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G公司 ......................... . . . . . . 。 。 1。 1 . . . . . . . 1 . G-1。 .........................
“1对G就像G-1对1一样”
1/G=G-1
G公司 2 =G+1
G=（1+平方码（5））/2=1.6180339887498948204586834365。。。
1/G=0.6180339887498948204586834365。。。
G公司 2 = 2.618033988749894848204586834365...
5+平方米（5） G=平方英尺[------------] 5平方英尺（5）
G=exp（弧（1/2））
G=平方（1+sqrt（1+m2）。。。
1 G=1+--------- 1 + 1 -------- 1 + 1 ------- 1 + 1 ----- 1 + 1 ---- 1 + 1 ---- . . .
A： B:：（A+B）:A（即“A对B就像A+B对A一样”）
1 G=1+--------- 1 + 1 -------- 1 + 1 ------- 1 + 1 ----- 1 + 1 ---- 1 + 1 ---- . . .
lim-inf|x-p/q|=c（x）/q 2 q个 → ∞
如果，当连续减去两个不相等量中较小的量 反过来，从剩下的更大的东西中，永远不会测量那个 在此之前，这两个震级是不可通约的。
1 -------------- 1+exp（-2π） ------------- 1+exp（-4π）=exp（2π/5）[sqrt（G sqrt）（5））-G] ------------ 1+exp（-6π） ----------- 1+exp（-8π） --------- . . .
1+exp（-2πsqrt（5）） ------------------- 1+exp（-4πsqrt（5））sqrt -----------------=exp（2π/5）[----------------------------G] 1+exp（-6πsqrt（5））1+[5 3/4 （G-1） 5/2 - 1] 1/5 ------------------ 1+exp（-8πsqrt（5）） ------------------ . . .
只要看一眼就足以表明 只能由最高的数学家写下来 类。 它们一定是真的，因为如果它们不是真的， 没有人会有想象力发明它们。
/\ /\ 1 0 *
/\ /\ * 0 1
f： G公司 2 → G+{@}
f（0，0）=0 f（0，1）=1 f（1,0）=* f（1,1）=@
f（X，Y）=/\ X年
S=P（S）
G公司 2 =G+1（1）
G=高度+2
H（H） 2 +4H+4=H+3（2）
H（H） 2 +4H+1=H（3）
H=1+H 2 +2H+H2
高（X）=（H（X）+X） 2 +2小时（X）
G（X）=H（X）+X+1
G（X） 2 =G（X）+X
X=1+2X（4）
(0,1) = (0,1/2) + {1/2} + (1/2,1)
G=X+X 2 +2倍 三 +5倍 4 +14倍 5 +42倍 6 + ...
G=G 2 +X（5）
Z=Z’+X
Z+X+1=Z'+2X+1 =Z’+X =Z
G公司 2 =（X+G） 2 ) 2 =（2X+1+G 2 ) 2
G公司 2 =G 2 +X+1（X+1）
G公司 2 =G+1。
发件人：Stephen Schamanuel 主题：类别：神秘化和分类 日期：2004年3月4日星期四00:44:46-0500 我无法理解John Baez的黄金物体问题，也无法理解他的 解决方案的描述。 他拒绝告诉我们“好”是什么意思， 但让我至少提出一个建议，要做到“可容忍”，解决方案必须是 对象，而John没有告诉我们涉及什么类别 在任一解决方案中； 至少我找不到 对象，也不是地图，所以我觉得这些描述“无法忍受” 上述定义的技术意义。 他很慷慨，允许别人 使用带有加号和时间的范畴作为额外的单体结构。 （有人知道一个加号不是加号的兴趣示例吗 副产品？） 这种自由是不必要的； 一点代数加上罗比 盖茨定理提供了一个G到G^2=G+1的解，该解不满足 扩展类别中的附加方程（以副积为加号， 笛卡尔乘积表示时间）。 简单地说，它在这里。统一z的原始第五根是 多项式1+X+X^2+X^3+X^4，因此满足1+z+z^2+z^3+z^4+z=z， 其形式为“不动点”p（z）=z，p在N[X]中，p（0）不 盖茨定理说，自由分配范畴 包含对象Z和从p（Z）到Z的同构是广泛的， 它的Burnside装配B（对象同构类）是 希望，N[X]/（p（X）=X）； 也就是说，Z不满足任何意外 方程。 由于p的阶数大于1 定理告诉我们（从欧拉和维数的联合内射性 同态）当且仅当两个多项式在对象Z处一致 要么它们是相同的多项式，要么两者都是非恒定的，并且它们 同意数字z。现在的“代数”是：黄金数字是1+z+z^4。 因此，G=1+Z+Z^4满足G^2=G+1的要求。 它不满足 意外的方程式，因为关系式X^2=X+1减少了 N[X]中的多项式转化为线性多项式，并且这些简化形式具有 不同的欧拉特征，即在z处不同。因此同态 从N[X]/（X^2=X+1）到B（将X发送到G）是内射的，仅此而已 我想要。 因为在集合的范畴中，任何讨厌的旧无限集都满足 黄金等式和其他许多等式，我冒昧地 将“nice”解释为至少“没有意外的满足” 方程式’。 人们可以要求更多； 上述结构产生了 伯恩赛德钻井平台是一个分布但不广泛的类别 N[X]/（X^2=X+1），G中具有对象多项式的完整子范畴。 （如果范围很广，它将被关闭，但 大类中的每个物体都是G的总和。）我不知道 是否存在以N[X]/（X^2=X+1）作为其完整内容的扩展类别 燃烧侧钻机； 也许约翰提到的一个或两个例子都会 如果我知道他们是什么的话。 当我说出我的困惑时，谁能告诉我 “分类”是指？ 我不知道有这样的过程； 最简单的 例如，在我看来，“分类”自然数以获得有限集 而是“记住产生自然的有限集合和映射” 通过传递到同构类的抽象来表示数字。 最后，给约翰一个提示：当你试图给你的观众 对n类的优点有一些感觉，你能不能给他们一个 通过对对象和 地图？ 向所有人致意，感谢你们在我拿到这些东西时的耐心 从我的胸口， 史蒂夫·沙努埃尔 发件人：David Yetter 主题：类别：回复：神秘化和分类 日期：2004年3月5日星期五10:55:26-0600 分类有点像量化：它不是一个结构 作为一件事和另一件事之间关系的迫切需要（在 一个（n+1）范畴结构和一个n范畴结构的分类例 结构； 在量子化的情况下，量子力学系统和 经典的机械系统）。 分类法想要找到一个高维的范畴结构 通过将方程弱化为 自然同构和施加新的、合理的连贯条件。 一般来说，为了最初的目的——建造 TQFT和量子引力模型——人们想要最高的分类 水平具有线性结构（因此Baez想要张量积 以及它分布的总和，而不是笛卡尔积和副积）。 具有结构的特定低维类别由 找到一个具有新结构“覆盖”的高维范畴 加性单体范畴所处的低维 在格罗森迪克钻井平台上。 例如，具有同构幺半群的任何（k-线性）幺半群范畴 M类是M的一个分类，更一般来说是（k-线性）单体 范畴是幺半群的分类。 一个简单的例子说明了为什么它不是一个结构：交换幺半群 （作为一个对象的相当特殊的类别）承认两个不同的 分类：对称单体范畴和编织单体 类别（每个类别都被视为一种具有一个对象的双类别）。 关于辫状单体范畴，有一个很好的论据 作为“正确的”分类：埃克曼-希尔顿定理（'a群 在群中是一个阿贝尔群，或者如证明所示，是一个幺半群 在monoid中是一个交换幺半群“）”“分类”为：一个幺半群范畴 在MONCAT中是一个编织单体类。 发件人：沃恩·普拉特 主题：类别：回复：神秘化和分类 日期：2004年3月5日星期五22:49:56-0800 >当我说出我的困惑时，谁能告诉我 >“分类”是指？ 我不知道有这样的过程； 最简单的 >例如，在我看来，“分类”自然数以获得有限集 >而是“记住产生自然的有限集合和映射” >通过传递到同构类的抽象来表示数字。 一个公平的问题。 1999年，我参加了约翰·科英布拉关于这件事的讲座 但后来泄漏了很多。 如果非要我猜的话，我会说他是 将一个生成元上的自由单胚分类，使其成为单胚类， 但是幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺 最终目标？ 有人怀疑那里有一些自由交往——约翰，怎么了 做 你联系上了吗？ 就一般的分类而言，布景似乎起着核心作用 在范畴理论的至少一个发展中的作用。 的同音宾语 “普通”类别是指homsets。 （从这个意义上说，我想“普通”必须 包含“局部较小”。）如果您让 它们是经过精心设计的野人。 往另一个方向走，如果你认为家是空虚的，不是 它们是空的，但它们都是一样的， 然后你会得到布景。 朝着这个方向再迈出一步，一切都会看起来 同样，这可能与Maharishi Yogi的雇佣有关 爱荷华州费尔菲尔德大学数学系的范畴理论家。 （当我上次与MY的“世界卫生部长”谈话时，一位喜欢 罗斯街是我的一个同学，但八年前从1957年开始， 整个谈话似乎在很大程度上是雷区的边缘 一切都是一样的，这可能是我潜意识里的 对彼得·弗雷德（Peter Freyd）不久前发表的关于独特存在的帖子的模糊回复 回到笛卡尔，在那里，我试图通过声称自己输给了他 许多的 再往后一点。） 分类并不是获得2个类别的唯一方法 而是将交换定律理解为二维 结合性原则。 然而，约翰已经取得了很多成绩 分类方法，在一个 里程和分钟是平衡生活不可或缺的组成部分，就像一个人的支票簿一样。 （问：一个月多少分钟？答：取决于你的计划。） >因为在集合的范畴中，任何讨厌的旧无限集都满足 >黄金等式和其他许多等式，我冒昧地 >将“nice”解释为至少“没有意外的满足” >方程式’。 非常正确。 我想补充一点，“并满足预期的方程式。” 史蒂夫所说的“肮脏的场景”并没有达到预期的效果 方程为2^2^X~X（集合的幂集是布尔代数， 看在上帝的份上。 为什么在使用 第二次求幂？ 集合论者似乎认为他们可以简单地 忘掉结构而不付出代价，但在现实世界中，它需要付出代价 每X元素kT/2焦耳，忽略这个结构。 如果集合理论家 不愿意在建模时支付实际价格，我们为什么要 纳税人支付他们真实的薪水？ 大型红衣主教是虚构的 他们的想象力过于活跃，一致性问题的解决方案是 不要去那里。） 沃恩·普拉特 发件人：Tom Leinster 主题：回复：类别：神秘化和分类 日期：2004年3月7日20:50:39+0000 Steve Schanuel写道： >具有加号和乘号的超单体结构的范畴。 >（有人知道一个加号不是加号的兴趣示例吗 >副产品？） 以下是我之前遇到的两个钻机类别示例 其中加号不是副产品： （i） 继承了+和x的有限集和双射的范畴 从集合的范畴出发； （ii）离散钻机类别，当然与 钻机。 >这种自由是不必要的； 一点代数加上罗比 >盖茨定理提供了一个G到G^2=G+1的解，该解不满足 >扩展类别中的附加方程（以副积为加号， >笛卡尔乘积表示时间）。 如果你 做 允许您自由使用任何钻机类别，然后 存在更简单的解，也不满足附加方程： 只需取满足G^2=G的元素G自由生成的装备+ 1并将其视为离散的钻机类别。 >由于在集合范畴中，任何讨厌的旧无限集合都满足 >黄金方程式和许多其他方程式，我已经自由地 >将“nice”解释为至少“令人满意” >方程式’。 我会用不同的方式解释“好”。 （除此之外 否则，我上一段中的小例子将成为黄金 对象问题无趣。） 据我所知，“不错”不是 精确的术语——至少，我不知道如何使其精确。 也许我 可以用方程式T=1+T^2来解释我的解释。 一个好的解决方案T是有限的二叉平面树集 以及通常的同构T-~->1+T^2； 令人讨厌的解决方案 将是一个随机无限集T，其随机同构为1+T^2。 （这两种解决方案都属于装备类别及其标准+ x）我认为第一个解决方案很好，因为我可以看到一些 它的组合内容（也许，在我的脑海里，因为 它有一种建设性的感觉），而第二种则因为我做不到而令人讨厌。 我不确定我对这组 无需定义的二叉平面树（nice？），或通过 基数最多为aleph5的二叉平面树（可能很讨厌）。 也许找到一个“好”的解决方案在精神上与 发现组合恒等式的“具体解释”。 作为 一个非常简单的例子，考虑一下这个标识，每个 帕斯卡三角形中的项是其上方两项之和， （n+1选择r）=（n选择r-1）+（n选择r）。 这是一个需要证明的骗局，但你还是会错过一些东西 如果你不知道标准的“具体解释”：选择r n+1个对象中的对象等于选择第一个对象和 然后选择剩余n个OR中的r-1。 即使面临 找不到“好的解决方案”或“具体的解释” 确切地说，我认为大家对什么才算是 答案，而找到答案通常并不简单。 最美好的祝福， 汤姆 发件人：John Baez 主题：金色物体 日期：2004年3月7日星期日12:50:29-0800（太平洋标准时间） 尊敬的分类学家- 很抱歉需要一段时间才能回复。 UCR的人员无法 收到类别理论邮件列表上的帖子，原因是 我们的互联网连接。 我要求提供一些装备类别中对象G的好例子 具有从G^2到G+1的同构。 Steve Schanuel回复： >我无法理解John Baez的黄金物体问题，也无法理解他的 >解决方案的描述。 他拒绝告诉我们“好”是什么意思，[……] 这个问题是故意开放的，但你似乎有 很好地理解了，因为你给出了一个很好的解决方案， 包括你认为“好”的精确规范。 让我重复罗宾·休斯顿给出的两个解决方案： 1） 第一种解决方案适用于具有对象H的任何钻机类别 装备有与H^2+4H+1同构的。 解决方案是 G=H+2。 我描述了休斯顿如何使用同构H → H^2+4H+1至 构造同构G^2 → G+1。 这样做的好处是它减少了一个不是 显然是定点形式。 2） 休斯顿的第二个解决方案适用于任何单体余完备类， 在结肠炎上分布的张量积，其中包含一个物体X 装备有2X+1的同构。 解决方案是让G “具有X标记叶子的二叉平面根树”的对象，即。 G=X+X^2+2X^3+5X^4+14X^5+42X^6+。。。 其中系数是加泰罗尼亚数字。 他使用显而易见的 同构G → G^2+X构造同构G^2 → G+1。 有趣的是，它显示了Propp最初的提议 黄金物体确实是一个：只需考虑σ-多面体的范畴 和它的笛卡尔乘积，并且让X是开区间！ 而且， 它精确地解释了加泰罗尼亚语的交替和 数字等于黄金比率。 史蒂夫写道： >我不知道N[X]/（X^2=X+1）是否有广泛的类别 >作为其完整的Burnside钻机； 也许是其中一个或两个例子John >如果我知道他们是什么的话，上面提到的就行了。 我认为，如果我们采取自由分配的方式，示例1）就可以做到这一点 具有H^2+4H+1同构的对象H上的范畴。 对吗？ 史蒂夫还写道： >他非常慷慨，允许一个人使用既有优点又有优点的类别 >和倍作为额外的单体结构。 （有人知道一个例子吗 >在加号不是副产品的情况下？） 这种自由是 >不必要的[…] 这是不必要的，但很方便：我想里面还有一个金色的物体 在适当的q值下，量子SU（2）的reps的钻机类别。 这里张量积不是笛卡尔积。 用量子群论的行话来说，这个物体有“量子维” 等于黄金数字。 有趣的是，这种非积分 代数“维”在量子群论中自然出现， 正如非积分但代数“基数”在理论中出现一样 分配类别。 我不知道在钻机类别中有什么黄金物体 不是副产品，我同意这种钻机类别出现的频率较低 而不是那些时间不是产品的地方。 但是，如果你使用明显的 使有限集的广群成为rig类的方法，+不是 副积，也不是x积。 >当我说出我的困惑时，谁能告诉我 >“分类”是指？ 我不知道有这样的过程； 最简单的 >例如，在我看来，“分类”自然数以获得有限集 >而是“记住产生自然的有限集合和映射” >数字通过传递到同构类的抽象。 你是对的：分类不是一个系统的过程！ 我在中解释过这个想法 第121周 ，也在我的论文中 “分类”，位于 http://www.arXiv.org/abs/math.QA/9802029 . 我是这么说的： 如果研究分类，很快就会发现一个惊人的事实： 数学中的深层次结果只是对事实的分类 我们在高中学的！ 这是有充分理由的。 一直以来， 我们一直在通过假装不知不觉地“去分类”数学 这些类别只是集合。 我们通过“去分类”类别 忘记了语素并假装同构对象 都是平等的。 我们只剩下一个集合：同构类的集合 对象的。 为了理解这一点，下面的比喻可能很有用。 很久以前，当 牧羊人想看看两群羊是否同构，他们 会寻找明确的同构。 换句话说，他们会排队 把两只羊都养起来，试着把一只羊和一只羊配对 其他的。 但有一天，一个牧羊人发明了 去分类。 她意识到一个人可以带着每一头牛“数数” 它在它和一些“数字”集合之间建立了同构， 这些都是像“一、二、三……”这样的胡言乱语 特别地 为此目的而设计。 通过比较得出的数字，她 可以显示两个畜群是同构的，而不必显式地 建立同构！ 简而言之，通过对类别进行去分类 在有限集合中，自然数集合被发明了。 根据这个寓言，去范畴化一开始只是一个笔画 数学天才。 直到后来才变得愚蠢 我们现在正在努力克服的习惯 分类。 而历史现实远不止如此 复杂的分类确实带来了巨大的进步 在20世纪的数学中。 例如，Noether 通过强调 同源群。 之前的工作主要关注Betti数字 就是有理同调群的维数。 与相同 取集合的基数，取向量的维数 空间是一个去范畴化的过程，因为两个向量空间 同构当且仅当它们具有相同的维数。 注意到Noether 如果我们使用同源群而不是Betti数，我们可以 解决更多问题，因为我们不仅获得了空间的不变量， 还有地图。 在现代语言中，第n个有理同调是一个 函子 定义 上 类别 拓扑空间的第n个Betti数为 一只小猎犬 功能 ，定义于 设置 同构类的 拓扑空间。 当然，用这种方式表达诺特的见解 这是不合时宜的，因为它出现在范畴理论之前。 确实如此 在艾伦伯格和麦克·莱恩随后的同源性研究中 范畴理论诞生了！ 去分类是一个简单的过程，通常 破坏有关当前局势的信息。 分类， 试图恢复这些丢失的信息，是不可避免的 充满困难。 >最后，给约翰一个提示：当你试图给你的听众 >对n类的优点有一些感觉，你不能给他们一个 >对n=1几乎没有帮助，因为对对象和 >地图？ 我希望现在更清楚了。 最佳， 日本银行
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