%I M5477 N2372#252 2024年2月26日01:27:50

%S 174419688421493760864299702024585625633202640600，

%电话：4252023300964465694071935401490886650003176440229784420，

%电话：2256739330959360014621191149951929487431371968577536048720101179814252025497889410525184126916465781843075

%N模函数j的系数作为q=e ^（2 Pi i t）中的幂级数。另一个名称是椭圆模不变量J（tau）。

%C“[j函数]最自然的归一化是将常数项设置为24，即j函数系数的Rademacher无穷级数所给出的数字”。[博切尔群岛]

%C将术语744改为24得到A007240，即Monster简单群的1A级McKay-Thompson级数。

%C sigma_3（n）是n（A001158）除数的立方之和。

%C Klein的绝对不变量J=J/1728是伽马模。

%C（n+1）*A000521（n）/24产生整数值-见A161395_Alexander R.Povolotsky，2009年6月9日

%C KleinInvariantJ[]（版本6到8）的Mathematica实现存在错误，为a[7]、a[9]、a[11]和其他值提供了错误的值。-_Michael Somos，2012年3月7日

%如果有无穷多的k使得a（k）是素数，这是一个悬而未决的问题。A339429中列出了已知的此类指数。参见弗雷德里克·约翰逊的论文_Peter Luschny_，2021年5月5日

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%H<a href=“/index/Mat#McKay_Thompson”>Monster简单组的McKay-Thompson系列索引条目</a>

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%传真：A007245（q）^3/q；或（1+240 Sum_{k>0}sigma_3（k）q^k）^3/（q乘积_{k>0}（1-q^k，^24）。

%F似乎-n*a（n）=A035230（n）_Gerald McGarvey，2006年12月21日

%F 2*a（2）=A028520（3）。2*a（4）+a（1）=A028520（4）。2*a（6）=A028520（5）.-_Gerald McGarvey，2006年12月21日

%F 128*（θ_2（q）^8+θ_3_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年10月2日

%F a（n）~exp（4*Pi*n（1/2））/（2^（1/2）*n（3/4））[Peterson（1932），Rademacher（1938）]_Gheorghe Coserea，2015年10月9日

%F a（n）=（1/n）*（Z中的和{r}A027652（n-r^2）+和{r>0，r奇数}（（-1）^n*A027651（4*n-r^ 2）-A027652（16*n-r ^2）））对于n>0_Seiichi Manyama_，2017年6月11日

%F a（n）=（1/（n+1））*和{k=1..n+1}（504*A001160（k）-240*（n-k）*A001158（k））*a（n-k_Seiichi Manyama，2017年7月12日

%F G.F.：256*（1-λ+λ^2）^3/（λ^2*（1-lambda）^2），其中λ是椭圆模函数（A115977）_Seiichi Manyama，2017年7月30日

%e j=1/q+744+196884*q+21493760*q^2+86429970*q^3+20245856256*q^4+。。。

%e来自2017年6月11日的Seiichi Manyama：（开始）

%e a（1）=（1/1）*（A027652（0）+A027652（1）+A027652（0）+（-A027652（3）-A027652（15）-A027652（7）））=（1/1）*196884=196884。

%e a（2）=（1/2）*。

%e a（3）=（1/3）*。（结束）

%e如果J_n:=J（sqrt（-n））^（1/3），则J_1=12，J_2=20，J_4=66，J_77=255_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2019年10月31日

%p（数字理论）：TOP:=31；

%p g2:=（4/3）*（1+240*相加（sigma[3]（n）*q^n，n=1..TOP-1））；

%p g3:=（8/27）*（1-504*加（西格玛[5]（n）*q^n，n=1.TOP-1））；

%pδ：=系列（g2^3-27*g3^2，q，TOP）；

%pj:=系列（1728*g2^3/δ，q，TOP）；

%t系数列表[Normal[Series[1728*KleinInvariantJ[z]，{z，0,30}]*Exp[-2*I*Pi/z]]/。E^（Pi*Complex[0，n_]/z）->t^（-n/2），t]（*_Artur Jasinski，2008年12月20日，以Daniel Lichtblau命名，由_Vaclav Kotesovec_更正，2020年7月7日*）

%t a[n_]：=与[{tau=Log[q]/（2 Pi I）}，级数系数[级数[1728 KleinInvariantJ[tau]，{q，0，n}]，{q，0，n}]]；（*迈克尔·索莫斯，2011年11月20日*）（*自V7开始*）

%t a[n_]：=使用[{e1=DedekindEta[Log[q]/（2 Pi I）]^24，e2=DedekindEta[Log[q]/（Pi I；（*迈克尔·索莫斯，2012年3月9日*）

%t a[n_]：=与[{L=ModularLambda[Log[q]/（2 Pi I）]}，系列系数[系列[256（L^2-L+1）^3/（L（1-L））^2，{q，0，2n+3}]，{q、0，n}]]；（*迈克尔·索莫斯，2012年3月9日*）

%t a[n_]：=如果[n<-1，0，With[{E4=1+240 Sum[DivisorSigma[3，k]q^k，{k，n+2}]，E6=1-504 Sum[divisorSigra[5，k]q ^k，}，n+2]}，SeriesCoefficient[Series[1728 E4^3/（E4^3-E6^2），{q，0，n}]，{q、0，n{}]]；（*迈克尔·索莫斯，2012年3月9日*）

%t系数列表[系列[（65536+x*QPochhammer[-1，x]^24）^3/（16777216*QPoch hammer[-1,x]^24]），{x，0,20}]，x]（*_Vaclav Kotesovec_，2017年9月23日*）

%t a[n_]：=级数系数[With[{L=Inverse EllipticNomeQ[rootQ]}，256（L^2-L+1）^3/（L（1-L））^2]，{rootQ，0，2n}]；（*Jan Mangaldan，2020年7月7日，在Michael Somos之后；由_Leo C.Stein修正，2024年2月25日*）

%t a[n_]：=级数系数[12 ^3克莱因不变量J[Log[q]/（2 Pi I）]，{q，0，n}]（*_Leo C.斯坦因，2024年2月25日*）

%o（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<-1，0，a=x^（2*n+2）*o（x）；a=x*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年4月30日*/

%o（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<-1，0，a=x^（5*n+5）*o（x）；a=（eta（x+a）/eta（x^5+a））^6/x；polcoeff（subst（（x^2+10*x+5）^3/x，x，a），5*n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年4月30日*/

%o（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<-1，0，a=x^2*o（x^n）；a=x*（eta（x^2+a）/eta（x+a））^24；波尔科夫（（1+256*a）^3/a，n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年7月13日*/

%o（PARI）q='q+o（'q^66）；Vec（ellj（q））\\_Joerg Arndt_，2016年4月24日

%o（PARI）{a（n）=如果（n<-1，0，polceoff（ellj（x+x^3*o（x^n）），n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2016年12月25日*/

%Y参见A005798、A007240、A007245、A014708、A027652、A066395、A078906、A115977、A290403、A29040.4。

%Y反转表示A091406或A066396。

%Y参考A106205（第24根）。

%Y另请参阅A161361、A161362、A161395、A178451、A339429（带质数值的指数）。

%K简单，中性，漂亮，核心

%O-1、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E扩展了定义，以包括其他搜索词_N.J.A.Sloane，2019年11月30日