi I）]^24，e2=DedekindEta[Log[q]/（Pi I）]^24｝，序列系数[序列[（e1+256 e2）^3/（e1^2 e2），｛q，0，n+1｝]，｛q，0，n｝]]；(*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*）
a[n_]：=与[{L=ModularLambda[Log[q]/（2Pi I）]}，系列系数[系列[256（L^2-L+1）^3/（L（1-L））^2，{q，0，2n+3}]，{q、0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*）
a[n_]：=如果[n<-1，0，With[{E4=1+240 Sum[DivisorSigma[3，k]q^k，{k，n+2}]，E6=1-504 Sum[divisorSigra[5，k]q ^k，}，{k、n+2}]}，SeriesCoefficient[Series[1728 E4^3/（E4^3-E6^2），{q，0，n}]，{q、0，n{}]]；(*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*）
系数列表[系列[（65536+x*QPochhammer[-1，x]^24）^3/（16777216*QPoch hammer[-1,x]^24]，{x，0,20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月23日*）
a[n_]：=级数系数[With[{L=Inverse EllipticNomeQ[rootQ]}，256（L^2-L+1）^3/（L（1-L））^2]，{rootQ，0，2n}]；(*简·曼加尔丹2020年7月7日之后迈克尔·索莫斯; 已由更正利奥·斯坦因2024年2月25日*）
a[n_]：=级数系数[12^3克莱因不变量J[Log[q]/（2 Pi I）]，{q，0，n}](*利奥·斯坦因2024年2月25日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<-1，0，a=x^（2*n+2）*O（x）；a=x*（eta（x+a）*eta（x^4+a）^2/eta（x^2+a）^3）^8；极系数（subst（256*（1-x+x^2）^3/（x-x^2）^2，x，16*a），2*n））}/*迈克尔·索莫斯2004年4月30日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<-1，0，a=x^（5*n+5）*O（x）；a=（eta（x+a）/eta（x^5+a））^6/x；polcoeff（subst（（x^2+10*x+5）^3/x，x，a），5*n））}/*迈克尔·索莫斯2004年4月30日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<-1，0，a=x^2*O（x^n）；a=x*（eta（x^2+a）/eta（x+a））^24；波尔科夫（（1+256*a）^3/a，n））}/*迈克尔·索莫斯2004年7月13日*/
（PARI）q='q+O（'q^66）；Vec（ellj（q））\\乔格·阿恩特2016年4月24日
（PARI）{a（n）=如果（n<-1，0，polceoff（ellj（x+x^3*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯2016年12月25日*/
（E_6^2/E_4^3）^（1/288）的展开系数。
+10
22
1, -6, -702, -393804, -132734778, -61428055320, -26480146877172, -12318952616296752, -5730786812846192490, -2732960583228848850522, -1314627022075990658598360, -639871947654492158944455132, -313833506047227501170833823292
评论
一般来说，对于0<m<1/2，（E_6^2/E_4^3）^m的展开式渐近于-m*3^m*Gamma（1/4）^（8*m）*exp（2*n*Pi）/-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年3月4日
配方奶粉
通用：（1-1728/j）^（1/288）。
a（n）~c*exp（2*Pi*n）/n^（145/144），其中c=-伽马（1/4）^（1/36）/（48*2^（1/3）*3^（287/288）*Pi^（1/4）*Gamma（143/144））=-0.00689215729035598283739827328586498011098072125574657372422958228077-瓦茨拉夫·科特索维奇，2017年7月8日，2018年3月4日更新
数学
nmax=20；系数列表[级数[（1-504*Sum[DivisorSigma[5，k]*x^k，{k，1，nmax}]）^2/(*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年7月8日*）
1, -1728, 1285632, -616294656, 242544070656, -85253786824320, 27846073156184064, -8638345400999827968, 2579332695698905989120, -747814048389765750131136, 211795259563761765262894080, -58852853362216364363212075776
配方奶粉
通用公式：1-1728*q*产品{k>=1}（1-q^k）^24/E_4^3=1-1728/j。
a（n）~（-1）^n*c*exp（Pi*sqrt（3）*n）*n^2，其中c=256*Pi^12/Gama（1/3）^18=4.68499303941714565904365695822658404079097010425231267193567422-瓦茨拉夫·科特索维奇，2017年7月8日，2018年3月4日更新
数学
nmax=20；系数列表[级数[（1-504*Sum[DivisorSigma[5，k]*x^k，{k，1，nmax}]）^2/(*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年7月8日*）
1, -744, 159768, -36866976, 8507424792, -1963211493744, 453039686271072, -104545516658693952, 24125403112135458840, -5567288717204029449672, 1284733088879405339418768, -296470902355240575283208928, 68414985730612787485819011168
配方奶粉
设j_0=1和j_1=j-744。通过j_m=j1|T_0（m）定义j_m，其中T_0（m）=mT_{m，0}是规范化的第m个权重为零的Hecke运算符。a（n）=jn（（-1+sqrt（3）*i）/2）。
G.f.：总和{n>=0}j_n（（-1+sqrt（3）*i）/2）*q^n.（结束）
a（n）~（-1）^n*3*exp（Pi*sqrt（3）*n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年6月28日
例子
通用编号：1-744*q+159768*q^2-36866976*q^3+8507424792*q^4-1963211493744*q ^5+453039686271072*q ^6+。。。
a（0）=j_0（（-1+平方码（3）*i）/2）=1_
a（1）=j_1（（-1+sqrt（3）*i）/2）=-744+0^1=-744，
a（2）=j_2（（-1+sqrt（3）*i）/2）=159768-1488*0^1+0^2=159768。（结束）
数学
nmax=20；系数列表[系列[（1-504*和[DivisorSigma[5，k]*x^k，｛k，1，nmax｝]）/（1+240*和[DivisorSigma[3，k]*x^k，｛k，1，nmax｝]），｛x，0，nmax｝]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年6月28日*）
术语=13；Ei[n_]=1-（2n/BernoulliB[n]）和[k^（n-1）x^k/（1-x^k），{k，项}]；系数列表[Ei[6]/Ei[4]+O[x]^项，x](*Jean-François Alcover公司，2018年3月1日*）
a[n_]：=与[{j=级数[1728 KleinInvariantJ[Log[Series[q，{q，0，n+1}]/（2 Pi I）]，{q、0，n}]}，级数系数[-q D[j，q]/j，{q；0，n{]]；(*迈克尔·索莫斯2018年8月15日*）
1, 60, -4860, 660480, -105063420, 18206269560, -3328461434880, 631226199152640, -122944850563477500, 24436796345920143420, -4935178772322020730360, 1009598430837232126725120, -208736157503462405753487360, 43541664791244563211024015480
链接
M.Kontsevich和D.Zagier，时期《高等教育科学研究所2001年IHES/M/01/22》。出版于B.Engquist和W.Schmid，编辑，《数学无限-2001年及以后》，2卷。，Springer-Verlag，2001年，第771-808页，第2.3节。示例3。
配方奶粉
a（n）~（-1）^（n+1）*c*exp（Pi*sqrt（3）*n）/n^（5/4），其中c=sqrt-瓦茨拉夫·科特索维奇，2017年7月7日，2018年3月4日更新
例子
2F1（1/12、5/12；1；1728/j）
=1+（1*5）/（1*1）*12/j+（1*15*13*17）/（1*1*2*2）*（12/j）^2+（1*5*13*17*25*29）/（一*1*2*2*3*3）*（12/j）^3+。。。
=1+60/j+39780/j^2+3845400/j^3+。。。
=1+60*q-44640*q^2+21399120*q^3-。。。
+39780平方米-59192640平方米3+。。。
+38454000*q^3-。。。
+ ...
=1+60*q-4860*q^2+660480*q^3-。。。（结束）
数学
a[n_]：=级数系数[ComposeSeries[Series[Hypergeometric2F1[1/12，5/12，1，q]，{q，0，n}]，q^2/Series[q^2 KleinInvariantJ[Log[q]/（2 Pi I）]，{q,0，n{]]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2018年6月21日*）
1, -31, 3809, -620190, 111669570, -21246138749, 4186228503780, -845058129488699, 173647689528542310, -36170751826552656600, 7615730581866678419370, -1617501058117655447210580, 346019784662582818549094159
配方奶粉
a（n）~（-1）^n*c*exp（Pi*sqrt（3）*n）/n^（7/8），其中c=0.133978342154177168572616499010516785399753563926756586381…=2^（1/8）*exp-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年3月5日更新
a（n）*A106205号（n） ~c*exp（2*Pi*sqrt（3）*n）/n^2，其中c=-sqrt（2-sqrt）/（16*Pi）-瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年3月6日
1, -1488, 1266840, -811420480, 434731407660, -205762405603104, 88869953694086720, -35768448018942261120, 13610297613250180785870, -4947238483283026511913200, 1731166476103096494953112096, -586625688530872572480200739648
配方奶粉
a（n）~（-1）^n*c*exp（Pi*sqrt（3）*n）*n^5，其中c=8*Pi^24/（5*3^7*Gamma（1/3）^36）=0.00000024502430666504022950055476185608172017999906-瓦茨拉夫·科特索维奇，2017年7月7日，2018年3月5日更新
数学
nmax=20；Drop[CoefficientList[Series[（1-（1-504*Sum[DivisorSigma[5，k]*x^k，{k，1，nmax}]）^2/（1+240*Sum[CdivisorSigram[3，k]*x^k、{k，l，nmax{]）^3）/1728）^2，{x，0，nmaxneneneep，x]，2](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年7月7日*）
a[n_]：=级数系数[1/（1728*KleinInvariantJ[-Log[q]*I/（2*Pi）]）^2，{q，0，n}]；表[a[n]，{n，2，13}](*Jean-François Alcover公司2017年11月2日*）
1, -2232, 2730564, -2425008768, 1748443340826, -1085940040502592, 602376210735356376, -305671359557586479616, 144309502321265349235035, -64175062238369552680712096, 27135987216939727366492175940, -10990160397215122310079248998656
配方奶粉
a（n）~（-1）^（n+1）*c*exp（Pi*sqrt（3）*n）*n^8，其中c=（4*Pi^36）/（35*3^11*Gamma（1/3）^54）=0.000000000395425888452699792549199102489774693818147819519-瓦茨拉夫·科特索维奇，2017年7月7日，2018年3月5日更新
数学
nmax=20；Drop[CoefficientList[Series[（1-（1-504*Sum[DivisorSigma[5，k]*x^k，{k，1，nmax}]）^2/（1+240*Sum[CdivisorSigram[3，k]*x^k、{k，l，nmax{]）^3）/1728）^3，{x，0，nmaxneneneep，x]，3](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年7月7日*）
a[n_]：=级数系数[1/（1728*KleinInvariantJ[-Log[q]*I/（2*Pi）]）^3，{q，0，n}]；表[a[n]，{n，3，14}](*Jean-François Alcover公司2017年11月2日*）
1, -2976, 4747824, -5392956800, 4889133749400, -3761165322168768, 2549962294786430144, -1562849905009064897280, 881746577453401952409900, -464149085470990004575901600, 230323243751761513144853469408, -108618796884881830752241855604352
配方奶粉
a（n）~（-1）^n*c*exp（Pi*sqrt（3）*n）*n^11，其中c=16*Pi^48/（82864937925*Gamma（1/3）^72）=0.00000000000000 216583372498858866420880993216216369751685-瓦茨拉夫·科特索维奇，2017年7月7日，2018年3月5日更新
数学
nmax=20；Drop[CoefficientList[Series[（1-（1-504*Sum[DivisorSigma[5，k]*x^k，{k，1，nmax}]）^2/（1+240*Sum[CdivisorSigram[3，k]*x^k、{k，l，nmax{]）^3）/1728）^4，{x，0，nmaxneneneep，x]，4](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年7月7日*）
a[n_]：=序列系数[1/（1728*KleinInvariantJ[-Log[q]*I/（2*Pi）]）^4，{q，0，n}]；表[a[n]，{n，4，15}](*Jean-François Alcover公司2017年11月2日*）
1, -3720, 7318620, -10127095360, 11061866004390, -10151440298355744, 8136148305855926840, -5846643254165797186560, 3838606195380374717418465, -2335284727373310897029544400, 1330851094413644423959537571652, -716606026961666494353690542814720
配方奶粉
a（n）~-（-1）^n*2^（3*k）*Pi^（12*k）*exp（Pi*sqrt（3）*n）*n^（3+k-1）/（3^（3G）*Gamma（1/3）^（18*k）*1Gamma-瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年3月7日
数学
a[n_]：=序列系数[1/（1728*KleinInvariantJ[-Log[q]*I/（2*Pi）]）^5，{q，0，n}]；表[a[n]，{n，5，16}](*Jean-François Alcover公司2017年11月2日*）
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