斐波纳契数与三角函数概述

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摘要
本文利用三角函数和偏分式研究Fibonacci数和整数序列。。
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Fibonacci数与三角F功能
大纲
Kai W公司
美国亨德森内华达州,砂岩路2346号
凯尤邮箱:1945.com
摘要
在这篇文章中,我们将研究Fibonacci数和整数序列-
度量函数和偏分式。
2010数学学科分类离子: 一级11L03;二级33B10
关键词:斐波纳契数,部分分数,T严格计量函数
1引言
斐波那契数列Fn定义如下:
F0=1,f1=1,
Fn=Fn1+Fn2
对于n±2
因此,这个序列的开始是: 1,1,2,,5,8,13,21,34,55,89,一百四十四,…
卢卡斯序列n定义如下:
0=1,L1=1,
n=n1+n2
对于n±2
因此,这个序列的开始是: 2,1,,4,7,11,18,29,47,76,123,…
两个序列都可以由{2个cos(2个ω),2个cos(4个ω)}.
本文的目的是研究纤维束onacci数和整数序列
三角函数和偏分数。。
以下斐波纳契数的闭式是众所周知的,
1
定理1。([1
Fn=1
γ5 1 +γ5
2!n
1γ5
2!n!(一)
定理2。([1
Fn=
bn1
2c
k= 0γnk1
k.(二)
Fibonacci数的闭式Fn是从部分分数中派生出来的。 W我们会证明的
在后面的部分。
定理3。
Fn=
+二j=n1
(+j)!
!j!.(三)
注意公式2是一样的,但是我们的方法会得到相似的公式
对于许多其他整数序列,尤其是三角v价值π/7和π/9
在本文中,为了方便起见,让
ω=π
5, θ=π
7, δ=π
9.
.
2 部分F舞弊
k±2是一个正整数。 {|=1,…,k}b多项式的单根集
P(=
k
= 0
k=
k
是的
= 1
()
哪里{|= 0,…,k}都是实数,而且不失一般性,我们假设0= 1。
那我们就分解位置 1
P()分成部分
1
P()=
k
= 1
α
哪里
α=1
k
j= 1,J6=(j)=
k
是的
j= 1,J6=
1
(j)
2
命题4。 用上述符号表示n±1
k
= 1
α
n
=γ1
k
Pk
= 1k=n1 (Pk
= 1k)!
k
= 1(k)!! k
是的
= 1γk
kk!(四)
提案5。 {十、 是的 }是一套简单的ro四舍五入定量分析
2+斧头+b= 0.
α=1
是的β =1
是的.
那么
1
α
n+β
是的n=
+二j=n1γ(+j)!
()!(j)!γ
b-γ1
bj+ 1
.
2
bnγα
n+β
是的n=
+二j=n1
(1)+j+ 1bjγ(+j)!
()!(j)!.
三。
(b)nγα
n+β
是的n=
+二j=n1
(1)jbjγ(+j)!
()!(j)!.
提案6。 {十、 是的Z}是一组简单的r一个立方e定量分析
+斧头2+bx公司+c= 0.
α=1
(是的)(Z), β=1
(是的Z)(是的), γ=1
(Z)(Z是的).
那么
1
α
n+β
是的n+γ
Zn=
+二j+ 3k=n1γ(+j+k)!
()!(j)!(k)!γb
cγ
c-jγ1
ck+ 1
2
(c)nγα
n+β
是的n+γ
Zn=
+二j+ 3k=n1
(1)+j+k()j(b)cj+二kγ(+j+k)!
()!(j)!(k)!
三。
(c)nγα
n+β
是的n+γ
Zn=
+二j+ 3k=n1
()j(b)(c)j+二k(1)j+二kγ(+j+k)!
()!(j)!(k)!
整数序列
命令-d常系数齐次线性递推是
形式
n=c1n1+c2n2+· ··+cdnd,
在哪里d系数c(对所有)是常数,并且cd6= 0。
常数递归序列是满足这种形式的递归序列。 在那里
是这个递归解的d自由度,即初始值0,…,一个d1
可以被视为任何值,但递归将唯一地确定序列.
相同的系数产生特征多项式(也称为“辅助多项式”)
p(t=tdc1td1c2td2− · ·· −cd
谁的d根在找到和理解满足
复发。 以下结果来自[2].
定理7。如果根r1,R2,… 都是不同的, 然后r的每个解埃克鲁尔恩斯需要
形式
n=k1rn
1+k2rn
2+· ··+kdrn
d,
c在哪里效率k应收账e在或中确定以确定re的初始条件货币e.
推论8。k±2be为正整数。 {|=1,…,k}是简单r的集合奥托斯
对于多项式
P(=
k
= 0
k=
k
是的
= 1
()
哪里{|= 0,…,k}应收账e整数和0=1. et公司(n=Pk
= 0n
,那么{(n)|n= 0,…}
是整数se用r淬火埃克鲁尔ence关系n±k
p(n=
k
= 1
p(n)
推论9。{十、 是的}做ro太棒了ee 2 e方程式:
2+斧头+b= 0
哪里a、 b 是智能的格尔斯。 {u、 五}两个麻木ers和let
{r(n=用户体验n+n|n= 0,1,2,…}.
如果r(0),R(一)是智能的那么呢
{r(n)|n= 0,1,2,…}
是整数se用r淬火埃克鲁尔恩斯关系:
r(n=应收账(n1)br公司(n(二).
4
推论10。{十、 Y,Z}b立方e的根方程式:
+斧头2+bx公司+c= 0
哪里a、 b、c 是智能的格尔斯。
{u、 v、w}贝瑟尔ee编号和出租
{r(n=用户体验n+n+wZn|n= 0,1,2,…}.
如果r(0),R(一),R(二)那么整数就是
{r(n)|n= 0,1,2,…}
是整数se用r淬火埃克鲁尔恩斯关系:
r(n=应收账(n1)br公司(n(二)cr公司(n(三).
4 整数序列F或者二次方程
定义11。对于two不同编号bERS{十、 是的 },让
α=1
(是的), β=1
(是的),
{u、 五}两个数字,让b=XY公司.
p1(n=(b)nγα
n+β
是的n,
p2(n=(b)nγα
n+β
是的n,
(n=n+是的n,
r(n=用户体验n+n,
s(n=uY公司n+vX型n,
12号提案。 {十、 是的 }做一个简单的ro整数四次方的otsatic方程
2+斧头+b= 0.(五)
带符号的11,
p1(n=
+二j=n1
(1)jbjγ(+j)!
()!(j)!.
p2(n)=(1)n1.
5
1p1(n)p2(n)是智能的ger顺序锿。
2(n)是整数se淬火。
三。 如果r(0),R(一)那么是整数r(n)是一个智者ger顺序e.
4 如果s(0)的S(一)是智能的那么,是格尔斯s(n)是整数序列e.
整数se昆斯(n),R(n)的S(n)RESP当然有电流e关系
w(n=(n1)体重(n(二).
哪里w=q、 r,s RESP最后。
5 PI/5处的整数序列
在本节中,让
美国=1
γ5,伏 =1
γ5.
请注意,对于不同的选择u、 五 我们可以在泰格序列。
13号提案。
= 2个cos(2个ω), 是的= 2个cos(4个ω).
那么{十、 是的 }是r吗方程组
2+1=0.(六)
与定义中的符号相同11,
p1(n=
+二j=n1γ(+j)!
()!(j)!
p2(n=
+二j=n1
(1)+ 1γ(+j)!
()!(j)!
那么(n),R(n)的S(n)RESP实际上是智能的带有r的ger序列电子病历恩斯r欢欣
w(n=w(n(一)+w(n(二),
哪里w=q、 r,s RESP最后。
6
那么
p1:0,1,1,2,,5,8,13,21,34,…[5]A000045型
这就是众所周知的菲波那契呃。
p2:0,1,1,2,,5,8,13,21,34,[1]A039834号
:2个,1,,4,7,11,18,29,47,76,… [5]A061084。
r:0,1,1,2,,5,8,13,21,34,…
[5]A039834号
s:0,1,1,2,,5,8,13,21,34,[5]A039834号
推论14。
n=
+二j=n1γ(+j)!
()!(j)!
第15号提案。
= 2γ5秒(2ω), 是的=2γ5秒(4ω).
那么{十、 是的 }是r吗太多了ger方程
25+5=0.(七)
与定义中的符号相同11,那么
p1:0,1,5,20,75,275,1000,3625,13125,四万七千五百,… [5]A093131号
p2:0,1,5,20,75,275,1000,3625,13125,四万七千五百,… [5]A093131号
:2个,5,15,50,175,625,二千二百五十,8125,29375,106250,020876,… [5]A020876号
r:0,1,5,20,75,275,1000,3625,13125,四万七千五百,… [5]A093131号
s:0,1,5,20,75,275,1000,3625,13125,四万七千五百,… [5]A093131号
第16号提案。
= 4个cos2(2)ω), 是的= 4个cos2(4)ω).
那么{十、 是的 }是r吗太多了ger方程
2+1=0.(八)
与定义中的符号相同11,那么
p1:0,1,,8,21,55,一百四十四,377,九百八十七,2584,… A001906号
p2:0,1,,8,21,55,一百四十四,377,九百八十七,2584,… A001906号
:2个,,7,18,47,123,三百二十二,八百四十三,2207,5778,… A005248
r:0,1,,8,21,55,一百四十四,377,九百八十七,2584,… A001906号
s:0,1,,8,21,55,一百四十四,377,九百八十七,2584,… A001906号
7
第17号提案。
=4个γ5个cos2(2)ω), 是的=4γ5个cos2(4)ω).
那么{十、 是的 }是r吗太多了ger方程
2+ 55=0.(九)
与定义中的符号相同11,那么
p1:0,1,5,30,175,一千零二十五,六千,35125,205625,1203751,…
p2:0,1,5,30,175,一千零二十五,六千,35125,205625,1203751,…
:2个,5,35,200,一千一百七十五,6875,40250,235626,1379377,8075014,…
r:0,,15,90,五百二十五,3075,18000,105376,616876,3611256,…
s:0,,15,90,五百二十五,3075,18000,105376,616876,3611256,…
6 整数序列F或者三次方程
定义18。对于三个不同的n数字{十、 是的Z},让
α=1
(是的)(Z),
β=1
(是的Z)(是的),
γ=1
(Z)(Z是的).
{u、 v、w}三个数字,让c=XY Z轴 .
p1(n=(c)nγα
n+β
是的n+γ
Zn,
p2(n=(c)nγα
n+β
是的n+γ
Zn,
(n=n+是的n+Zn,
r(n=用户体验n+n+wZn,
s(n=uY公司n+维兹n+wX型 n,
t(n=乌兹n+vX型n+怀俄明州n,
8
第19号提案。 {十、 是的Z}做简单的r一个傻瓜ger三次方程
+斧头2+bx公司+c= 0.(十)
那么
p1(n=
+二j+ 3k=n1
(1)+j+kjbcj+二kγ(+j+k)!
()!(j)!(k)!
p1(n),P2(n)q(n)是智能的ger顺序锿。
如果r(0),R(一),R(二)那么是整数r(n)是一个智者ger序列。
如果s(0)的S(一)的S(二)是智能的那么,是格尔斯s(n)是整数se淬火。
如果t(0)t(一)t(二)是智能的那么,是格尔斯t(n)是整数se淬火。
se整数昆斯(n),R(n)的S(n)t(n)RESP当然有电流e关系
w(n=(n1)体重(n(二)顺时针(n(三).
哪里w=q、 r、s、t RESP最后。
7 PI/7处的整数序列
F或者这部分的其他部分,让
美国=1
2γ7罪(2θ), =1
2γ7罪(4θ), w=1
2γ7罪(8θ).
注意我们有第一次将此值用于u、 v、w 进入8]. 在同一篇论文中,我们也
用了很多其他的v价值u、 五,w 生成整数序列。
第20号提案。
= 2个cos(2个θ), 是的= 2个cos(4个θ), Z= 2个cos(8个θ).
那么{十、 是的Z}是r吗方程组
+221=0.(11)
与定义中的符号相同18,
p1(n):0,1,2,5,11,25,56,126,283,六百三十六,[5]A006054,
p2(n):0,1,2,5,11,25,56,126,283,六百三十六,[5]A006054,
(n):3个,1,5,4,13,16,38,57,117,193,…[5]A094648,
r(n):0,1,1,,4,9,14,28,47,89,…[5]A006053,
s(n):0,1,0,2,1,5,5,14,19,42,…[5]A096976,
t(n):0,0,1,1,,4,9,14,28,47,…[5]A006053.
9
推论21。(另请参见[6
n(2)θ)
2γ7罪n+ 1(4)θ)+n(4)θ)
2γ7罪n+ 1(8)θ)+n(8)θ)
2γ7罪n+ 1(2)θ)
=(1)n1
+二j+ 3k=n1
(1)k(二)γ(+j+k)!
()!(j)!(k)!.(12)
第22号提案。
=1
2个cos(2个θ)Y =1
2个cos(4个θ)Z =1
2个cos(8个θ).
那么{十、 是的Z}r是方程组
+ 221=0.(13)
与定义中的符号相同18,
p1:0,1,1,,4,9,14,28,47,89 [5]A006053号
p2:0,1,1,,4,9,14,28,47,89,… [5]A006053号
:3个,2,6,11,26,57,129,289,650,1460,…[5]A274975年
r:0,0,1,2,5,11,25,56,126,283,… [5]A006054号
s:0,1,1,,6,14,31,70,157,353,…[5]A106803号
t:0,1,2,5,11,25,56,126,283,六百三十六,…[5]A006054号
推论23。
n(4)θ)
2γ7罪n+ 1(2)θ)+n(8)θ)
2γ7罪n+ 1(4)θ)+n(2)θ)
2γ7罪n+ 1(8)θ)
=(1)n1
+二j+ 3k=n1
(1)k(二)jγ(+j+k)!
()!(j)!(k)!(14)
8 整数9/9序列
F或者这部分,让
美国=γ2罪(2)拉姆)
γ, =γ2罪(14拉姆)
γ, w=γ2罪(8拉姆)
γ.
24号提案。
= 2个cos(2个拉姆), 是的= 2个cos(4个拉姆), Z= 2个cos(8个拉姆).
10
那么{十、 是的Z}是r吗方程组
+1=0.(十五)
那么
p1(n=
+ 3k=n1
(1)k(三)γ(+k)!
()!(k)!
与定义中的符号相同18,
那么
p1(n=
+ 3k=n1
(1)k(三)γ(+k)!
()!(k)!
p1:0,1,,9,26,75,216,六百二十二,1791,五千一百五十七,[5],一个123941
p2:0,1,,9,26,75,216,六百二十二,1791,五千一百五十七,[5],一个123941
:3个,0,6,,18,15,57,63,186,246,…[5]A215664,
r:0,0,1,0,,1,9,6,28,27,...,
s:0,1,1,,4,10,15,34,55,117,…[5]A188022
t:0,1,0,,1,9,6,28,27,90,....
那么
推论25。
2罪n+ 1(2)拉姆)
γ3罪n(十四)拉姆)+2罪n+ 1(十四)拉姆)
γ3罪n(8)拉姆)+2罪n+ 1(8)拉姆)
γ3罪n(2)拉姆)
=
+ 3k=n1
(1)k(三)γ(+k)!
()!(k)!(十六)
第26号提案。
=1
2个cos(2个拉姆)Y =1
2个cos(4个拉姆)Z =1
2个cos(8个拉姆).
那么{十、 是的Z}r是方程组
2+1=0.(17)
与定义中的符号相同18,
11
The不适用=-,b=0,c=1
p1(n=
2j+ 3k=n1
(1)k(三)jγ(j+k)!
(j)!(k)!
p2(n(=)1)n1p1(n).
p1:0,1,0,,1,9,6,28,27,90,…
p2:0,1,0,,1,9,6,28,27,90,…
:3个,,9,24,69,198,570,1641,4725,13605,…[5]甲15885
r:0,1,,9,26,75,216,六百二十二,1791,五千一百五十七,… [5]邮编:A123941
s:0,1,2,6,17,49,141,406,一千一百六十九,3366,…[5]A122100
t:0,0,1,,9,26,75,216,六百二十二,1791,…[5]邮编:A123941
推论27。
2罪n+ 1(十四)拉姆)
γ3罪n(2)拉姆)+2罪n+ 1(8)拉姆)
γ3罪n(十四)拉姆)+2罪n+ 1(2)拉姆)
γ3罪n(8)拉姆)
=
2j+ 3k=n1
(1)k(三)jγ(j+k)!
(j)!(k)!(18)
工具书类
[1] 斐波纳契数,
https://英语wikipedia或g/wiki/F ibonacci 数字。
[2] 韦斯坦,埃里克W.“T严格测量角度-Pi/5“,来自MathW世界-狼人eb
资源。http://mathw网站world.wolfram.com/三角学yanglespi5.html公司
[3] 三角恒等式列表。
https://维基百科g/w公司iki/列表 三桅帆船单调恒等式
[4] 卢卡斯号码,
https://维基百科g/w公司iki/Lucas号码。
[5] 网址:https://oeis.org/
[6] https://www.mat.uniroma2.it/tauraso/AMM/amm1217.pdf
[7] 王,凯,在T的幂和的teger序列严格测量值,
开放存取图书馆杂志2019,第6卷,e5417。
12
[8] 王凯,一个生成整数序列的简单方法,
开放存取图书馆期刊2019,第6卷,e5502。
[9] Wang,Kai,PI/9的uvw序列列表(I)
//万维网.研究ate.net/出版物/336915424列表o紫外线w 序列 f或f 太平洋9
[10] Wang,Kai,PI/9(II)的uvw序列列表
//万维网.研究ate.net/出版物/336915424列表o紫外线w
顺序 f或 太平洋9
[11] Wang,Kai,PI/9(III)的uvw序列列表
//万维网研究ate.net/出版物/336915424列表o紫外线w
顺序 f或 太平洋9
[12] Wang,Kai,PI/9(IV)的uvw序列列表
//万维网.研究ate.net/出版物/336915424列表o紫外线w
顺序 f或 太平洋9
[13] Wang,Kai,PI/9(V)的uvw序列列表
//万维网.研究ate.net/出版物/336915424列表o紫外线w序列 f或 太平洋9
13
ResearchGate无法解析此出版物的任何引用。