搜索： a064170-编号：a0641七十
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A001622号
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| 黄金比例phi（或tau）=（1+sqrt（5））/2的十进制展开。
（原名M4046 N1679）
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+10
1643
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1, 6, 1, 8, 0, 3, 3, 9, 8, 8, 7, 4, 9, 8, 9, 4, 8, 4, 8, 2, 0, 4, 5, 8, 6, 8, 3, 4, 3, 6, 5, 6, 3, 8, 1, 1, 7, 7, 2, 0, 3, 0, 9, 1, 7, 9, 8, 0, 5, 7, 6, 2, 8, 6, 2, 1, 3, 5, 4, 4, 8, 6, 2, 2, 7, 0, 5, 2, 6, 0, 4, 6, 2, 8, 1, 8, 9, 0, 2, 4, 4, 9, 7, 0, 7, 2, 0, 7, 2, 0, 4, 1, 8, 9, 3, 9, 1, 1, 3, 7, 4, 8, 4, 7, 5
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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也是（x+1）^n-x^（2n）正根的十进制展开式。对于所有n>0，（x+1）^n-x^（2n）=0只有两个实根x1=-（sqrt（5）-1）/2和x2=（sqert（5）+1）/2-西诺·希利亚德2004年5月27日
黄金比率φ是无理数中最无理的；它的连续分式收敛F（n+1）/F（n）是接近其实际值的最慢的（I.Stewart，《自然数》，基础图书，1997年）-Lekraj Beedassy公司2005年1月21日
设t=黄金比率。较小的sqrt（5）-收缩矩形的形状为t-1，较大的sqrt（5）–收缩矩形的形式为t。有关形状和收缩矩形的定义，请参见A188739号. -克拉克·金伯利2011年4月16日
给定一个五边形ABCDE，1/（phi）^2<=（a*C^2+C*E^2+E*B^2+B*D^2+D*a^2）/（a*B^2+B*C^2+C*D^2+D*E^2+E*a^2）<=（phi）^2-基里卡米（Seiichi Kirikami）2011年8月18日
如果三角形的边的长度以1:r:r^2的比率形成几何级数，则三角形不等式条件要求r在1/phi<r<phi的范围内-弗兰克·M·杰克逊2011年10月12日
x-y=1和x*y=1的图在（tau，1/tau）处相遇-克拉克·金伯利2011年10月19日
此外，x^sqrt（x+1）的第一个根的十进制展开式=sqrt-米歇尔·拉格诺2011年12月2日
（1/x）^（1/sqrt（x+1））=-米歇尔·拉格诺2012年4月17日
这是（伽马（1/n）/伽马（3/n））*（伽马，（n-1）/n）/伽玛（（n-3）/n-布鲁诺·贝塞利2012年12月14日
也是唯一数字x>1的十进制展开式，即（x^x）^（x^x）=（x^（x^x））^x=x^-雅罗斯拉夫·克里泽克2014年2月1日
当n>=1时，取整（phi^prime（n））==1（mod prime（n）），当n>=3时，取取整（φ^prime，n）==1（mod 2*prime（n*））-弗拉基米尔·舍维列夫2014年3月21日
连续根sqrt（1+sqrt，1+squart（1+…））趋向于φ-乔瓦尼·泽达，2019年6月22日
等于sqrt（2+sqrt，2+squart（2-…）））-迭戈·拉塔吉2021年4月17日
给定任意复p，使得实（p）>-1，φ是方程z^p+z^（p+1）=z^-斯坦尼斯拉夫·西科拉2021年10月14日
唯一能使其小数部分、整数部分和数字本身（x-[x]、[x]和x）形成几何级数的正数是phi，分别为（phi-1、1、phi）和比率=phi。这是1975年加拿大第七届数学奥林匹克运动会第四题的答案（见IMO链接和Doob参考）-伯纳德·肖特2021年12月8日
黄金比率是唯一的数字x，即f（n*x）*c（n/x）-f（n/x）*c-克拉克·金伯利2022年1月4日
马丁·加德纳（Martin Gardner）在《第二本科学美国人的数学困惑与转移》（The Second Scientific American Book Of Mathematical Puzzles and Diversions）中写道，到1910年，马克·巴尔（1871-1950）将φ作为黄金比例的象征-伯纳德·肖特2022年5月1日
Phi是等腰三角形等边的长度，边c=Phi^2，内角（A，B）=36度，c=108度-加里·亚当森2022年6月20日
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参考文献
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迈克尔·杜布（Michael Doob），1969-1993年加拿大数学奥林匹克和加拿大数学奥林匹克协会，1975年第4期，第76-77页，1993年。
理查德·邓拉普（Richard A.Dunlap），《黄金比率和斐波那契数》（The Golden Ratio and Fibonacci Numbers），《世界科学》（World Scientific），新泽西州河边，1997年。
史蒂文·芬奇，《数学常数》，《数学及其应用百科全书》，第94卷，剑桥大学出版社，2003年，第1.2节。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《第二本科学美国人的数学困惑与转移》（The Second Scientific American Book Of Mathematical Puzzles and Diversions），《Phi:黄金比例》（Phi:The Golden Ratio），第8章，西蒙&舒斯特出版社，纽约，1961年。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《怪水与模糊逻辑：边缘观察者的更多笔记》，《黄金比例的崇拜》，普罗米修斯出版社，1996年，第9章，第90-97页。
H.E.Huntley，《神圣的比例》，纽约州多佛，1970年。
马里奥·利维奥（Mario Livio），《黄金比例》（The Golden Ratio），百老汇图书公司，纽约，2002年。[参见G.Markowsky在链接字段中的评论]
加里·梅斯纳（Gary B.Meisner），《黄金比例：数学的神圣之美》（The Golden Ratio:The Divine Beauty of Mathematics），赛点出版社（The Quarto Group），2018年。德语翻译：Der Goldene Schnitt，Librero，2023年。
斯科特·奥尔森（Scott Olsen），《黄金地段》，沃克公司，纽约，2006年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
汉斯·瓦尔泽，黄金分割，数学。美国协会。华盛顿特区，2001年。
克劳德·雅克·威拉德（Claude-Jacques Willard），《巴黎马格纳德》（Le nombre d'or），1987年。
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链接
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穆罕默德·阿扎里安，问题123《密苏里数学科学杂志》，第10卷，第3期（1998年秋季），第176页；解决方案同上，第12卷，第1期（2000年冬季），第61-62页。
国际海事组织简编，问题41975年第7届加拿大数学奥林匹克运动会。
Simon Litsyn和Vladimir Shevelev，满足小费马定理的非理性因素《国际数论杂志》，第1卷，第4期（2005年），第499-512页。
乔治·马科斯基，关于黄金比例的误解《大学数学杂志》，23:1（1992年1月），2-19。
乔治·马科斯基，书评：黄金比例，AMS通知，52:3（2005年3月），344-347。
J.J.O’Connor和E.F.Robertson，黄金比例.
雨果·普福尔特纳，100万位φ，使用A.J.Yee的y-cruncher进行计算。
赫尔曼·P·罗宾逊，CSR功能《大众计算》（加州卡拉巴萨），第4卷，第35期（1976年2月），第PC35-3至PC35-4页。带注释和扫描的副本。
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配方奶粉
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等于和{n>=2}1/A064170号（n） =1/1+1/2+1/（2*5）+1/（5*13）+1/（13*34）+-加里·亚当森，2007年12月15日
等于超几何2F1（[1/5，4/5]，[1/2]，3/4）=2*cos（（3/5）*arcsin（sqrt（3/4）））-阿图尔·贾辛斯基2008年10月26日
如果n是奇数，则φ^n的小数部分等于φ^（-n）。对于偶数n，phi^n的小数部分等于1-phi^（-n）。
通式：假设x>1满足x-x^（-1）=楼层（x），其中x=该序列的φ，则：
对于奇数n:x^n-x^（-n）=楼层（x^n），因此fract（x^n）=x^，
对于偶数n:x^n+x^（-n）=上限（x^n），因此fract（x^n）=1-x^，
对于所有n>0:x^n+（-x）^（-n）=圆形（x^n）。
x=phi是x-x^（-1）=floor（x）的最小解（在这种情况下，floor（x）=1）。
常数x满足关系x-x^（-1）=楼层（x）的其他示例包括A014176号（银比率：其中底线（x）=2）和A098316型（“青铜”比率：其中地板（x）=3）。（结束）
等于2*cos（Pi/5）=e^（i*Pi/5-埃里克·德斯比亚2010年3月19日
求和{n>=1}x^n/n^2=Pi^2/10-（log（2）*sin（Pi/10））^2，其中x=2*sin。[乔利，等式360d]
phi=1+Sum_{k>=1}（-1）^（k-1）/（F（k）*F（k+1）），其中F（n）是第n个斐波那契数(A000045号). 证明。根据加泰罗尼亚语的恒等式，F^2（n）-F（n-1）*F（n+1）=（-1）^（n-1）。因此，（-1）^（n-1）/（F（n）*F（n+1））=F（n。因此，和{k=1..n}（-1）^（k-1）/（F（k）*F（k+1））=F（n）/F（n+1）。如果n趋于无穷大，则趋向于1/φ=φ-1-弗拉基米尔·舍维列夫2013年2月22日
φ=平方（2/（3-平方（5）））=平方（2）/A094883号这是因为（（1+sqrt（5））^2）*（3-sqrt-杰弗里·卡维尼2014年4月19日
exp（arcsinh（cos（Pi/2-log（phi）*i））=exp-杰弗里·卡文尼2014年4月23日
exp（电弧（cos（Pi/3））=φ-杰弗里·卡文尼2014年4月23日
cos（Pi/3）+sqrt（1+cos（Pi/3）^2）-杰弗里·卡文尼2014年4月23日
2*phi=z^0+z^1-z^2-z^3+z^4，其中z=exp（2*Pi*i/5）。请参阅Wikipedia Kronecker-Weber定理链接-乔纳森·桑多2014年4月24日
φ=1/2+平方（1+（1/2）^2）-杰弗里·卡文尼2014年4月25日
Phi是x->sqrt（1+x）在初始值a>=-1上迭代的极限值-查伊姆·洛文2015年8月30日
1=所有非负整数n的和{k=0..n}二项式（n，k）/phi^（n+k）。
1=Sum_｛n>=1｝1/phi^（2n-1）。
1=总和{n>=2}1/phi^n。
φ=Sum_{n>=1}1/φ^n（结束）
φ=和{n>=0}（15*（2*n）！+8*n^2） /（2*n！^2*3^（2*n+2））。
φ=1/2+和{n>=0}5*（2*n）/（2*n！^2*3^（2*n+1））。（结束）
phi=产品{k>=1}（1+2/（-1+2^k*（sqrt（4+（1-2/2^k）^2）+sqrt-格列布·科洛斯科夫2021年7月14日
等于乘积{k>=1}（斐波那契（3*k）^2+（-1）^（k+1））/（斐波纳契（3*k）^2+（-1））（Melham和Shannon，1995）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年1月15日
等于2*e^（i*Pi/5）的实部。
等于-2*sin（37*Pi/10）。
等于1+1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+1/…）））。
等于（2+3*（2+3*（2+3*…）^（1/4））^。
等于（1+2*（1+2*（1+2*…）^（1/3））^（1/3））^（1/3）。
等于（1+φ+（1+phi+（1+phi+…）^（1/3））^。
等于13/8+Sum_{k=0..oo}（-1）^（k+1）*（2*k+1）/（（k+2）*k*4^（2*k+3））。
（结束）
前面的公式适用于整数n，其中F（-n）=（-1）^（n+1）*F（n），对于n>=0，其中F=A000045号（n） ，对于n>=0。φ^n是二次数域Q中的整数（sqrt（5））-沃尔夫迪特·朗2023年9月16日
等于乘积{k>=0}（（5*k+2）*（5*k+3））/（（5*k+1）*（5*k+4））-安东尼奥·格拉西亚·洛伦特2024年2月24日
等于乘积{k>=0}（（5^（k+1）+1）*（5^-（k-1/2）+1））/（5^k+1）*。
等于乘积{k>=1}1-（4*（-1）^k）/（10*k-5+（-1）mk）=Product_{k>=1}A047221号（k）/A047209号（k） ●●●●。
等于乘积{k>=0}（（5*k+7）*（5*k+1+（-1）^k））/（（5*k+1）*（5*k+7+（-1。
等于乘积{k>=0}（（10*k+3）*（10*k+5）*。
等于乘积{k>=5}1+1/（斐波那契（k）-（-1）^k）。
等于乘积{k>=2}1+1/Fibonacci（2*k）。
等于乘积{k>=2}（卢卡斯（k）^2+（-1）^k）/（卢卡斯（k）*2-4*（-1）*k）。（结束）
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示例
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1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621...
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MAPLE公司
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数字：=1000；evalf（（1+sqrt（5））/2）#韦斯利·伊万·赫特2013年11月1日
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数学
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实数字[（1+Sqrt[5]）/2，10，130](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月2日*）
实际数字[Exp[ArcSinh[1/2]]，10，111][[1](*罗伯特·威尔逊v2008年3月1日*）
真数字[GoldenRatio，10，120][[1](*哈维·P·戴尔，2015年10月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=（1+平方（5））/2；对于（n=120000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b001622.txt”，n，“”，d））\\哈里·史密斯2009年4月19日
（PARI）
/*数字-数字法：写为0.5+sqrt（1.25），从百分位开始*/
r=11；x=400；打印（1）；打印（6）；
对于（dig=1110，{d=0；while（20*r+d）*d<=x，d++）；
d--；/*当循环超出正确的数字时*/
打印（d）；x=100*（x-（20*r+d）*d）；r=10*r+d}）
（PARI）
a（n）=楼层（10^（n-1）*（quadgen（5））%10）；
alist（len）=数字（楼层（quadgen（5）*10^（len-1）））\\奇塔兰詹·帕德西2022年6月22日
（Python）
从sympy导入S
def-alst（n）：#截断多余的最后一位以避免舍入
返回列表（map（int，str（S.GoldenRation.n（n+1））.replace（“.”，“”））[：-1]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000012号（连续分数系数），A000032号,A000045号,A006497号,A080039号,2014年4月57日,A188635号,A192222号,A192223号,A145996型,A139339号,A197762号,A002163号,A094874号,A134973号.
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关键词
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作者
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扩展
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更多来自Gabriel Cunningham（gcasey（AT）mit.edu）的术语，2004年10月24日
Gutenberg项目的断开URL替换为乔治·菲舍尔2009年1月3日
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已批准
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0、1、9、64、441、3025、20736、142129、974169、6677056、45765225、313679521、2149991424、14736260449、101003831721、692290561600、4745030099481、32522920134769、222915410843904、1527884955772561、10472279279564025
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上。27。
H.J.H.Tuenter，源自加泰罗尼亚恒等式的斐波那契求和恒等式，Fib。问，60:4（2022），312-319。
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链接
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马可·阿布拉特（Marco Abrate）、斯特凡诺·巴贝罗（Stefano Barbero）、翁贝托·塞鲁蒂（Umberto Cerruti）和纳迪尔·穆鲁（Nadir Murru），二次曲线上的多项式序列《整数》，第15卷，2015年，#A38。
穆罕默德·阿扎里安，斐波那契恒等式为二项式和《国际当代数学科学杂志》，第7卷，第38期，2012年，第1871-1876页。
Pridon Davlianidze，问题B-1264，《基本问题与解决方案》，《斐波那契季刊》，第58卷，第1期（2020），第82页；一切都是关于加泰罗尼亚人的，问题B-1264的解决方案，同上，第59卷，第1期（2021），第87-88页。
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配方奶粉
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通用格式：（x+x^2）/（（1-x）*（1-7*x+x*2））。
当n>2时，a（0）=0，a（1）=1，a（2）=9。
a（n）=1/5*（-2+（（7+平方码（45））/2）^n+（（7-平方码（40））/2）^n）-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月14日
a（n）=F（2*n-1）*F（2*n+1）-1-布鲁诺·贝塞利2015年2月12日
当n>0时，a（n）=Sum_{i=1..n}F（4*i-2）-布鲁诺·贝塞利2015年8月25日
发件人彼得·巴拉，2019年11月20日：（开始）
和{n>=1}1/（a（n）+1）=（sqrt（5）-1）/2。
和{n>=1}1/（a（n）+4）=（3*sqrt（5）-2）/16。一般来说，似乎
求和{n>=1}1/（a（n）+F（2*k+1）^2）=（（2*k+1）*F（2*k+1）*sqrt（5）-Lucas（2*k+1））/（2*F（2*k+1，。。。。
和{n>=2}1/（a（n）-1）=（8-3*sqrt（5））/9。（结束）
例如：（1/5）*（-2*exp（x）+exp（（16*x）/（1+sqrt（5））^4）+exp（（1/2）*（7+3*sqrt-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年11月23日
Product_{n>=2}（1-1/a（n））=φ^2/3，其中φ是黄金比率(A001622号)（Davlianidze，2020）-阿米拉姆·埃尔达尔2021年12月1日
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数学
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斐波那契[范围[0，40，2]]^2(*哈维·P·戴尔2012年3月22日*）
表[Fibonacci[n-1]斐波纳契[n+1]-1，{n，0，40，2}](*布鲁诺·贝塞利2015年2月12日*）
线性递归〔｛8，-8，1｝，｛0，1，9｝，21〕(*雷·钱德勒2015年9月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=斐波那契（2*n）^2
（MuPAD）numlib:：fibonacci（2*n）^2$n=0..35//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（鼠尾草）[fibonacci（2*n）^2代表范围（0，21）内的n]#零入侵拉霍斯2009年5月15日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A350922型
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| 当n>=2时，a（0）=2，a（1）=5，a（n）=7*a（n-1）-a（n-2）-4。 |
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2, 5, 29, 194, 1325, 9077, 62210, 426389, 2922509, 20031170, 137295677, 941038565, 6449974274, 44208781349, 303011495165, 2076871684802, 14235090298445, 97568760404309, 668746232531714, 4583654867317685, 31416837838692077, 215334210003526850, 1475922632185995869
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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每个项都是一个马尔可夫数（参见A002559号)并且，对于n>1，对应于马尔可夫树的节点A368546型它们的兄弟姐妹和祖先都是奇异的斐波那契数。对于n>1，a（n）是通过向左n-2次然后向右从根获得的节点的标签。它的法利指数，在对A368546型，为2/（2*n-1）。
例如，a（3）=194来自于从马尔可夫树的根节点向左移动一次，然后向右移动，这对应于马尔可夫数5、13、194的序列。相应的法利指数序列为1/2、1/3、2/5。最后一个节点的同级对应于马尔可夫数34和法利指数1/4。（结束）
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链接
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配方奶粉
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G.f.：（2-x）*（1-5*x）/（（1-x）*（1-7*x+x^2））-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年1月22日
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数学
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系数列表[级数[（2-x）*（1-5*x）/（1-x）*，（1-7*x+x^2）），{x，0，22}]，x](*詹姆斯·C·麦克马洪2023年12月22日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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A337928
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| 数字w使得（F（2n+1）^2，-F（2n）^2、-w）是丢番图方程2*x^3+2*y^3+z^3=1的本原解，其中F（n）是第n个斐波那契数(A000045号). |
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1、5、31、209、1429、9791、67105、459941、3152479、21607409、148099381、1015088255、6957518401、47687540549、326855265439、2240299317521、15355239957205、105246380382911、721369422723169、4944339578679269、33889007628031711、232278713817542705
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（2*F（2*n+1）^6-2*F（2*n）^6-1）^（1/3）。
通用格式：（1-3*x-x^2）/（1-x）*（1-7*x+x^2。
当n>2时，a（n）=8*a（n-1）-8*a（n-2）+a（n-3）。
（结束）
a（n）=F（2*n+1）*F（2*n+2）-F（2*n）^2-沃尔夫冈·伯恩特2023年5月26日
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示例
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2*（F（5）^2）^3+2*（-F（4）^2。
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数学
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表[（2*Fibonacci[2n+1]^6-2*Fiponacci[2]^6-1）^（1/3），{n，0，21}]
表[（斐波那契[2n+1]*Fibonacci[2n+2]-Fibonacci[2n]^2），{n，0，21}](*沃尔夫冈·伯恩特2023年5月26日*）
线性递归[{8，-8，1}，{1，5，31}，30](*哈维·P·戴尔，2023年12月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（（1-3*x-x^2）/（1-x）*（1-7*x+x^2，）+O（x^20））\\科林·巴克2020年10月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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已批准
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A337929飞机
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| 数字w使得（F（2*n-1）^2，-F（2*n）^2、w）是丢番图方程2*x^3+2*y^3+z^3=1的原解，其中F（n）是第n个斐波那契数(A000045号). |
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1, 11, 79, 545, 3739, 25631, 175681, 1204139, 8253295, 56568929, 387729211, 2657535551, 18215019649, 124847601995, 855718194319, 5865179758241, 40200540113371, 275538601035359, 1888569667134145, 12944449068903659, 88722573815191471, 608113567637436641
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（2*F（2*n）^6-2*F（2*n-1）^6+1）^（1/3）。
G.f.：x*（1+3*x-x^2）/（（1-x）*（1-7*x+x^2））。
当n>3时，a（n）=8*a（n-1）-8*a（n-2）+a（n-3）。
（结束）
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示例
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2*（F（3）^2）^3+2*（-F（4）^2。
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数学
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表[（2*Fibonacci[2n]^6-2*Fiponacci[20n-1]^6+1）^（1/3），{n，22}]
线性递归[{8，-8，1}，{1，11，79}，30](*哈维·P·戴尔2021年8月23日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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2, 3, 5, 8, 10, 13, 21, 24, 26, 34, 55, 63, 65, 68, 89, 144, 165, 168, 170, 178, 233, 377, 432, 440, 442, 445, 466, 610, 987, 1131, 1152, 1155, 1157, 1165, 1220, 1597, 2584, 2961, 3016, 3024, 3026, 3029, 3050, 3194, 4181, 6765, 7752, 7896, 7917, 7920, 7922
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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在每一行中，相邻项之间的差异是一个斐波那契数。对于n>1，第n行由n个数字组成，第一个F（2n）和最后一个F（2 n+1）。
交替行和：2,2,11,11,78,78，。。。；序列b=（2,11,78，…）为A094569美元.
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链接
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示例
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前四行：
2
3 5
8 10 13
21 24 26 34
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黄体脂酮素
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（PARI）pef（k，n）=斐波那契（2*k）*fibonacci（2*n-2*k）；
pof（k，n）=斐波那契（2*n-2*k+1）*fibonacci（2*k-1）；
isfib（n）=我的（k=n^2）；k+=（k+1）<<2；发行方（k）||（n>0&&发行方（k-8））；\\从A010056号
isfib2（x）=发行方（x）和isfib（平方（x））；
tabl（nn）={对于（n=2，nn，如果（n%2==0，对于（k=1，n/2，如果（！isfib2（x=pef（k，n）），打印1（x，“，”；）；对于步骤（k=n\2+1，1，-1，如果（！isfib2（x=pof（k，n）），打印1（x，“，”）；）；），打印（）；}\\米歇尔·马库斯2016年5月4日
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交叉参考
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关键词
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作者
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已批准
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162342英镑
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| 刘易斯·卡罗尔的反常F（2n+1）X F（2n+3）矩形的面积。 |
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+10
2
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10, 65, 442, 3026, 20737, 142130, 974170, 6677057, 45765226, 313679522, 2149991425, 14736260450, 101003831722, 692290561601, 4745030099482, 32522920134770, 222915410843905, 1527884955772562, 10472279279564026, 71778070001175617, 491974210728665290, 3372041405099481410
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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Warren Weaver（1938）：“在一个常见的几何悖论中，面积为8 X 8=64平方单位的正方形被切割成四部分，可以将其重新装配成一个表观面积为5 X 13=65平方单位的矩形……Lewis Carroll概括了这个悖论……”
卡罗尔将一个F（2n+2）X F（2n+2）正方形切成四部分，其中F（n）是第n个斐波那契数。两部分是带有支腿F（2n）和F（2n+2）的直角三角形；两个是右梯形，其中三个边是F（2n）、F（2n+1）和F（2nC+1）。（因此n>0.）悖论（或解剖谬误）取决于卡西尼恒等式F（2n+1）*F（2n+3）=F（2n-+2）^2+1。
关于利用卡西尼恒等式F（2n）*F（2n+2）=F（2n-1）^2-1将悖论推广到F（2nC+1）X F（2n+1）正方形的问题，请参见Dudeney（1970）、Gardner（1956）、Horadam（1962）、Knott（2014）、Kumar（1964）和Sillke（2004）。Sillke还有许多其他参考和链接。
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参考文献
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W.W.Rouse Ball和H.S.M.Coxeter，《数学娱乐与论文》，第13版，多佛，1987年，第85页。
亨利·杜德尼（Henry E.Dudeney），《536个谜题和好奇的问题》（Puzzles and Curious Problems），斯克里布纳（Scribner），1970年重印，《352-353个问题及其答案》。
马丁·加德纳，《数学、魔法和神秘》，多佛，1956年，第8章。
Edward Wakeling，《重新发现刘易斯·卡罗尔难题》，多佛，1995年，第12页。
大卫·威尔斯，《企鹅奇趣之谜》，企鹅出版社，1997年，第143期。
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链接
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奥斯卡·舍尔米尔赫（Oskar Schlömilch），Ein几何悖论《Zeitschrift für Mathematik und Physik》，第13卷（1868年），第162页。
David Singmaster，消失区域谜题，娱乐数学。Mag.，第1卷（2014年），第10-21页。
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配方奶粉
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a（n）=斐波那契（2n+1）*斐波那奇（2n+3）=斐波那契（2 n+2）^2+1，对于n>0。
a（n）=8*a（n-1）-8*a（n-2）+a（n-3）。
通用名称：-x*（2*x^2-15*x+10）/（（x-1）*（x^2-7*x+1））。
（结束）
a（3*k-2）mod 2=0；a（3*k-1）mod 2=1；a（3*k）mod 2=0，k>0-阿尔图·阿尔坎2015年10月17日
例如：（1/5）*（（1/phi*r）*exp（b*x）+（phi^4/r）*exp（a*x）+3*exp-G.C.格鲁贝尔2015年10月17日
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示例
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F（3）*F（5）=2*5=10=3^2+1=F（4）^2+1，所以a（1）=10。
G.f.=10*x+65*x^2+442*x^3+3026*x^4+20737*x^5+142130*x^6+974170*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数学
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表[Fibonacci[2n+1]斐波纳契[2n+3]，{n，22}]
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黄体脂酮素
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（岩浆）[斐波那契（2*n+1）*Fibonacci（2*n+3）：n in[1..30]]//韦斯利·伊万·赫特2015年10月16日
（PARI）Vec（-x*（2*x^2-15*x+10）/（（x-1）*（x^2-7*x+1））+O（x^30））\\科林·巴克2015年10月17日
（PARI）a（n）=斐波那契（2*n+1）*fibonacci（2*n+3）\\阿尔图·阿尔坎2015年10月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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A360467型
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| a（n）=斐波那契（4*n+2）+3*Fibonacci（2*n+1）^2。 |
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+10
2
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4, 20, 130, 884, 6052, 41474, 284260, 1948340, 13354114, 91530452, 627359044, 4299982850, 29472520900, 202007663444, 1384581123202, 9490060198964, 65045840269540, 445830821687810, 3055769911545124, 20944558559128052, 143556140002351234, 983948421457330580
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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x^2=5*y^2-4*y的正整数解中x+3*y的值。在解中，x和y的值分别由斐波那契（4*n+2）和斐波那奇（2*n+1）^2给出。
上述丢番图方程源自以下关于将正方形细分为四个整数面积三角形的问题。对于n>=1，序列给出了解决方案中方块的面积（参见链接中的插图）。从正方形的一角画出两条线，指向相对两侧的点。在两点之间添加第三条线，以便将正方形划分为四个三角形。每个三角形的面积必须是整数，而直角三角形的面积则必须是差为1的算术级数。按面积计算的最小直角三角形是由第三条直线形成的三角形。在这些解中，内三角形的面积由斐波那契（4*n+2）给出，三个直角三角形的总面积为3*Fibonacci（2*n+1）^2。然后，正方形的面积等于a（n）。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=斐波那契（2*n+1）*。
总尺寸：2*（2-6*x+x^2）/（1-x）*（1-7*x+x^2））-安德鲁·霍罗伊德2023年2月16日
当n>=3时，a（n）=a（n-3）-8*（a（n-2）-a（n-1））-彼得·卢什尼，2023年2月17日
a（n）=a（-2-n）=2*F{2*n+1）*F（2*n+3）=295683英镑（4*（n+1））表示Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2023年3月2日
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示例
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a（2）=F（4*2+2）+3*F（2*2+1）^2=F（10）+3*F（5）^2=55+3*5^2=130。
a（4）=F（4*4+2）+3*F（2*4+1）^2=F（18）+3*F（9）^2=2584+3*34^2=6052。
G.f.=4+20*x+130*x^2+884*x^3+6052*x^4+-迈克尔·索莫斯2023年3月2日
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MAPLE公司
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a:=proc（n）选项记忆；如果n<3，则返回[4，20，130][n+1]fi；
a（n-3）-8*（a（n-2）-a（n-1））端：seq（a（n），n=0..22）#彼得·卢什尼2023年2月17日
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数学
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线性递归[{8，-8，1}，{4，20，130}，22](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年2月17日*）
a[n_]：=2*Fibonacci[2*n+1]*Fibonatic[2*n+3]；(*迈克尔·索莫斯2023年3月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（2*（2-6*x+x^2）/（1-x）*（1-7*x+x^2））+O（x^25））\\安德鲁·霍罗伊德2023年2月16日
（SageMath）
打印（[2*（lucas_number2（n+1，7，1）+3）//5表示范围（23）内的n）#彼得·卢什尼，2023年2月17日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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A081076号
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| a（n）=卢卡斯（4n）+3，或5*斐波那契（2n-1）*斐波纳契（2n+1）。 |
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+10
1
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5, 10, 50, 325, 2210, 15130, 103685, 710650, 4870850, 33385285, 228826130, 1568397610, 10749957125, 73681302250, 505019158610, 3461452808005, 23725150497410, 162614600673850, 1114577054219525, 7639424778862810
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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参考文献
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休·C·威廉姆斯（Hugh C.Williams），爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas）和Primality Testing，约翰·威利父子公司（John Wiley and Sons），1998年，第75页。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=8*a（n-1）-8*a（n-2）+a（n-3）。
总尺寸：5*（1-6*x+2*x^2）/（1-x）*（1-7*x+x^2-科林·巴克，2012年6月22日
a（n）=卢卡斯（n）^4-4*（-1）^n*卢卡斯。
例如：3*exp（x）+2*exp。（结束）
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MAPLE公司
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luc:=proc（n）选项记住：如果n=0，则返回（2）fi:如果n=1，则返回#詹姆斯·塞勒斯2003年3月5日
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数学
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表[LucasL[4 n]+3，{n，0，30}](*韦斯利·伊万·赫特2014年11月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（-5*（2*x^2-6*x+1）/（（x-1）*（x^2-7*x+1”）+O（x^30））\\米歇尔·马库斯2014年12月23日
（岩浆）[卢卡斯（4*n）+3:n in[0.30]]//G.C.格鲁贝尔2020年5月26日
（鼠尾草）[lucas_number2（4*n，1，-1）+3 for n in（0..30）]#G.C.格鲁贝尔2020年5月26日
（GAP）列表（[0..30]，n->Lucas（1，-1，4*n）[2]+3）#G.C.格鲁贝尔2020年5月26日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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