搜索： a052547-编号：a052577
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1, 0, 1, 2, 0, 1, 1, 4, 0, 1, 5, 2, 6, 0, 1, 5, 14, 3, 8, 0, 1, 14, 14, 27, 4, 10, 0, 1, 19, 49, 27, 44, 5, 12, 0, 1, 42, 68, 113, 44, 65, 6, 14, 0, 1, 66, 175, 159, 214, 65, 90, 7, 16, 0, 1, 131, 286, 465, 304, 360, 90, 119, 8, 18, 0, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=T（n-1，k）+T；T（0,0）=T（1,1）=T。
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例子
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三角形开始，对于n>=0，0<=k<=n：
1 ;
0, 1 ;
2, 0, 1 ;
1, 4, 0, 1 ;
5, 2, 6, 0, 1 ;
5, 14, 3, 8, 0, 1 ;
14, 14, 27, 4, 10, 0, 1 ;
19, 49, 27, 44, 5, 12, 0, 1 ;
42, 68, 113, 44, 65, 6, 14, 0, 1 ;
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A006054号
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| a（n）=2*a（n-1）+a（n-2）-a（n-3），其中a（0）=a（1）=0，a（2）=1。
（原名M1396）
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0, 0, 1, 2, 5, 11, 25, 56, 126, 283, 636, 1429, 3211, 7215, 16212, 36428, 81853, 183922, 413269, 928607, 2086561, 4688460, 10534874, 23671647, 53189708, 119516189, 268550439, 603427359, 1355888968, 3046654856, 6845771321, 15382308530, 34563733525
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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设u（k）、v（k）和w（k）由u（1）=1、v（1）=0、w（1）=0.和u（k+1）=u（k；则{u（n）}=1,1,3,6,14,31，。。。(A006356号带有额外的初始值1），{v（n）}=0，1，2，5，11，25，。。。（该序列的初始0被删除）和前缀为额外0的{w（n）}={u（n）{=A077998号带有额外的首字母0-贝诺伊特·克洛伊特2002年4月5日。此外，u（k）^2+v（k）*2+w（k）|2=u（2k）-加里·亚当森2003年12月23日
用矩阵A=[1,1,1；1,0,0；1,0,1]构成图。然后A006054号计算1次顶点和3次顶点之间长度为n的行走次数-保罗·巴里2004年10月2日
用矩阵[1,1,0；1,0,1；1,1,1]构成有向图。A006054号（n） 计算具有循环的顶点之间长度为n的行走次数-保罗·巴里2004年10月15日
非零项=（1，1，2，2，3，…）的INVERT变换。例如：56=（1，1，2，5，11，25）点（3，3，2，2，1，1）=（3+3+4+10+11+25）-加里·亚当森2009年4月20日
-a（n+1）出现在rho:=2*cos（Pi/7）的非正幂公式中，七边形中较小的对角线与边长s=2*sin（Pi/7）的比值，当用基<1，rho，sigma>表示时，sigma：=rho^2-1，较大的七边形对角线和边长的比值如下。ρ^（-n）=C（n）*1+C（n-1）*ρ-a（n+1）*σ=A077998号（n） ，C（-1）：=0。请参阅Steinbach参考，以及下面的注释A052547号.
如果使用上述符号，取域Q（rho）的幂基为rho的非正幂，则rho^（-n）=a（n+2）*1+A077998号（n-1）*rho-a（n+1）*rho^2。非负幂见A006053号参见斯坦巴赫参考-沃尔夫迪特·朗2011年5月6日
a（n）也出现在西格玛的非负幂中（在上面的注释中定义，其中也给出了基）。请参阅中的评论A106803号.
序列b（n）：=（-1）^（n+1）*a（n）构成序列（-1）*n的负部分（即具有非正指数）*A006053号（n+1）。通过这种方式，我们获得了参数2*Pi/7的Ramanujan型序列号2a（参见A006053号). 我们有b（n）=-2*b（n-1）+b（n-2）+b（c（1）^（-n+1）+（c（4）/c（2））^A215112型). -罗曼·维图拉2012年8月6日
（1、1、2、5、11、25、56…）*（1、0、1、0，1…）=A006356号: (1, 1, 3, 6, 14, 31, ...). -加里·亚当森2013年5月15日
对于具有这种特征（2,1，-1）递归的所有泛型序列，σ=rho^2-1，约为2.246979603，正七边形（7-gon）中的长度比（最大对角线）/边是n->infinity的a（n+1）/a（n）的极限。对于rho=2*cos（Pi/7）和西格玛，请参阅上面的注释和P.Steinbach参考。证明：a（n+1）/a（n）=2+1/（a（n）/a（n-1））-1/（aA187360型). -沃尔夫迪特·朗2013年11月7日
当顺反异构被忽略时，涉及单键、双键或三键（允许相邻双键）的直链脂肪族氨基酸的数量-斯特凡·舒斯特2018年4月19日
设A（r，n）是总长度为n的r个红色正方形和白色正方形的n+r平铺的有序排列总数，其中单个平铺的长度可以从1到n不等。此外，当n<0时，A（r，n）=0。设A_1（r，n）=和{j=0..n}A（r，j）。那么1/（1-2*x-x^2+x^3）的展开式是A_1（0，n）+A_1a（n），没有最初的两个0。通常，1/（1-2*x-x^k+x^（k+1））的展开式等于Sum_{j>=0｝a_1（j，n-j*k）-格雷戈里·西蒙2018年5月25日
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参考文献
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杰伊·卡普拉夫（Jay Kappraff），《超越尺度，穿越自然、神话和数字的导览》（Beyond Measure，A Guided Tour Through Nature，Myth and Number），《世界科学》（World Scientific），2002年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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马克西米利安·费希特纳（Maximilian Fichtner）、K.Voigt、S.Schuster、，冰山的尖端和隐藏部分：蛋白质生成和非蛋白质生成的脂肪氨基酸《生物化学与生物物理学报》（BBA）——概述，2016年，第1861卷，第1期，A部分，2017年1月，第3258-3269页。
Brian Hopkins、Hua Wang、，限制颜色n色成分，arXiv:2003.05291[math.CO]，2020年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
阿列克谢·乌斯季诺夫，超连续性，arXiv:153.04497[math.NT]，2015年。
罗曼·维图拉（Roman Witula）、D.Slota和A.Warzynski，七阶拟Fibonacci数，J.整数序列。，9（2006），第06.4.3条。
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配方奶粉
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G.f.:x^2/（1-2*x-x^2+x^3）。
设M=3 X 3矩阵[1,1,0；1,2,1；0,1,2]，则M ^n*[1,0,0]=[A080937号（n-1），A094790号（n） ，A006054号（n-1）]。例如，M^3*[1,0,0]=[5,9,5]=[A080937号(2),A094790号(3),A006054号(2)]. -加里·亚当森，2006年2月15日
a（n）=圆形（k*A006356号（n-1）），对于n>1，其中k=0.3568958678…=1/（1+2*cos（Pi/7））-加里·亚当森2008年6月6日
a（n+3）=求和{k=1..n}求和{j=0..k}二项式（j，n-3*k+2*j）*（-1）^（j-k）*二项式（k，j）*2^（-n+3*k-j）；a（0）=0、a（1）=0，a（2）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年5月5日
7*a（n）=（c（2）-c（4））*（1+c（1））^n+（c（4）-c-罗曼·维图拉2012年8月7日
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例子
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G.f.=x ^2+2*x ^3+5*x ^4+11*x ^5+25*x ^6+56*x ^7+126*x ^8+283*x ^9+-迈克尔·索莫斯，2018年6月25日
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（最大值）
a（n）：=如果n<2，则为0，如果n=2，则为1，否则为b（n-2）；
b（n）：=总和（总和（二项（j，n-3*k+2*j）*（-1）^（j-k）*二项（k，j）*2^（-n+3*k-j），j，0，k），k，1，n）\\弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年5月5日
（PARI）x='x+O（'x^66）；
concat（[0,0]，Vec（x^2/（1-2*x-x^2+x^3））\\约尔格·阿恩特2011年5月5日
（哈斯克尔）
a006054 n=a006053_列表！！n个
a006054_list=0:0:1:zipWith（+）（map（2*）$drop 2 a006054 _ list）
（zipWith（-）（尾部a006054_list）a006054 _ list）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A005578号,A006053号,A006356号,A007583号,A080937号,A094790号,A214683型,A214699型,A214779号,A215112型,邮编：306334.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A006053号
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| a（n）=a（n-1）+2*a（n-2）-a（n-3），其中a（0）=a（1）=0，a（2）=1。
（原名M2358）
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41
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0, 0, 1, 1, 3, 4, 9, 14, 28, 47, 89, 155, 286, 507, 924, 1652, 2993, 5373, 9707, 17460, 31501, 56714, 102256, 184183, 331981, 598091, 1077870, 1942071, 3499720, 6305992, 11363361, 20475625, 36896355, 66484244, 119801329, 215873462, 388991876, 700937471
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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a（n+1）=S（n）表示n>=1，其中S（n。示例：S（4）计算1000、1001、1010、1110。请参见A077865号. -克拉克·金伯利2004年6月26日
当n>=1时，n在地板（j/2）中的成分数为j（见g.f.）-约尔格·阿恩特2011年7月6日
计算P_3的第一个和第二个节点之间长度为n的行走次数，在该节点的末尾添加了一个循环。设A是图P_3的邻接矩阵，在图的末尾加上一个循环。A是“反向约旦矩阵”[0,0,1；0,1,1,0]。通过取a^n的（1,2）元素得到a（n）-保罗·巴里2004年7月16日
a（n）出现在rho:=2*cos（Pi/7）的非负幂的公式中，七角形中较小的对角线与边长s=2*sin（Pi/7）之比，当用基<1，rho，sigma>表示时，sigma：=rho^2-1，较大的七角形对角线和边长之比如下。rho^n=C（n）*1+C（n+1）*rho+a（n）*sigma，n>=0，其中C（n=A052547号（n-2）。请参阅Steinbach参考，以及下面的注释A052547号. -沃尔夫迪特·朗，2010年11月25日
如果使用上述符号，Q（rho）的幂基<1，rho，rho^2>，则rho的非负幂由rho^n=-a（n-1）*1给出+A052547号（n-1）*rho+a（n）*rho^2。有关负功率，请参见A006054号. -沃尔夫迪特·朗2011年5月6日
-a（n-1）也出现在sigma的非正幂公式中（定义见上述注释，以及斯坦巴赫基<1，rho，sigma>），如下所示：sigma^（-n）=a（n）*1-a（n+1）*rho-a（n-1=A052547号（n） ，A（-1）：=0-沃尔夫迪特·朗，2010年11月25日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.Witula、E.Hetmanik和D.Slota，从给定多项式根中求出的任意阶根的幂之和，第十五届斐波那契数及其应用国际会议论文集（2012）。
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链接
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罗宾·查普曼和尼古拉斯·辛格，双对角矩阵的特征值阿默尔。数学。《月刊》，111（2004），第441页
托米斯拉夫·多什利奇（Tomislav Došlić）、马特·普尔吉兹（Mate Puljiz）、斯捷潘·谢贝克（StjepanŠebek）和约西普·乌布里尼奇（Josipüubrinić），关于Flory模型的一个变体，arXiv:2210.12411[math.CO]，2022。
LászlóNémeth和Dragan Stevanović，递推方程组的图解法，研究之门，2023年。见第6页的表2。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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a（n）=c^（n-2）-a（n-1）*（c-1）+（1/c）*a（n-2。例如：a（7）=14=c^5-9*（c-1）+4/c=18.997607…-7.21743962…+2.219832528-加里·亚当森2010年1月24日
G.f.：-1+1/（1-总和{j>=1}层（j/2）*x^j）-约尔格·阿恩特2011年7月6日
a（n+1）*（-1）^n*49^（1/3）=（c（1）/c（4））^（1/3）*（2*c（1 2）^（1/3）*（c（2））^；有关证据，请参阅Witula等人的论文-罗曼·维图拉2012年7月21日
G.f.:x^2/（1-x/（1-2*x/（1+5*x/）（2-x/（5-2*x））））-迈克尔·索莫斯，2017年1月20日
a（n）~r*c^n，其中r=0.241717…是49*x^3-7*x+1的根之一，c=2*cos（Pi/7）（如加里·亚当森的公式）-丹尼尔·切卡2022年11月4日
a（2n-1）=2*a（n+1）*a（n）-a（n）^2-a（n-1）^2-理查德·彼德森2023年5月25日
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例子
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G.f.=x^2+x^3+3*x^4+4*x^5+9*x^6+14*x^7+28*x^8+47*x^9+。。。
关于“地板（j/2）类j中n的成分数量”的描述，6的a（6）=9个成分是（2a，2a，2a），（3a，3a），（2a、4a）-布里吉特·坦纳2022年2月25日
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MAPLE公司
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a[0]：=0:a[1]：=0：a[2]：=1：对于从3到40的n，执行a[n]：=a[n-1]+2*a[n-2]-a[n-3]od:seq（a[n'，n=0..40）#Emeric Deutsch公司
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数学
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黄体脂酮素
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（Magma）[n eq 1选择0，n eq 2选择0，否则n eq 3选择1，else Self（n-1）+2*Self//文森佐·利班迪2011年8月19日
（哈斯克尔）
a006053 n=a006053_列表！！n个
a006053_list=0:0:1:zipWith（+）（删除2 a006053 _ list）
（zipWith（-）（map（2*）$tail a006053_list）a006053 _ list）
（PARI）{a（n）=如果（n<0，n=-1-n；polceoff（-1/（1-2*x-x^2+x^3）+x*O（x^n），n），polceof（x^2/（1-x-2*x^2+x^3/*迈克尔·索莫斯2014年11月30日*/
（SageMath）
@缓存函数
如果（n<3）：返回（n//2）
else：返回a（n-1）+2*a（n-2）-a（n-3）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A077998号
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| （1-x）/（1-2*x-x^2+x^3）的展开。 |
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+10
32
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1, 1, 3, 6, 14, 31, 70, 157, 353, 793, 1782, 4004, 8997, 20216, 45425, 102069, 229347, 515338, 1157954, 2601899, 5846414, 13136773, 29518061, 66326481, 149034250, 334876920, 752461609, 1690765888, 3799116465, 8536537209, 19181424995, 43100270734, 96845429254
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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设u（k），v（k），w（k）由u（1）=1，v（1）=0，w（1）=0和u（k+1）=u（k）+v（k）+w（k），v（k+1）=u（k）+v（k），w（k+1）=u（k）定义；则{u（n）}=1,1,3,6,14,31，。。。(A006356号带有额外的首字母1），{v（n）}=0,1,2,5,11,25，。。。(A006054号其初始0被删除）和{w（n）}={u（n）{前面加上一个额外的0=这个序列和一个额外初始0-贝诺伊特·克洛伊特2002年4月5日[u（k）^2+v（k）*2+w（k）|2=u（2k）]-加里·亚当森2003年12月23日]
用矩阵A=[1,1,1；1,0,0；1,0,1]构成图。然后A077998号计算4度顶点处长度为n的闭合游动-保罗·巴里2004年10月2日
a（n）是地面上没有平坦台阶且高度小于等于2的Motzkin（n+2）序列数。例如，a（3）=6计数UDUFD、UFDUD、UFFFD、UFUDD、UUDFD、UUFDD-大卫·卡伦2004年12月9日
a（n）出现在rho:=2*cos（Pi/7）的非正幂公式中，七边形中较小的对角线与边长的比值s=2*sin（Pi/7），当用基<1，rho，sigma>表示时，sigma：=rho^2-1，较大的七边形对角线和边长的比率如下。ρ^（-n）=a（n）*1+a（n-1）*ρ-C（n）*σ，n>=0，其中C（n）=A006054号（n+1）。设a（-1）：=0。请参阅Steinbach参考，以及下面的注释A052547号.
n->无穷大的极限a（n+1）/a（n）是σ=rho^2-1，约为2.246979603。请参阅2013年11月7日的评论A006054号用于证明，以及前面关于rho和sigma的注释和P.Steinbach参考-沃尔夫迪特·朗2013年11月7日
a（n）是使用所有可能的“trominos”平铺3*n个细胞的斜双带的方法数。这是对应于n=4的斜双带，有12个单元：
___ ___ ___ ___ ___ ___
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_|___|___|___|___|_ _|___|
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|___|___|___|___|___|___|,
以下是三种可能的“tromino”瓷砖，可以根据需要进行旋转或反射：
___ ___
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_|___|_ _____|___| ___________
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|___|___|, |___|___| , |___|___|___|.
例如，以下是a（4）=14方法之一，用于平铺由12个单元组成的斜双带：
___ ___ _______ _______
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_| |_ |_____ |_ _|
| | | | |
|_______|_______|___|___|. （完）
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参考文献
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Kenneth Edwards，Michael A.Allen，《斐波那契数平方的新组合解释》，第二部分，斐波那奇。问，58:2（2020），169-177。
杰伊·卡普拉夫（Jay Kappraff），《超越尺度，穿越自然、神话和数字的导览》（Beyond Measure，A Guided Tour Through Nature，Myth and Number），《世界科学》（World Scientific），2002年。
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链接
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阿列克谢·乌斯季诺夫，超连续性，arXiv:153.04497[math.NT]，2015年。
R.Witula、D.Slota和A.Warzynski，七阶拟Fibonacci数，J.整数序列。，9（2006），第06.4.3条。
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配方奶粉
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当n>=2时，a（0）=a（1）=1，a（2）=3，a（n+1）=2*a（n）+a（n-1）-a（n-2）-菲利普·德尔汉姆2006年9月7日
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例子
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G.f.=1+x+3*x^2+6*x^3+14*x^4+31*x^5+70*x^6+157*x^7+353*x^8+-迈克尔·索莫斯2023年12月12日
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数学
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系数列表[级数[（1-x）/（1-2*x-x^2+x^3），{x，0，40}]，x](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年9月11日*）
线性递归[{2，1，-1}，{1，1，3}，40](*罗曼·维图拉2012年8月7日*）
a[n]：={1，0，0}。矩阵功率[｛｛0，1，0｝，｛0，0，1｝，｛-1，1，2｝｝，n]。{1, 1, 3}; (*迈克尔·索莫斯2023年12月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（[0,1,0；0,0,1；-1，1，2]^n*[1；1；3]）[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年5月10日
（岩浆）I:=[1,1,3]；[n le 3选择I[n]else 2*自我（n-1）+自我（n-2）-自我（n-3）：[1..40]]中的n//文森佐·利班迪2017年6月1日
（SageMath）（（1-x）/（1-2*x-x^2+x^3））.系列（x，40）.系数（x，稀疏=假）#G.C.格鲁贝尔2019年6月27日
（间隙）a:=[1,1,3]；；对于[4..40]中的n，做a[n]：=2*a[n-1]+a[n-2]-a[n-3]；od；a#G.C.格鲁贝尔2019年6月27日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A028495号
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| g.f.（1-x^2）/（1-x-2*x^2+x^3）的扩展。 |
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+10
27
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1, 1, 2, 3, 6, 10, 19, 33, 61, 108, 197, 352, 638, 1145, 2069, 3721, 6714, 12087, 21794, 39254, 70755, 127469, 229725, 413908, 745889, 1343980, 2421850, 4363921, 7863641, 14169633, 25532994, 46008619, 82904974, 149389218, 269190547, 485064009, 874055885
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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用矩阵A=[0,1,1；1,0,0；1,0,1]（P_3的末端有一个循环）构成图。然后A028495号计算3次顶点处长度为n的闭合行走-保罗·巴里2004年10月2日
等于（1,1,0,1,0,1,0，1，1，0，1…）的INVERT变换-加里·亚当森2009年4月28日
a（n）表示怀特在以下国际象棋位置上，忽略第五十步和三重重复规则，在精确（n+1）步中强制将死的次数，n>=0：怀特Ka1、Ra8、Bc1、Nb8、兵a6、a7、b2、c6、d2、f6和h6；黑色Kc8，当兵b3、c7、d3、f7和h7。（在Noam D.Elkies之后，请参阅链接；图5）。
从路径图P_6的初始节点开始，计算长度为n，n>=0的所有路径，请参阅第二个Maple程序。
（完）
a（n）是长度为n-1的二进制字的数量，使得1的每个最大块具有奇数长度。a（4）=6，因为我们有：000001010100101111-杰弗里·克雷策2012年11月17日
a（n）是n的组成数，其中增量只能出现在每第二个位置，从第二部分和第三部分开始，见示例。此外，a（n）是n的组成数，其中从第一部分和第二部分开始，每对第二部分之间没有落差；请参见示例-约尔格·阿恩特2013年5月21日
a（n）是3X3矩阵[1，1，0；1，0，1；0，1，0]或3X3阵[1，0，0，1]的n次幂的左上角项-R.J.马塔尔2014年2月3日
7阶帕斯卡循环数组第n行的范围-肖恩·奥特2014年6月5日
a（n）是n从{1,2,4,6,8,10，…}分解成部分的数量。例如：a（4）=6，因为我们有4、22、211、121、112和1111-Emeric Deutsch公司2016年8月17日
通常，a（n，m）=（2^n/（m+1））*Sum_{r=1..m}（1-（-1）^r）*cos（Pi*r/（m+1-赫伯特·科西姆巴2020年9月15日
a（n-1）是面积为n的三角形dcc-polyominoes的数量（见Baril等人，第11页）-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年10月14日
a（n）是[n]与p（j）<p（j+2）和p（j。a（6）=19:123456、123465、123546、124356、124365、125364、132456、132465、132546、142536、213456、213465、213546、214356、214365、215364、314256、314265、3142655、315265、315264-阿洛伊斯·海因茨2024年3月29日
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链接
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亚历山德鲁·奇瓦西托（Alexandru Chirvasitu）、塔拉·哈德森（Tara Hudson）和阿帕娜·乌帕迪亚（Aparna Upadhyay），有限群模表示的递归序列，arXiv:2105.04732[math.RT]，2021。见第27页（1）。
Nachum Dershowitz，在百老汇和哈德逊河之间，arXiv:2006.06516[math.CO]，2020年。
托米斯拉夫·多什利奇（Tomislav Došlić）、马特·普尔吉兹（Mate Puljiz）、斯捷潘·谢贝克（StjepanŠebek）和约西普·乌布里尼奇（Josipüubrinić），关于Flory模型的一个变体，arXiv:2210.12411[math.CO]，2022。
诺姆·D·埃尔基斯，枚举国际象棋问题的新方向《组合数学电子杂志》，11（2），2004-2005；arXiv:math/0508645[math.CO]，2005年-约翰内斯·梅耶尔2010年5月29日
贾煌，部分回文成分，J.国际顺序。（2023）第26卷，第23.4.1条。见第4、14页。
LászlóNémeth和Dragan Stevanović，递推方程组的图解法，研究之门，2023年。见第6页表2。
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配方奶粉
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递归：{a（0）=1，a（1）=1、a（2）=2、a（n）-2*a（n+1）-a（n+2）+a（n+3）=0}。
a（n）=总和_（1/7*（1+2*_alpha）*_alpha^（-1-n），_alpha=根（_Z^3-2*_Z^2-_Z+1））。
G.f.：1/（1-x/（1-x/（1+x/（1+/（1-x））））-迈克尔·索莫斯2012年4月5日
a（n）=（2^n/7）*Sum_{r=1..6}（1-（-1）^r）*cos（Pi*r/7）^n*（1+cos（Pi*r/7））-赫伯特·科西姆巴2020年9月15日
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例子
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G.f.=1+x+2*x^2+3*x^3+6*x^4+10*x^5+19*x^6+33*x^7+61*x^8+。。。
有一个（6）=19个6的组成，其中增量只能出现在每一秒的位置：
01: [ 1 1 1 1 1 1 ]
02: [ 1 1 1 1 2 ]
03: [ 1 1 2 1 1 ]
04: [ 1 1 2 2 ]
05: [ 1 1 3 1 ]
06: [ 1 1 4 ]
07: [ 2 1 1 1 1 ]
08: [ 2 1 2 1 ]
09: [ 2 1 3 ]
10: [ 2 2 1 1 ]
11: [ 2 2 2 ]
12: [ 3 1 1 1 ]
13: [ 3 1 2 ]
14: [ 3 2 1 ]
15: [ 3 3 ]
16: [ 4 1 1 ]
17: [ 4 2 ]
18: [ 5 1 ]
19: [ 6 ]
存在（6）=19种6的组合物，其中从第一和第二部分开始，每第二对部分之间没有落差：
01: [ 1 1 1 1 1 1 ]
02: [ 1 1 1 1 2 ]
03: [ 1 1 1 2 1 ]
04: [ 1 1 1 3 ]
05: [ 1 1 2 2 ]
06: [ 1 1 4 ]
07: [ 1 2 1 1 1 ]
08: [ 1 2 1 2 ]
09: [ 1 2 3 ]
10: [ 1 3 1 1 ]
11: [ 1 3 2 ]
12: [ 1 4 1 ]
13: [ 1 5 ]
14: [ 2 2 1 1 ]
15: [ 2 2 2 ]
16: [ 2 3 1 ]
17: [ 2 4 ]
18: [ 3 3 ]
19: [ 6 ]
（完）
19=（1,0,1,0,1,1）点（1,1,2,3,6,10）=（1+0+2+0+6+10）。参见2009年4月28日的评论-加里·亚当森2016年8月10日
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MAPLE公司
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规范：=[S，{S=序列（并集（序列（序列（生产（Z，Z）），Z，Z，Z）））}，未标记]：序列（组合结构[计数]（规范，大小=n），n=0..20）；
使用（图论）：P:=6:G:=PathGraph（P）：A:=AdjacencyMatrix（G）：nmax:=34；对于从0到nmax的n，做B（n）：=A^n；a（n）：=加法（B（n）[1，k]，k=1..P）od:seq（a（n），n=0..nmax）#约翰内斯·梅耶尔2010年5月29日
答：=（-1）^（3/7）-（-1）*（4/7）：
b:=（-1^（5/7）-（-1）^（2/7）：
c:=（-1）^（1/7）-（-1）*（6/7）：
f:=n->（a^n*（2+a）+b^n*（2+b）+c^n*（2+c））/7:
seq（简化（f（n）），n=0..36）#彼得·卢什尼2020年9月16日
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数学
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系数列表[级数[（1-x^2）/（1-x-2x^2+x^3），{x，0，40}]，x](*哈维·P·戴尔，2018年12月23日*）
a[n_，m_]：=2^（n+1）/（m+1）模[{x=（Pir）/（m+1）}，求和[Cos[x]^n（1+Cos[x]），{r，1，m，2}]]
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，n=-1-n；polceoff（（1-x^2）/（1-2*x-x^2+x^3）+x*O（x^n），n）/*迈克尔·索莫斯2012年4月5日*/
（PARI）a（n）=（[0,1,0；0,0,1；-1，2，1]^n*[1；1；2]）[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世，2016年8月25日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A052534号,A052547号,A096976号,A276053型,A068911型,A078038号,A094790号,A000045号,A038754号,A028495号,A030436号,A061551号,A178381号.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 5, 19, 66, 221, 728, 2380, 7753, 25213, 81927, 266110, 864201, 2806272, 9112264, 29587889, 96072133, 311945595, 1012883066, 3288813893, 10678716664, 34673583028, 112584429049, 365559363741, 1186963827439, 3854047383798, 12514013318097, 40632746115136
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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路径图P_6中长度为2n+5的从一端到另一端的行走次数。示例：a（1）=5，因为在路径ABABCDEF中，我们有ABABCDEF、ABCBCDEF、ABCCDEF、ABCEDEF和ABCDEFEF-Emeric Deutsch公司2004年4月2日
偏移量为-4时，此序列为6、1、0、0、1、5。。。出现在3 X 3三对角矩阵M_3=矩阵（[1,1,0]，[1,2,1]，[0,1,2]）的n次幂公式中A332602型：（M_3）^n=a（n-2）*。来自Cayley-Hamilton的证明：（M_3）^n=5*（M_3）^3-6*M_3+1_3（参见A332602型对于特征多项式Phi（3，x）），以及递归（M_3）^n=M_3*（M_3）^（n-1）。对于（M_3）^n[1,1]=2*a（n-2）-5*a（n-3）+a（n-4），对于n>=0，请参见A080937号（n） ●●●●。
关于r=rho（7）的a（n）公式=A160389号如下所示，a（n）/a（n-1）收敛到rho（7）^2=A116425号=3.2469796…对于n->无穷大。这是因为r-2/r=0.692…，而r-1-1/r=0.137。
（完）
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参考文献
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W.Feller，《概率论及其应用导论》，第3版，威利出版社，纽约，1968年，第96页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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C.J.Everett，P.R.Stein，具有吸收势垒的随机游动的组合学，离散数学。17（1977年），第1期，第27-45页。[带注释的扫描副本]
G.Kreweras，细分市场调查巴黎大学统计研究所，巴黎大学统计局，第15号（1970年），3-41。[带注释的扫描副本]
S.Morier-Generoud、V.Ovsienko和S.Tabachnikov，2-雕带图案与多边形空间的簇结构《傅里叶学会年鉴》，第62卷第3期（2012年），第937-987页；arXiv:1008.3359【数学公司】，2010-2011年发件人N.J.A.斯隆2012年12月26日
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
罗曼·维图拉（Roman Witula）、达米安·斯洛塔（Damian Slota）和亚当·瓦辛斯基（Adam Warzynski），七阶拟Fibonacci数，J.整数序列。，9（2006），第06.4.3条。
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配方奶粉
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a（n）=和{j=-无穷大..无穷大}（二项式（5+2*k，7*j+k-2）-二项式。
a（n-2）=2^n*C（n；1/2）=（1/7）*（（C（2）-C（4））*（C（4）。该公式源自C（n；d）的Binet公式——准Fibonacci数之一（参见A121449号以及Witula-Slota-Warzynski论文中的公式（3.17））-罗曼·维图拉2012年8月9日
根据代数数r=rho（7）=2*cos（Pi/7）=A160389号对于3次，前面的公式给出了a（n）=r^（2*（n+2））*（A1（r）+A2（r）*（r-2/r）^（2*（n+1））=A3-沃尔夫迪特·朗2020年3月30日
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MAPLE公司
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a： =k->总和（二项式（5+2*k，7*j+k-2），j=ceil（（2-k）/7）。。floor（（7+k）/7）-sum（二项式（5+2*k，7*j+k-1），j=ceil（（1-k）/7）。。地板（（6+k）/7）：seq（a（k），k=0..25）；
A005021号：=-（z-1）*（z-5）/（-1+5*z-6*z**2+z**3）；#推测者西蒙·普劳夫在他1992年的论文中；给出除初始1之外的序列
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数学
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线性递归[{5，-6，1}，{1，5，19}，50](*罗曼·维图拉2012年8月9日*）
系数列表[级数[1/（1-5x+6x^2-x^3），{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2015年9月18日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[1,5,19]；[n le 3选择I[n]else 5*自我（n-1）-6*自我（n-2）+自我（n-3）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2015年9月18日
（PARI）x='x+O（'x^30）；Vec（1/（1-5*x+6*x^2-x^3））\\G.C.格鲁贝尔2018年4月19日
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交叉参考
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关键词
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非n,步行,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 5, 13, 35, 96, 266, 741, 2070, 5791, 16213, 45409, 127206, 356384, 998509, 2797678, 7838801, 21963661, 61540563, 172432468, 483144522, 1353740121, 3793094450, 10628012915, 29779028189, 83438979561, 233790820762, 655067316176, 1835457822857, 5142838522138, 14409913303805
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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三选择路径是其步骤位于集合{（1,1），（1,0），（1，-1）}中的路径。
考虑中的路径“活”在走廊中，如0<=y<=5。因此，路径顶点的纵坐标可以取六个值（0,1,2,3,4,5），但道路的高度为五。
a（1）=1是零步的路径数，a（2）=2是一步的路径数目，a（3）=5是两步的路径的数目。。。
（完）
C（n）：=a（n）*（-1）^n出现在下面的公式中，表示ρ*σ的非正幂，其中ρ：=2*cos（Pi/7）和σ：=sin（3*Pi/7。参见Steinbach参考，其中在有理域的扩展中使用了基<1，rho，sigma>。（rho*sigma）^（-n）=C（n）+B（n）*rho+A（n）*sigma，n>=0，其中B（n=181880英镑（n-2）*（-1）^n和A（n）=116423年（n+1）*（-1）^（n+1。关于非负幂，请参见A120757号（n） |A122600个（n-1）|和A181879号（n） 分别为。另请参阅下面的评论A052547号.
a（n）也是具有n个单元的双墙有向多边形的数量。（关于双壁有向多边形的定义，请参见A122737号.)
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链接
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Svjetlan Feretic，双球有向多边形的生成函数，in：程序。第七届国际格路组合数学与应用会议（编辑S.Rinaldi和S.G.Mohanty），锡耶纳，2010年，147-151。
罗曼·维图拉（Roman Witula）、达米安·斯洛塔（Damian Slota）和亚当·瓦辛斯基（Adam Warzynski），七阶拟Fibonacci数，J.整数序列。，9（2006），第06.4.3条。
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配方奶粉
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a（n）=4*a（n-1）-3*a（n-2）-a（n-3）。
G.f.：（1-2*x）/（1-4*x+3*x^2+x^3）。
a（n）=总和{k=0..层（n/2）}（总和{j=0..n-k}C（n-k，j）*C（j+k，2k））；
a（n）=总和{k=0..层（n/2）}（总和{j=0..n-k}C（n-k，k+j）*C（k，k-j）*2^（n-2k-j））；
a（n）=Sum_{k=0..楼层（n/2）}（Sum_{j=0..n-2*k}C（n-j，n-2*k-j）*C（k，j）（-1）^j*2^（n-2*k-j））。（完）
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数学
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线性递归[{4，-3，-1}，{1，2，5}，50](*罗曼·维图拉2012年8月9日*）
系数列表[级数[（1-2x）/（1-4x+3x^2+x^3），{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2015年9月18日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[1,2,5]；[n le 3选择I[n]else 4*自我（n-1）-3*自我（n-2）-自我（n-3）：[1..35]]中的n//文森佐·利班迪2015年9月18日
（PARI）x='x+O（'x^30）；Vec（（1-2*x）/（1-4*x+3*x^2+x^3））\\G.C.格鲁贝尔2018年4月19日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A120757号
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| x^2*（2+x）/（1-3*x-4*x^2-x^3）的展开。 |
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0, 2, 7, 29, 117, 474, 1919, 7770, 31460, 127379, 515747, 2088217, 8455018, 34233669, 138609296, 561217582, 2272323599, 9200450421, 37251863241, 150829715006, 610697048403, 2472661868474, 10011603514040, 40536155064419
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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矩阵M^n的（1,1）-项，其中M是3X3矩阵[0,1,1；1,1,2；1,2,2]。
a（n）/a（n-1）趋于4.0489173……M的特征值和特征多项式x^3-3x^2-4x-1的根。
C（n）：=a（n），其中a（0）：=1（因此C（n。参见Steinbach参考，其中在有理域的扩展中使用了基<1，rho，sigma>。（rho*sigma）^n=C（n）+B（n）*rho+A（n）*sigma，n>=0，其中B（n|A122600个（n-1）|，B（0）=0，和A（n）=A181879号（n） ●●●●。对于非正能量，请参见A085810号（n） *（-1）^n，181880英镑（n-2）*（-1）^n和A116423号分别为（n+1）*（-1）^（n+1）。另请参阅下面的评论A052547号.
我们有一个（n）=cs（3n+1），其中序列cs（n）及其两个共轭序列如（n）和bs（n）在序列注释中定义A214683型（另请参见A215076型,A215100型,A006053号). 对于参数2Pi/7，我们将序列a（n）称为Ramanujan类型的序列号5。由于as（3n+1）=bs（3n+1）=0，我们得到了以下关系：49^（1/3）*a（n）=（c（1）/c（4））^（n+1/3）+（c（4）/c-罗曼·维图拉2012年8月2日
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参考文献
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R.Witula、E.Hetmanik和D.Slota，从给定多项式根中求出的任意阶根的幂之和，《第十五届斐波那契数及其应用国际会议论文集》，匈牙利埃格尔，2012年。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=3*a（n-1）+4*a（n-2）+a（n-3）（从矩阵M的最小多项式开始）。另请参见名称中给出的o.g.f。
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例子
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a（7）=1919，因为M^7=[191934584312；345862317770；431277709689]。
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MAPLE公司
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用（linalg）：M[1]：=矩阵（3，3，[0，1，1，1,2，1，2）：对于从2到25的n，M[n]：=乘法（M[1]，M[n-1]）od:seq（M[n][1，1]，n=1..25）；
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数学
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线性递归[{3，4，1}，{0，2，7}，40](*罗曼·维图拉2012年8月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（[0，1，0；0，1；1，4，3]^（n-1）*[0；2；7]）[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年6月22日
（岩浆）a:=[0,2,7]；[n le 3在[1..25]]中选择一个[n]else 3*Self（n-1）+4*Self-（n-2）+Self-3）：n//马吕斯·A·伯蒂2019年10月3日
（SageMath）
@缓存函数
如果（n<3）：返回（0，2，7）[n]
else：返回3*a（n-1）+4*a（n-2）+a（n-3）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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新名称，旧名称作为注释；o.g.f。；参考。
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, 2, 1, 5, 5, 14, 19, 42, 66, 131, 221, 417, 728, 1341, 2380, 4334, 7753, 14041, 25213, 45542, 81927, 147798, 266110, 479779, 864201, 1557649, 2806272, 5057369, 9112264, 16420730, 29587889, 53317085, 96072133, 173118414, 311945595, 562110290
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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在P_3的开始处计数长度为n的闭合行走，在P_3的另一端添加了一个循环。a（n+1）计算第一个节点和最后一个节点之间的行走次数。设A是图P_3的邻接矩阵，在图的末尾加上一个循环。A是“反向约旦矩阵”[0,0,1；0,1,1,0]。a（n）是通过取a^n的（1,1）元素得到的。
序列还与显示7倍旋转对称性的菱形替代瓷砖相关的矩阵有关。设A_{7,1}是3X3单位极限矩阵（参见[Jeffery]）A_{7.1}=[0,1,0；1,0,1；0,1,1]；则a（n）=[a_{7,1}^n]_（1,1）-L.埃德森·杰弗里2012年1月5日
a（n+2）是两个3X3矩阵的n次幂的（1,1）元素：[0,1,1；1,0,0；1,0,1]，[0,1,1,1,0；1,0,0]-克里斯托弗·亨特·格里布尔2014年4月3日
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链接
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罗宾·查普曼和尼古拉斯·辛格，双对角矩阵的特征值阿默尔。数学。月刊，111（2004）441。
托米斯拉夫·多什利奇（Tomislav Došlić）、马特·普尔吉兹（Mate Puljiz）、斯捷潘·谢贝克（StjepanŠebek）和约西普·乌布里尼奇（Josipüubrinić），关于Flory模型的一个变体，arXiv:2210.12411[math.CO]，2022。
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配方奶粉
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通用格式：（1-x-x^2）/（1-x-2x^2+x^3）；a（n）=a（n-1）+2a（n-2）-a（n-3）。
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例子
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G.f.=1+x^2+2*x^4+x^5+5*x^6+5*x^7+14*x^8+19*x^9+-迈克尔·索莫斯2023年12月12日
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数学
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a[n]：={1，0，0}。矩阵幂[{{1，2，-1}，{1，0，0}，}，n]。{1, 1, 3}; (*迈克尔·索莫斯2023年12月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=[1,0,0]*[1,2，-1；1,0,0；0,1,0]^n*[1,1,3]~}/*迈克尔·索莫斯2023年12月12日*/
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, -3, 13, -52, 211, -854, 3458, -14001, 56689, -229529, 929344, -3762837, 15235416, -61686940, 249765321, -1011279139, 4094585641, -16578638800, 67125538103, -271785755150, 1100438056662, -4455582728689, 18040286167865, -73043627475013, 295747609825188, -1197457625543481
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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由斯坦巴赫七项多项式p^3-2*p^2*（1-p）-p（1-p。
B（n）：=|a（n-1）|=a（n-1）*（-1）^（n-1打开）参见Steinbach参考，其中基础<1，rho，sigma>用于有理域的扩展。（rho*sigma）^n=C（n）+B（n）*rho+A（n）*sigma，n>=0，其中C（n=A120757号（n） C（0）：=1，A（n）=A181879号（n） ●●●●。对于非正能量，请参见A085810号*（-1）^n，181880英镑（n） 和A116423号（n） *（-1）^n。另请参阅下面的评论A052547号.
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链接
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配方奶粉
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a（n）=-3*a（n-1）+4*a（n-2）-a（n-3），n>=2，a（-1）：=0，a（1）=0，b（1）=-3（根据名称中给出的o.g.f.）。
a（n）=（-1）^n*Sum_{k=0..n}二项式（n+k+2,3*k+2）*7^k-伊曼纽尔·穆纳里尼，2017年8月27日
a（n）=和{i+2j+3k=n}（-1）^（i+k）*3^i*4^j*（（i+j+k）！）/（i！*j！*k！）。
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数学
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p[x_]：=1-4x+3x^2+x^3；q[x_]：=全部展开[x^3*p[1/x]]；表[级数系数[级数[x/q[x]，{x，0，30}]，n]，{n，0，30}]
系数列表[级数[1/（1+3*x-4*x^2+x^3），{x，0，50}]，x]（*或*）线性递归[{-3，4，-1}，{1，-3，13}，40](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2012年1月31日*）
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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扩展
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